Ветров.Тимохин-метода к выполнению ДЗ(ФН1) (829780), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Дана система двух непрерывных случайных величин (ξ ,η ) с совместнойC , ( x, y )∈ D. Область D ограничена кривыми 0, ( x, y )∉ Dплотностью распределения f ( x, y ) = x =1, y = 0, y = 2 x 2 . Область D показана на рисунке 8.Рис. 8. Область D , на которой задано распределение (ξ ,η )Найти: 1) совместную плотность распределения f ( x, y ) , предварительно построивобластьD ; 2) плотности вероятности случайных величин ξ и η ; 3) математическиеожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; 4) коэффициент корреляции rξη ; 5)условные плотности распределения f ξ (x y ) иfη ( y x ) ; 6) условные математическиеожидания Μ (ξ y ),Μ (η x ) , уравнения линий регрессии и построить их графики.Решение.1.=1∫∫Константаf ( x=, y ) dx dyΩCопределяется12 x210002∫ dx=∫ C dy C=∫ 2 x dxиз2C 3 1x │0 =3условиянормировки2С.
Отсюда С = 3 .23Область D уже показана на рисунке 8.2. Плотностьfξ ( x) случайной величины ξ определяется интегрированиемсовместной плотностиf ( x, y ) по всем возможным при данномξ = x значениямслучайной величины η (из рисунка непосредственно видно, что 0 <η < 2 x ). Имеем215∞fξ ( x ) =∫2 x2∫f ( x, y ) dy=−∞1∫y03dy 3 x 2 , 0 < x < 1. Совершенно аналогично fη ( y ) ==233dx= (1 − y ), 0 < y < 2.22223. Математические ожидания и дисперсии каждой величиныξ , η определяютсясогласно формулам для вычисления моментов скалярных случайных величин (см.,например, пример 9). Имеем23yΜ (η ) = ∫ y fη ( y ) dy =1 −2 ∫0 −∞∞∞y253 y22383y 2) =( −(2 − ) =.dy =2 2 5 225502113x 43)=.Μ (ξ== ∫ x 3 x dx= () ∫ x fξ ( x) dx4 0 4−∞02∞22y39 3 y32 72937D (η )= ∫ y fη ( y ) dy − ( Μ (η ) ) = ∫ y 2 (1 −y ) − =)dy − =( −.20225 2 3 7 225175−∞022D (ξ ) =∞∫x2fξ ( x ) dx − ( Μ (ξ ) )−∞4.rξ η =Коэффициент21193x593) − =.= ∫ x ⋅ 3 x dx − = (165 0 16 80022корреляцииrξ ηвычисляетсяпоформулеM (ξη ) − M (ξ ) M (η ).
В этом выражении неизвестен только смешанный моментD(ξ ) D(η )второго порядка M (ξ ⋅η ) .12 x213315=M (ξη ) ∫∫ x y f ( x=, y ) dx dyxdx=ydy=2xdx∫02 ∫02 ∫02DТогда rξη=1 3 3− ⋅2 4 5 ≈ 0,56.3 37⋅80 1755. Условные плотности распределения f ξ (x y ) и fη ( y x ) определяются по формулам31f ( x, y )2=. Необходимо обратить внимание на то, чтоfξ=( x y) =fη ( y ) 3 yy1− 1−22216 y ,1 .2возможные значения аргумента x здесь зависят от y и меняются в пределах Переменная y здесь играет роль параметра и может принимать любое значение впромежутке[0,2] .Рассуждаяаналогично,получимдляfη ( y x )выражение3f ( x, y )1fη ( y x=)= 22=; 0 < y < 2 x 2 ;0 < x < 1.2fξ ( x ) 3 x 2 x6. Общие формулы для условных математических ожиданий Μ(∞∞−∞−∞(ξ y ) , Μ (η x )Μ (η x ) ∫ y fη ( y / x) dy .
