Лекция (843336), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Лекции 7-8.5. Оператор кинетической энергии.В классической механике кинетическая энергия тела определяется выражениемmv 2 p 2EK ==. Поэтому оператор кинетической энергии имеет вид22mp̂ 211 ℏ ℏℏ2 2ℏ2Eˆ K ( Ψ ) =∇  ∇ (Ψ) = −∇ (Ψ) = −∆Ψ .( Ψ ) = ˆp ( ˆp ( Ψ ) ) =2m2m2m i  i2m2mНайдём собственные значения оператора кинетической энергии для одномерного случаяℏ2 d 2ΨÊK ( Ψ ) = EK ⋅ Ψ или −= EK ⋅ Ψ . Получаем уравнение, с котором уже встречались в за2m dx 2d 2 Ψ 2mдаче об одномерной яме с непроницаемыми стенками+ 2 EK ⋅ Ψ = 0 .dx 2ℏ 2mEKОткуда Ψ = C sin x + α .ℏ6.

Оператор Гамильтона.В классической механике механическая энергия тела, записанная как функция импульсаp2и координат, называется функцией Гамильтона H = EK + U =+U .2mВ квантовой механике соответствующий оператор называется оператором Гамильтона(или гамильтонианом)p̂ 2ℏ2ˆHˆ ( Ψ ) =UΨ+Ψ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ .( ) ( )2m2mУравнение Шрёдингера.Если рассматривать нерелятивистские частицы, то их полную энергию можно опредеp2лять формулой H = EK + U =+ U .

Поэтому оператор полной энергии в нерелятивистском2mˆ ( Ψ ) . Поставляя это равенство в уравнеслучае совпадает с оператором Гамильтона Eˆ ( Ψ ) = H∂Ψ ˆ= E ( Ψ ) , получаем временное уравнение Шрёдингера∂t∂Ψℏ2iℏ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ .∂t2mТаким образом, временное уравнение Шрёдингера описывает нерелятивистские частицы.Замечание.

Если рассматривать релятивистские частицы, то их полная энергия связана симпульсом соотношением E 2 = c 2 p 2 + m02 c 4 . Поэтому соответствующее операторное равенствоние эволюции волновой функции iℏ2∂  ∂Ψ 2 ∂ Ψпримет вид Eˆ 2 ( Ψ ) = c 2 ˆp 2 ( Ψ ) + m02 c 4 ⋅ Ψ . Но Eˆ 2 ( Ψ ) = Eˆ Eˆ ( Ψ ) = iℏ  iℏ=−ℏ,∂t  ∂t ∂t 2∂2Ψp̂ 2 = − ℏ 2 ∆Ψ . В итоге получается уравнение ℏ 2 2 = c 2 ℏ 2 ∆Ψ − m02 c 4 ⋅ Ψ , которое описывает∂tсвободные релятивистские частицы (с целым спином) и носит название уравнения ГордонаФока.Если попытаться записать линейную связь между энергией и импульсом для релятивистского случая в виде E = cσ x px + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 , так, чтобы выполнялось равенство(( cσ)p x + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 ) = c 2 p 2 + m02 c 4 , то после подстановки в уравнение эволюции2xволновой функции получится уравнение Дирака7Семестр 4.

Лекции 7-8.∂Ψℏ ∂Ψℏ ∂Ψℏ ∂Ψ= σ xc+ σyc+ σzc+ σ0 m0 c 2 Ψ .∂ti ∂xi ∂yi ∂zВ этом уравнении σ0, σx, σy, σz – специальные матричные операторы (4х4), аΨ = ( Ψ1 , Ψ 2 , Ψ 3 , Ψ 4 ) - вектор-функция.iℏПример. В момент времени t=0 волновая функция частицы в одномерной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками имеет вид 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos  sin   . 2a   2a Считая, что масса частицы равна m0, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние.

Найдите волновую функцию Ψ(x, t).Решение. В одномерной яме с непроницаемыми стенками как стационарной задаче, волновыефункции частицы имеет видE2ℏ 2 π2 2 nπx  − i ℏn tΨ n ( x,t ) =sin e,гдеE=n .na2ma 2 e При t=0 получаем, соответственно, Ψ n ( x, 0 ) = ψ n =2 nπx sin a a Воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos α + i sin α , откуда cos α =sin α =e iα + e − iα,2eiα − e − iα. Тогда2ii3 πx2a−i3 πx2aiπx2a−iπx2ae +ee −eA 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅= ⋅ sin   = A ⋅22i2 2a   2 a A   2πx  πx  = ⋅  sin  − sin   2   a  a Нормируем функцию ψ на единицу22aA a   2πx 2 πx  ∫0 ψ ( x ) dx = 4 ⋅ ∫0  sin  a  − sin  a   dx =ei2 πxa−e−i2 πxaπx−i i πx−e a − e a =2i2aaA  a 2  2πx  2πx   πx  πx  =⋅  ∫ sin dx−2sinsindx+sin 2   dx  = 1  ∫∫4 0 a  a   a  a  00aaa k πx   sπx  k πx Теперь воспользуемся тем, что ∫ sin sindx=0приk≠sиsin 2   dx =∫2 a   a  a 00aдля k > 0 .

