Лекция (843336), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда в полученном уравненииX xx′′ Yyy′′ Z zz′′ 2m+++ 2 E = 0.XYZℏПервые три слагаемые зависят от трёх разных аргументов, но сумма является постоянным числом. Это возможно, если каждое из слагаемых – постоянное число. Например,Yyy′′X xx′′Z ′′= − k12 ,= − k22 , zz = − k32 .XYZРешения этих уравнений должны быть ограниченными, поэтому константы – отрицательные.Исходное уравнение от трех переменных распадается на три одномерных уравнения. Решая их сучётом граничных условий как в предыдущем случае, получаем решенияnπnπnπk1 = 1 , k2 = 2 , k3 = 3 .abc222n π nπ n π X=⋅ sin  1 x  , Y =⋅ sin  2 y  , Z =⋅ sin  3 z  .abc a  b  c ψ=8n π nπ n π ⋅ sin  1 x  ⋅ sin  2 y  ⋅ sin  3 z  .abc a  b  c 2mE = 0 находим выражение для энергииℏ2ℏ2 2π2 ℏ 2  n12 n22 n32 22E=k+k+k=( 1 2 3 ) 2m  a 2 + b 2 + c 2  .2mОткуда видно, что в этом случае тоже энергия принимает дискретные значения.Из равенства − k12 − k22 − k32 +3Семестр 4.

Лекции 5-6.Предположим, что яма является кубической, т.е. a = b = c . Тогда из выражения для энергииπ2 ℏ 2 2( n1 + n22 + n32 )2ma 2видно, что возможны случаи, когда одному значению энергию соответствуют различные псифункции.Определение. Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковое значение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний (для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Есликратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.Пример. Найдём кратность вырождения уровней энергии (с 1-го по 6-й) в кубической потенциальной яме.Вид пси-функции определяется набором трех натуральных чисел ( n1 ,n2 ,n3 )E=ψ=8nπ nπ n π ⋅ sin  1 x  ⋅ sin  2 y  ⋅ sin  3 z  ,abc a  a  a а значение энергии зависит от «квадрата длины набора» ( n12 + n22 + n32 ) :π2 ℏ 2 2n + n22 + n32 ) .2 ( 12maЗначения энергии упорядочиваем по величине.Кратность вырождения равна числу наборов «одной длины».№Значение энергииНаборы чисел ( n1 ,n2 ,n3 )E=1(1,1,1)2( 2,1,1) , (1, 2,1) , (1,1, 2 )3( 2, 2,1) , (1, 2, 2 ) , ( 2,1, 2 )4( 3,1,1) , (1,3,1) , (1,1,3)5( 2 , 2, 2 )6(1, 2,3) , ( 2,1,3) , (1,3, 2 ) ,( 3,1, 2 ) , ( 3, 2,1) , ( 2,3,1)3π2 ℏ 2E1 =2ma 23π2 ℏ 2E2 =ma 29π2 ℏ 2E3 =2ma 211π2 ℏ 2E4 =2ma 26π 2 ℏ 2E5 =ma 27 π2 ℏ 2E6 =ma 2Кратность вырождения133316Падение частицы на потенциальный порог.1.

Частица массы m с энергией Е движется вдоль оси Х,IIIсначала в области I, где потенциальная энергия меньшеU0энергии частицы, и налетает на область II, в которой потенциальная энергия больше энергии частицы U0>E. ДляEобласти I пусть x<0, а для области II x>0.Примем зависимость потенциальной энергии в видеx00 , x < 0U ( x) = U 0 , x > 0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:4Семестр 4.

Лекции 5-6.d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0 .dx 2ℏ2mСоответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где k12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на порог и отраженной от порогаволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТР.IТ.к. уравнение падающей (в положительном направлении оси Х) на преграду волны де Бройлядолжно иметь видΨПАД= C1 ⋅ eE− i  n t − k1 x  ℏ= C1 ⋅ eik1 x ⋅ e−iEntℏ,то в решении для области I падающей волне соответствует координатная часть ψ IПАД = C1eik1x .Соответственно, отражённую волну де Бройля описывает ψ ОТР= C2 e − ik1 x .IДля области II:d 2 ψ II 2m− 2 (U 0 − E ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − k2 x + C4 e k2 x , где k2 =(U 0 − E ) .ℏ2Оставляем только решение, убывающее при x→+∞ .