Учитывая замечание) ∫ x fξ ( x / y) dx,=имеют вид =Μ ξ yпредыдущего пункта о возможных значениях случайной величины при фиксированномзначении другой случайной величины, получим2Μ (ξ y=)1∫y2 y 2 1 1− 1+ y211x=2 .⋅=xdx= 2 y 21− y1− y2(1 − y )2 22211 y 2Μ (η x ) =∫ y 2 dy = 2 ⋅2x2x 202 x22 x20 4 x4 = 2 =x 2 ; . 4xГрафики условных математических ожиданий показаны на рисунке 9.Рис.9. Графики условных математических ожиданий17Пример 12.а)Найтиматематическоеожиданиеидисперсиюслучайнойвеличиныz = 3ξ − 8η + 4 , где (ξ ,η ) - система случайных величин из примера 11;в) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площадипрямоугольника с вершинами в точках (0,0), (0,η ), ( ξ ,0), ( ξ ,η ), где (ξ ,η ) - системаслучайных величин из примера 11.Решение.а)9 2429−+4=4 520D=( z ) D(3ξ − 8η +=4) D(3ξ − =8η ) 9 Dξ + 64 Dη + 2 ⋅ 3 ⋅ (−8) ⋅ cov(ξ =,η )27 23681= 9 Dξ + 64 Dη + 2 ⋅ 3 ⋅ (−8) ⋅ ( M (ξη ) − M ξ Mη )=+− 48 ⋅≈80 17520≈ 11,49.M ( z ) = M (3ξ − 8η + 4) = 3M ξ − 8Mη + 4 =в) Так какξ > 0, η > 0 , то площадь прямоугольника S равна S = ξ ⋅η .
Прощевсего вычислить среднее значение MS =M (ξη ) =cov(ξ ,η ) + M ξ Mη =0,5 .Нетрудно видеть, что возможные значения S лежат в интервале [ 0,2] . Функцияраспределения FS ( z ) случайной величины S вычисляется как интеграл от совместнойплотности f ( x, y ) по области=DzРазбивая=D1zобласть{( x, y){( x, y)x ⋅ y < z D, 0 < z < 2} (см. рисунок 10).интегрированиянаx ⋅ y < z D, 0 < x < x0=} , Dz2{( x, y)части Dz = Dz Dz ,две1x ⋅ y < z D, x0 < x < 1} ,2где=y 2 x2 , =x ⋅ y z , получимx0 = 3 z - абсцисса точки пересечения кривых2FS ( z )= P (ξ ⋅η < z )=∫∫ f ( x, y)dx dy = ∫∫ f ( x, y)dx dy + ∫∫ f ( x, y)dx dy =DzD1zDz2zxx2x11x3 033 0 2z 3 x0 31= ∫ dx ∫ dy + ∫ dx ∫ dy = ∫ 2 x dx + ∫ dx = x 0 + z ⋅ ln x x0 =202 x0 02 0x 20x02=zz 1−ln() , 0 < z ≤ 2 .22 18′Тогда плотность f S ( z ) имеет вид =f S ( z ) F=S ( z)0,1 2ln, z ∈ (0,2 .]2 zz ∉ (0,2]Рис.
10. Разбиение области интегрирования2. Задачи типового расчета.Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 1-10найти вероятность того, что сумма выпавших очков: 1) равна k ; 2) меньше k + 1 ; 3)больше k − 1 ; 4) заключена в промежутке [α ; β ] . В вариантах 11-30 найти вероятностьтого, что произведение выпавших очков: 1) равно k ; 2) меньше k + 1 ; 3) большеk − 1 ; 4) заключено в промежутке [α ; β ] .Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждаямо жет по ступить в любо й мо мент вр емени в течение Т минут. Время обслуживанияпервой заявки τ 1 минут, второй - τ 2 минут.
При поступлении заявки на занятое устройствоона не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последниймомент времени Т , она обслуживается. Найти вероятность того, что: 1) обе заявки будутобслужены; 2) будет обслужена ровно одна заявка.Задача 3. Задана структурная схеманадежности системы, состоящей из пятиэлементов.
