1612725170-d2dcc605205feb3d5b9a0101f2221951 (828894), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

При этом сами искомыефункции не должны зависеть ни от каких лишних параметров. Особыйинтерес к нормальному распределению связан, разумеется, с центральнойпредельной теоремой: почти всё в этом мире нормально (или близко к тому). В этой главе мы изучим новые распределения, связанные с нормальным, их свойства и свойства выборок из нормального распределения.§ 1. Основные статистические распределенияГамма-распределение. С гамма-распределением мы познакомилисьв курсе теории вероятностей.

Нам понадобится свойство устойчивостипо суммированию этого распределения.Л е м м а 4. Пусть X1 , . . . , Xn независимы, и ξi имеет гамма-распределение Γα, λi , i = 1, . . . , n. Тогда их сумма Sn = ξ1 + . . . + ξn имеетгамма-распределение с параметрами α и λ1 + . . . + λn .Оказывается, что квадрат случайной величины со стандартным нормальным распределением имеет гамма-распределение.Л е м м а 5.

Если ξ имеет стандартное нормальное распределение,то ξ2 имеет гамма-распределение Γ1/2, 1/2 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдём производную функции распределениявеличины ξ2 и убедимся, что она является плотностью распределения.При y 6 0Fξ2 (y) = P(ξ2 < y) = 0, поэтому fξ2 (y) = 0.66ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМПри y > 0√√√√Fξ2 (y) = P(ξ2 < y) = P(− y < ξ < y) = Fξ ( y) − Fξ (− y).Тогда0√√√√fξ2 (y) = Fξ2 (y) = Fξ0 ( y) · ( y)0 − Fξ0 (− y) · (− y)0 =√√√ 1fξ ( y)1= fξ ( y) + fξ (− y) · √ = √= √2 yy2πye−y/2 .Но функция fξ2 (y), равная 0 при y 6 0 и равнаяfξ2 (y) = √1(1/2)1/2 1/2−1 −y/2yee−y/2 =Γ(1/2)2πyпри y > 0, является плотностью гамма-распределения Γ1/2, 1/2 .Распределение χ2 Пирсона.

Из лемм 4 и 5 следует утверждение.Л е м м а 6. Если ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение, то случайная величинаχ2 = ξ21 + . . . + ξ2kимеет гамма-распределение Γ1/2, k/2 .В статистике это распределение играет совершенно особую роль и имеетсобственное название.О п р е д е л е н и е 18. Распределение суммы k квадратов независимыхслучайных величин со стандартным нормальным распределением называется распределением χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы и обозначается Hk .Согласно лемме 6, распределение Hk совпадает с Γ1/2, k/2 .

Поэтомуплотность распределения Hk равнаk− 1 −y/212ye, если y > 0;f (y) = 2 k/2 Γ(k/2)0,если y 6 0.Заметим ещё, что H2 = Γ1/2, 1 = E1/2 — показательное распределение с параметром α = 1/2.Плотности распределений Hk при k = 1, 2, 4, 8 показаны на рис. 8.У п р а ж н е н и е . Доказать, что при k > 2 максимум плотности распределения Hk достигается в точке y = k − 2.Рассмотрим свойства χ2-распределения. Устойчивость его относительно суммирования следует из устойчивости гамма-распределения.§ 1. Основные статистические распределения67H1H20,5H402H86Рис.

8. Плотности χ2-распределений с различным числом степеней свободы= Hk и ψ 2 ⊂= Hm незаС в о й с т в о 1. Если случайные величины χ2 ⊂22висимы, то их сумма χ + ψ имеет распределение Hk+m .Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство устойчивости можно доказать и непосредственно. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеютстандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина χ2 распределена так же, как ξ21 + . . . + ξ2k , величина ψ2 распределена так же,как ξ2k+1 + . . . + ξ2k+m , а их сумма — как ξ21 + . . . + ξ2k+m , т.

е. имеет распределение Hk+m .С в о й с т в о 2. Если величина χ2 имеет распределение Hk , тоE χ2 = kиD χ2 = 2k.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . независимы и имеют стандартное нормальное распределение. ТогдаE ξ21 = 1,D ξ21 = E ξ41 − (E ξ21 )2 = 3 − 1 = 2.Четвёртый момент стандартного нормального распределения мы вычислили в примере 23 (с. 52). ПоэтомуE χ2 = E(ξ21 + .

. . + ξ2k ) = k,D χ2 = D(ξ21 + . . . + ξ2k ) = 2k.= Hn . Тогда при n → ∞С в о й с т в о 3. Пусть χ2n ⊂χ2nnp−→ 1,χ2n − n√2n⇒ N0, 1 .Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом n случайная величина χ2n распределена так же, как ξ21 + . . . + ξ2n , где все случайные величины ξi независимыи имеют стандартное нормальное распределение. Применяя ЗБЧ и ЦПТ,68ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМполучаем сходимостиξ21 + .

. . + ξ2nnp−→ E ξ21 = 1,ξ21 + . . . + ξ2n − n√2n=ξ21 + . . . + ξ2n − nE ξ21qnD ξ21⇒ N0, 1 ,равносильные утверждению свойства 3.Распределение Hn при небольших n табулировано. Однако при большом числе степеней свободы для вычисления функции этого распределения или, наборот, его квантилей пользуются различными аппроксимациями с помощью стандартного нормального распределения. Одно из приближений предлагается в следующем свойстве, более точную аппроксимациюУилсона — Хилферти читатель найдёт в упражнениях в конце главы.= Hn .