(Этому соответствует условие того,что вероятность нахождения частицы внутри барьера убывает с глубиной.) Поэтому прошедшаяволна ψ IIПРОШ = C3e− k2 x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x награнице барьераdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) .dxdxC1 + C2 = C3откуда получаем систему для определения коэффициентов .ik1C1 − ik1C2 = − k2C3Решение этой системы имеет вид C2 =( k2 + ik1 ) C , C = 2ik1 C .( ik1 − k2 ) 1 3 ( ik1 − k2 ) 1Эффективной глубиной L проникновения частицы в область порога называется расстояние отграницы порога, на котором плотности вероятности уменьшается в е раз.e2k2 Lψ ПРОШ( 0)II2ψ IIПРОШ ( L )2=C32C3e − k2 L2=e11ℏ2= e , 2k2 L = 1 , L =.=2k2 2 2m (U 0 − E )Замечание. Из последней формулы следует, что при увеличении «высоты» порога U 0 → ∞ эффективная глубина уменьшается L → 0 .Найдём плотность потока вероятности падающей волны*ik1 xik1 x ПАД *ПАД ∂Ce∂ψ* ∂ ( C1e*()()) =ℏℏi∂ψi1ikxikxПАДПАДПАД11ψ=jx =− (ψ )C1e− ( C1e )2m ∂x∂x  2m ∂x∂xiℏiℏ2=C1C1* eik1 x ( −ik1 ) e− ik1x − ( C1* C1e − ik1 x ) ( ik1 ) eik1 x = −2ik1C12m2mПлотность потока вероятности отраженной волны()5Семестр 4.

Лекции 5-6.*ОТР *ОТР ∂ ( C2 e −ik1x )∂ ( C2 e − ik1 x ) iℏ  ОТР ∂ ( ψ )iℏikx−− ik1 x *ОТР * ∂ψ1=ψ− (ψ )=− ( C2 e )j =C2 e2m ∂x∂x  2m ∂x∂xiℏiℏ2=C2C2* e − ik1 xik1eik1x − ( C2* C2 eik1 x ) ( −ik1 ) ( e− ik1x ) = 2ik1C22m2miℏ2222ikCОТР12jC2k2 + ik12mКоэффициент отражения от порога равен R = ПАД ====1iℏ2C1ik1 − k2jC12ik12mт.е. частица отражается от порога полностью.2. Теперь рассмотрим случай, когда энергия частицы больше высоты порога E>U0 .

Пусть опять0 , x < 0III.U ( x) = U 0 , x > 0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния вEU0области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 02xdxℏ0Соответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где2mk12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от порогаволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРIОТРx()для области I падающей волне соответствует координатная часть ψ IПАД = C1eik1x , а отражённойψ ОТР= C2 e − ik1 x .IДля области II:d 2 ψ II 2m+ 2 ( E − U 0 ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − ik2 x + C4 eik2 x , где k2 =( E −U0 ) .ℏ2Оставляем только прошедшую волну ψ IIПРОШ = C3eik2 x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x награнице порогаdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентовC1 + C2 = C3.k1C1 − k1C2 = k2C3(k − k )2k1Решение этой системы имеет вид C2 = 1 2 C1 , C3 =C1 .k2 + k1( k1 + k2 )iℏ2C1 .2miℏ2= 2ik1C2 .2mПлотность потока вероятности падающей волны jxПАД = −2ik1Плотность потока вероятности отраженной волны jxОТР6Семестр 4.

Лекции 5-6.Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШ = 2ik1j ОТР2iℏ2C3 .2m2 k −k CКоэффициент отражения от порога R = ПАД = 2 =  1 2  не равен нулю!C1j k1 + k2 Это означает, что в отличие от классического случая, когда при E>U0 частица обязательно преодолеет «горку», в квантовой механике существует ненулевая вероятность того, что частицаотразится от «горки» при E>U0.Коэффициент прохождения (прозрачности) порога определяется по аналогии22j ПРОШ 2k1 C3=D = ПАД = .C1j k1 + k2 22 k − k   2k1 В частности, получаем что R + D =  1 2  +  = 1. k1 + k2   k1 + k2 Прохождение частицы через потенциальный барьер.Из результатов п.1 предыдущей задачи следует, что вероятность обнаружения частицывнутри порога при E<U0 на некотором расстоянии от «ступеньки» не равна нулю.