Событие Аi - отказ i -го элемента за некоторый промежуток времени.Вероятности безотказной работы элементов заданы:19=P( Ai ) 0,95,=i 1,3,5;P==j 2, 4.( Aj ) 0,9,Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемыйпромежуток времени (события Аi независимы в совокупности). Требуется: 1) выразитьсобытие А через Ai или Аi ( i =1,2,3,4,5);2) найти вероятность P( А) безотказной работысистемы.Задача 4. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k - высшего сорта, дляконтроля последовательно выбирают наугад m изделий. Найти вероятность того, чтосреди выбранных изделий окажется ровно высшего сорта при условии, что выборкапроизводится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращаетсяобратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).Задача 5.
На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На i -мстанке изготовлено Ri % деталей ( i = 1, 2,3 ). Вероятность выпуска бракованных деталейна i -м станке равна Pi (i = 1,2,3) . 1) Определить вероятность того, что деталь, наудачувзятая со склада оказалась бракованной. 2) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной.Найти вероятность того, что она изготовлена на j-м станке.Задача6.В отдел технического контроля поступает партия, содержащая Nизделий, среди которых имеется M бракованных. Контролер для контроля отбирает 3изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью P .Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотябы одно бракованное изделие.
Найти вероятность того, что данная партия изделий будутзабракована.Задача 7. Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностьюпопадания p . Пусть случайная величинавеличины ξξ - число попаданий в цель. Для случайнойнайти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения ипостроить ее график; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал (α ; β ) ; 4)математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.Задача 8. Непрерывная случайная величина ξ имеет плотность распределениявероятностей f (x) .
Для случайной величиныξ найти : 1) ее функцию распределенияF (x) и построить графики функции распределения F (x) и плотности распределениявероятностей f (x) ; 2) вероятность попадания случайной величины в интервал (α ; β ) ; 4)математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.20Задача 9. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеетkx, x ∈ [0; c ]вид f ( x ) = . Случайная величина η связана со случайной величиной ξ 0, x ∉ [0; c ]функциональной зависимостью η = aξ 2 + b . Найти: 1) константу k ; 2) математическоеожидание и дисперсию случайной величины η , используя плотность распределенияξ ; 3)функцию распределения ивероятностей случайной величиныплотностьраспределения вероятностей случайной величины η и построить ихграфики; 4)математическое ожидание и дисперсию случайной величины η , используя найденнуюплотность распределения вероятностей.Задача 10. Дана система двух дискретныхслучайных величин (ξ ,η ) , законраспределения которой задан таблицей pij =2,3, j 1, 2,3, 4 ., гдеΡ (ξ =xi , η ==y j ) i 1,=Найти:x1 =2,x2 =3,x3 =5,y1 =−1,y2 =0,y3 =1, y4 =2.1)законыраспределения случайных величин ξ и η ; 2) математические ожидания и дисперсиислучайных величин ξ и η ; 3) коэффициент корреляции rξη ; 4) условные распределенияPξ ( xi y2 ) ,Pη ( y j x2 ) ; 5) условные математические ожидания Μ (ξ y2 ) ,Μ (η x2 ) .(η,ξ )Задача 11.
Система непрерывных случайных величинраспределенаαравномерно в области D , ограниченной линиями=x a=, y b=, y β x . Найти: 1)совместную плотность распределения f ( x, y ) , предварительно построив областьD ; 2)плотности вероятности случайных величин ξ и η ; 3) математические ожидания идисперсии случайных величин ξ и η ; 4) коэффициент корреляции rξη ; 5) условныеплотности распределения f ξ (x y ) иfη ( y x ) ; 6) условные математические ожиданияΜ (ξ y ),Μ (η x ) , уравнения линий регрессии и построить их графики.Задача 12.а)Найтиматематическоеожиданиеидисперсиюслучайнойвеличиныξ = aξ + bη + c , где (ξ ,η ) - система случайных величин из задачи 11;в) Найти функцию распределения, плотность и математическое ожидание площадипрямоугольника с вершинами в точках (0,0), (0,η ), ( ξ ,0), ( ξ ,η ), где (ξ ,η ) - системаслучайных величин из задачи 11.213.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