Поэтому∫ ψ ( x)2dx =022a a ⋅  +  = 1 , откуда A =, т.е. множитель можно взять4 2 2aA2в виде A =. В итоге получаемa 3πx   πx  1   2πx  πx  ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅  sin  sin   = − sin   a   a  2a   2a  a Т.к. система функций ψ n ортонормированная и функция ψ нормирована на единицу, то ищемкоэффициенты разложения8Семестр 4.

Лекции 7-8.2 nπx  1   2πx  πx  sin ⋅  sin  − sin    dxa a  a   a  a 00aa2 1  nπx  2πx  nπx  πx  cn = ∫ sin  ⋅ sin  dx − ∫ sin  ⋅ sin   dx a a 0 a  a  a  a  02 1 a12 1 a1откуда c1 ==, c2 = −=−, остальные cn = 0 .a a 2a a 222aacn = ( ψ ,ψ n ) = ∫ ψ n* ψdx = ∫Т.е вероятность обнаружения частицы в основном состоянии ( n = 1 ) равна p1 = c1 =21и в пер21.2EE1 2 πx  − i ℏ1 t 1 2 2πx  − i ℏ2 tПоэтому Ψ ( x,t ) = Ψ1 ( x,t ) + Ψ1 ( x,t ) =sin   e−sin ,e2 a2 a e  e гдеℏ 2 π22ℏ 2 π 2EE1 =,=.22ma 2ma 2Т.к.

энергия частицы в этом состоянии не определена однозначно, то данное состояние не является стационарным.Найдём среднюю кинетическую энергию1 ℏ 2 π2 1 2ℏ 2 π2 3ℏ 2 π2EK = p1 E1 + p2 E2 = ⋅+ ⋅=.2 2ma 2 2 ma 24ma 2Найдём среднее значение кинетической энергии другим способом – прямым вычислением поформулеa ℏ2 d 2Ψ * ˆEK = ∫ Ψ EK ( Ψ ) dV = ∫ Ψ*  −dx =2  2m dx V0вом возбуждённом состоянии p2 = c2 =2222 1   2πx  πx     ℏ 1   2π  2πx   π  πx   = ∫⋅  sin −sin⋅sin−sin        dx =a   a  a     2m a   a  a  a a 0a22ℏ 2 1 a   2π   π   3ℏ 2 π2=  −   =2m a 2   a   a   4ma 29Семестр 4. Лекции 9 - 10Лекции 9 - 10. Квантовая теория атома.Ядерная модель атома.

Постулаты Н. Бора. Стационарное уравнение Шредингера для атомаводорода. Волновые функции и квантовые числа. Спектр атома водорода. Правила отбора дляквантовых чисел. Ширина спектральных линий.Модель атома Томсона.Джозеф Джон Томсон, открывший в 1897 г.

электрон, предложил рассматривать атом какположительный однородно заряженный шар, внутри которого движутся отрицательно заряженные электроны.Найдём собственную частоту колебаний одиночного электрона в такой модели атома.Уравнение движения электрона ma = −eE . Напряжённость электрического поля можно найтипо теореме Гаусса1ρdV .∫∫S E,dS = ε0 ∫∫∫VСчитая, что электрический заряд равномерно распределён по объёму, можно найти плотностьqqзаряда ρ = =.

Выбирая в качестве поверхности S концентрическую сферу радиуса r<R,V 4 πR33получаем1 q 4 3E 4πr 2 =πr .ε 0 4 πR 3 331 q1 qeОткуда E =r , поэтому уравнение движения примет вид ma = −r . Циклическая34πε 0 R4πε 0 R 3(частота колебаний равна ω =)1 qe. Указанная величина по порядку совпадает с частота4πε 0 mR 3ми излучения атомов.Модель атома Резерфорда.В 1911 г. Эрнест Резерфорд провел опыты по рассеянию α-частиц (ядер атомов гелия) наатомах золота. Результаты распределения частиц по углам рассеяния показали, что положительно заряженная область занимает небольшую часть объема атома. На основании чего Резерфорд предложил планетарную модель атома, в которой атом состоит из положительно заряженного тяжёлого ядра, размер которого много меньше размера атома. Вокруг тяжёлого ядра вращаются лёгкие отрицательно заряженные электроны, подобно планетам солнечной системы.Поэтому такую модель называют планетарной моделью атома.Эта модель не может существовать с точки зрения классической электродинамики.