ТоС в о й с т в о 4 (а п п р о к с и м а ц и я Ф и ш е р а). Пусть χ2n ⊂гда при n → ∞ имеет место слабая сходимостьpp22χn − 2n − 1 ⇒ N0, 1 ,поэтому при больших n можно пользоватьсяаппроксимацией для функ2ции распределения Hn (x) = P χn < x :√√Hn (x) ≈ Φ0,12x − 2n − 1 .(16)√√Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что2n − 2n − 1 → 0при n → ∞ (проверить!), поэтому достаточно обосновать сходимостьpp22χn − 2n ⇒ N0, 1 .Домножим и поделим эту разность на сопряжённое, и представим результат в виде:ppχ2n − n22q2χn − 2n =· √.1+χ2n /n2nПервый сомножитель по свойству 3 сходится по вероятности к единице, авторой слабо сходится к N0, 1 . По свойствам слабой сходимости, их произведение слабо сходится к N0, 1 .Для доказательства (16) заметим, чтоpppp22P χn < x = P 2χn − 2n − 1 < 2x − 2n − 1 .§ 1.

Основные статистические распределения69С в о й с т в о 5. Если случайные величины ξ1 , . . . , ξk независимыи имеют нормальное распределение Na,σ2 , тоχ2k=k Xξi − a 2σi=1= Hk .⊂У п р а ж н е н и е . Доказать свойство 5.Распределение Стью́дента.

Английский статистик Госсет, публиковавший научные труды под псевдонимом Стьюдент, ввёл следующее распределение.О п р е д е л е н и е 19. Пусть ξ0 , ξ1 , . . . , ξk независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Распределение случайной величиныtk = sξ0ξ21 + . . .

+ ξ2kkназывается распределением Стью́дента с k степенями свободы и обозначается Tk .Распределение Стьюдента совпадает с распределением случайной велиξ= Hk независимы.= N0, 1 и χ2 ⊂, где ξ ⊂чины tk = qkχ2k / kЧитатель может найти плотность распределения Стьюдента самостоятельно, либо посмотреть, как это делается в [1, § 2, гл.

2]. Плотностьраспределения Стьюдента с k степенями свободы равна−(k+1)/2 Γ (k + 1)/2y2fk (y) = √1+.(17)πk Γ(k/2)kС в о й с т в о 6. Распределение Стьюдента симметрично: если случайная величина tk имеет распределение Стьюдента Tk с k степенями свободы, то и −tk имеет такое же распределение.У п р а ж н е н и е . Доказать.С в о й с т в о 7. Распределение Стьюдента Tn слабо сходится к стандартному нормальному распределению при n → ∞.pД о к а з а т е л ь с т в о.

По свойству 3, χ2n / n −→ 1 при n → ∞. Посвойствам слабой сходимости получаемξtk = qχ2k / k= N0, 1 .,⇒ ξ ⊂70ГЛАВА VI. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НОРМАЛЬНЫМГрафики плотностей стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента приведены для сравнения на рис. 9.N0,1TkРис. 9. Плотности распределений Tk и N0, 1Отметим, что распределение Стьюдента табулировано: если в каких-тодоверительных интервалах появятся квантили этого распределения, то мынайдём их по соответствующей таблице, либо, при больших n, используемнормальную аппроксимацию для распределения Стьюдента.Распределение Стьюдента с одной степенью свободы есть стандартноераспределение Коши. Действительно,если подставить k = 1 в плотность√(17) и учесть Γ(1/2) = π и Γ(1) = 1, то получится плотность распределения Коши:−11f1 (y) =1 + y2.πУ п р а ж н е н и е .

Как получить случайную величину с распределением Коши, имея две независимые случайные величины со стандартнымнормальным распределением?С в о й с т в о 8. У распределения Стьюдента существуют только моменты порядка m < k и не существуют моменты порядка m > k. Приэтом все существующие моменты нечётного порядка равны нулю.У п р а ж н е н и е . Рассмотрите плотность (17) и убедитесь в сходимости или расходимости на бесконечности при соответствующих m интегралов∞Z1C(k) ·|y|m ·dy.2 (k+1)/2(k + y )−∞= T2 ?У п р а ж н е н и е . Существует ли Dt2 , если t2 ⊂71§ 1. Основные статистические распределенияРаспределение Фишера. Следущее распределение тоже тесно связанос нормальным распределением, но понадобится нам не при построениидоверительных интервалов, а чуть позже — в задачах проверки гипотез.Там же мы поймём, почему его называют распределением дисперсионногоотношения.О п р е д е л е н и е 20.

Пусть χ2k имеет распределение Hk , а ψn2 — распределение Hn , причём эти случайные величины независимы. Распределение случайной величиныχ2k / kn χ2kfk, n = 2= · 2ψn / nk ψnназывается распределением Фишера с k и n степенями свободы и обозначается Fk, n .Свойства распределения Фишера (или Фишера — Снедекора):С в о й с т в о 9. Если случайная величина fk, n имеет распределениеФишера Fk, n , то 1/fk, n имеет распределение Фишера Fn, k .Заметим, что распределения Fk, n и Fn, k различаются, но связаны соотношением: для любого x > 0 111.>= 1 − Fn, kFk, n (x) = P(fk, n < x) = Pfk, nxxРаспределение Фишера также табулировано при многих k, n, причёмсвойство 9 позволяет приводить таблицы распределений только в половине случаев: например, при k > n.С в о й с т в о 10.

Распределение Фишера Fk, n слабо сходится к вырожденному в точке c = 1 распределению при любом стремлении k и n к бесконечности.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . и η1 , η2 , . . . — две независимые последовательности, составленные из независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением. Требуемое утверждение вытекает из того, что любая последовательность случайных величинfk, n , распределение которой совпадает с распределением отношения двухсредних арифметическихξ21 + .

Характеристики

Список файлов лекций