Поэтомувозможна ситуация, при которой частица преодолеет конечную область с потенциальной энергией U0, хотя энергия частицы меньше E<U0.Частица массы m с энергией Е движется вдоль осиIIIIIIх, сначала в области I ( x<0 ) , где потенциальная энергияU0меньше энергии частицы, и налетает на область II, в которой потенциальная энергия больше энергии частицыEU0>E. В отличие от предыдущей задачи, будем предполагать, что протяженность области II конечная 0 < x < a .xa0Далее простирается область III ( x > a ), где энергия частицы больше потенциальной энергии. Примем зависимость потенциальной энергии в виде0 , x < 0U ( x ) = U 0 , 0 < x < a0 , x > aУравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0dx 2ℏ2mСоответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где k12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на барьер и отраженной от барьераволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТРIДля области II:d 2 ψ II 2m− 2 (U 0 − E ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − k2 x + C4 e k2 x , где k2 =(U 0 − E ) .ℏ2В области IIId 2 ψ III 2m+ 2 E ⋅ ψ III = 0 .dx 2ℏ7Семестр 4.

Лекции 5-6.Общий вид решения ψ III = C5eik1 x + C6 e− ik1 x . Отставляем только прошедшую волну ψ III = C5 eik1x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x на границе барьераdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) ,dxdxd ψ IId ψ IIIψ II ( a ) = ψ III ( a ) ,(a) =(a) .dxdxоткуда получаем систему для определения коэффициентовC1 + C2 = C3 + C4ik C − ik C = − k C + k C1 22 32 4 1 1. − k2 ak2 aik1aC3e + C4 e = C5 e− k C e − k2 a + k C e k2 a = ik C eik1a 2 32 41 5Решение этой системы имеет вид C3 =( k2 − ik1 ) ek a eik a C2C5 =(( k− k2 a− ( k2 − ik1 ) ek2 a2 + ik1 ) e22)C2 =C4 =(e(( k(( kk2 a21152k25 + ( k2 + ik1 )2k 2( k2 + ik1 ) e− k a eik a C22( k2 − ik1 ) ek a eik a C212k25 + ( k2 − ik1 )( k2 + ik1 ) e− k a eik a C22k 2522ik1 ( k2 + ik1 ) e − k2 a+ ik1 ) e − k2 a − ( k2 − ik1 ) e k2 a22)C1 , C3 =)C1(( k2ik1 ( k2 − ik1 ) ek2 a− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e22)C1iℏ2C1 .2miℏ2= 2ik1C5 .2mПлотность потока вероятности падающей волны jxПАД = −2ik1Плотность потока вероятности прошедшей волны jxПРОШКоэффициент прозрачности барьераj ПРОШD==(kjПАД22=C5=C1(( k22−k21) (e4ik1k2 e− k2 a− ik1a− ek2 a ) + 2ik1k2 ( e − k2 a + e k2 a )16k12 k2 222− k12 ) ( e − k2 a − e k2 a ) + 4k12 k2 2 ( e− k2 a + e k2 a )222 2Приближённо можно считать, что D ≈ e−2 k2 a ≈ exp  −2m (U 0 − E ) ⋅ a  ℏДля барьера произвольной формы, заданной в виде функции U(x):852k212k 2− e− k2 a ) ( k2 − ik1 )( k2 + ik1 )1C1( k2 − ik1 )( k2 + ik1 ) eik a C− k2 a− ( k2 − ik1 ) e k2 a2 + ik1 ) e22( k2 − ik1 ) ek a eik a C−2ik1C2 = − ( k2 + ik1 ) C3 + ( k2 − ik1 ) C4 = − ( k2 + ik1 )−2ik1C2 = ( e− k2 a − e k2 a )( k2 + ik1 ) e− k a eik a C5 , C4 =2k22ik1C1 = − ( k2 − ik1 ) C3 + ( k2 + ik1 ) C4 = − ( k2 − ik1 )4ik1k2 e − ik1a1)=15Семестр 4.

Характеристики

Список файлов лекций