Привращательном движении электрон движется с (центростремительным) ускорением, поэтомуатом должен непрерывно излучать энергию, что должно привести к потере энергии атомом. Т.е.с классической точки зрения атом является нестабильной системой, т.к. после исчерпания энергии электрон должен упасть на ядро.Теория БораПопытку снять это противоречие предпринял Нильс Бор в 1913 г. Для этого он предположил, что существуют состояния атома, в которых электрон движется по определённым орбитам, не излучая электромагнитные волны.

Такие состояния он назвал стационарными. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом излучает или поглощает квант энергииℏ ω = Ek − En .Эти предположения получили название постулаты Бора.1Семестр 4. Лекции 9 - 10В теории Бора возможны только такие орбиты, для которых момент импульса электронакратен постоянной ħ : L = n ⋅ ℏ .Учитывая, что в этой модели орбиты являются круговыми, поэтому для момента импульса электрона можно записать выражение L = p ⋅ R , получаем, что условие p ⋅ R = n ⋅ ℏ эквиваh 2πRлентно p ⋅ 2π ⋅ R = n ⋅ 2π ⋅ ℏ , т.е. λ B = =- на орбите укладывается целое число длин волнpnде Бройля для электрона.Спектр излучения атома водорода к тому времени уже был достаточно хорошо изучен. Дляциклической частоты излучения опытные данные давали (обобщенную) формулу Бальмера 1 1 ω = R ⋅ 2 − 2 n k Где R – постоянная Ридберга, n, k – натуральные числа, k > n .К достоинствам модели атома Бора можно отнести тот факт, что эта модель позволилаобъяснить, в частности, эту формулу.Рассмотрим модель атома, в котором лёгкий электрон движется по круговой орбите вокруг тяжёлого положительно заряженного ядра (Z – зарядовое число) v21 Ze 21 Ze 2  2Ze 2ma=m=mvR= n4πε 0 R 2 или  R 4πε 0 R 2 , 4πε 0 .mvR = nℏmvR = nℏmvR = nℏ2ZeОткуда для скорости получаем v =, и радиус орбиты4πε 0 nℏnℏ 4πε 0 ( nℏ )R==.mvmZe 2Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальнойmv 21 Ze 2E=−.24πε 0 R2Т.к.

из уравнения движения следует, что mv 2 =E=−1 Ze2, то4πε 0 R1 1 Ze21mZ 2 e4=−.2 4πε 0 R2 ( 4πε 0 )2 ( nℏ )2Следовательно, энергия электрона определяется выражениемmZ 2 e41En = −⋅ 22 22 ( 4πε 0 ) ℏ nЧисло n определяет значение энергии и называется главным квантовым числом.me 411Для атома водорода Z=1, поэтому En = −⋅ 2 ≈ −21, 7 ⋅ 2 ⋅10−19 Дж или2 2n2 ( 4πε 0 ) ℏ n1эВ. Следовательно, для отрыва электрона от атома (ионизации атома) водородаn2необходима энергия Ei ≈ 13, 6 эВ.Первый Боровский радиус4πε 0 ℏ 2R1 =≈ 0 ,53 ⋅10−10 мme 2En ≈ −13, 6 ⋅2Семестр 4.

Лекции 9 - 10– радиус самой «низкой» орбиты электрона по порядку совпадает со средним размером атома,полученным экспериментально. Первый Боровский радиус соответствует невозбуждённому(основному) состоянию атома.Состояниям с большей энергией соответствуют большие радиусы орбиты.Для перехода из одного стационарного состояния в другое энергия кванта излученияme 4 1 1 ℏω = Ek − En =⋅− 2 .2 2  22 ( 4πε 0 ) ℏ  n k  1 1 Для круговой частоты получаем обобщённую формулу Бальмера ω = R ⋅  2 − 2  ,n k 4meгде постоянная Ридберга R =. Стоит отметить, что её значение хорошо согласуется22 ( 4πε 0 ) ℏ3с экспериментальным значением R ≈ 2, 06 ⋅1016 с-1.Замечание.

При излучении или поглощении кванта меняется энергия атома, следовательно, меняется главное квантовое число n. При изменении главного квантового числа меняется моментимпульса атома, следовательно, в соответствии с законом сохранения момента импульса фотондолжен иметь момент импульса целочисленно кратный постоянной ħ.Теория Бора, несмотря на успехи в моделировании атома водорода, не помогла построить модель многоэлектронных атомов. Кроме того, она не давала объяснения и другим явлениям, например, тонкой структуре энергетических уровней.Однако теория Бора уже не была классической теорией строения атома. Одним из важнейших результатов этой теории является демонстрация того факта, что для объяснения явлений микромира необходимы подходы, отличные от подходов классической физики.Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода.Рассмотрим квантовую систему , состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze (Z – целое число) и электрона.

Характеристики

Список файлов лекций