theory-rk1_1 (827482)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1) Сформулируйте определение окрестности точки x ∈ R.Окрестностью U(x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку;2) Сформулируйте определение ε-окрестности точки x ∈ R.ε-окрестностью точки x (при ε>0) называют интервал (x − ε, x + ε).3) Сформулируйте определение окрестности +∞.4) Сформулируйте определение окрестности −∞.Окрестностями точек −∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (−∞, a) и (a, +∞),где a — произвольное действительное число.5) Сформулируйте определение окрестности ∞.Бесконечность ∞ «без знака».

Окрестностью такой бесконечности называют объединениедвух бесконечных интервалов (−∞, −a) ∪ (a, +∞), где a — произвольное действительноечисло.6) Сформулируйте определение предела последовательности.Число a называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного ε существует номер N = N(ε) такой, что для всех номеров n >= N выполняетсянеравенство | a−Xn | < ε. При этом пишут lim (n→∞) Хn = a.7) Сформулируйте определение сходящейся последовательности.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Поскольку неравенство| a − Хn | < ε эквивалентно неравенству a − ε < Хn < a + ε, то все элементы сходящейсяпоследовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат вε-окрестности точки a.8) Сформулируйте определение ограниченной последовательности.Последовательность {Хn} называется ограниченной снизу, если существует число С1такое, что Хn >= С1 при всех n = 1, 2, . . . .Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху, если существует число C2такое, что Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . .

.Последовательность {Xn}, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной,то есть С1 <= Xn <= C2 при всех n = 1, 2, . . . .9) Сформулируйте определение монотонной последовательности.Последовательностьили возрастающая.называется монотонной, если она убывающая10) Сформулируйте определение возрастающей последовательностиПоследовательностьдля любого,называется монотонно возрастающей, если.11) Сформулируйте определение убывающей последовательности.Последовательностьлюбого,называется монотонно убывающей, если для.12) Сформулируйте определение невозрастающей последовательности.13) Сформулируйте определение неубывающей последовательности.Последовательностьявляется неубывающей или нестроговозрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для,.14) Сформулируйте определение фундаментальной последовательности.Последовательность {Хn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существуетномер N = N(ε) такой, что при любых m >= N и n >= N выполняется неравенство| Xm − Xn | < ε.15) Сформулируйте критерий Коши существования предела последовательности.Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобыона была фундаментальной.16) Сформулируйте определение по Гейне предела функции.Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности U ̊ ( X0 ) точки X0 .

Число aназывается пределом функции f(x) при X → X0, если для любой последовательности{ Xn } точек из U ̊ ( X0 ), для которой lim(n→∞) Xn = X0 , выполняется равенствоlim(n→∞) f(Xn) = a.17) Сформулируйте определение бесконечно малой функции.Функция φ(x) называется бесконечно малой при X → X0, если lim(X→X0) φ(x) = 0.18) Сформулируйте определение бесконечно большой функции.Функция f(x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки X0, называетсябесконечно большой при X → X0, если lim(X→X0) | f(x) | = +∞.19) Сформулируйте определение бесконечно малых функций одного порядка.Если существует конечный отличный от нуля предел lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = C, то говорят,что φ(x) и ψ(x) являются при X → X0 бесконечно малыми одного порядка и пишутφ(x) = O(ψ(x))20) Сформулируйте определение несравнимых бесконечно малых функций.В случае C = 1, т.е.

если lim(X→X0) (φ(x))/(ψ(x)) = 1, функции φ(x) и ψ(x) называютэквивалентными бесконечно малыми и пишут φ(x) ∼ ψ(x), при X → X0.21) Сформулируйте определение эквивалентных бесконечно малых функций.Если при X →X0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения(φ(x))/(ψ(x)), то говорят, что φ(x) и ψ(x) не сравнимы при X → X0.22) Сформулируйте определение порядка малости одной функции относительно другой.Пусть φ(x) и ψ(x) бесконечно малые при X → X0. Если при некотором k бесконечно малыеφ(x) и (ψ(x))^k являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что φ(x) имеетпорядок малости k по сравнению с ψ(x) при X → X0.23) Сформулируйте определение приращения функции.Приращением функции называют ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) −f(x0).24) Сформулируйте определение непрерывности функции в точке (любое).Пусть X ⊂ R, и пусть на X задана числовая функция f(x).

Эта функция называетсянепрерывной в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое,что при всех x, | x − x0 | < δ, выполняется неравенство | f(x) − f(x0) | < ε.25) Сформулируйте определение непрерывности функции на интервале.Функцияназывается непрерывной в интервалеона непрерывна в каждой точке этого интервала., если26) Сформулируйте определение непрерывности функции на отрезке.Функцияназывается непрерывной на отрезке, если онаявляется непрерывной в интервале, непрерывной справа в точке, то естьи непрерывной слева в точке , то есть27) Сформулируйте определение точки разрыва.Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Х0 или в проколотойокрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке Х0, тоХ0 называется точкой разрыва функции f(x).28) Сформулируйте определение точки устранимого разрыва.Если Х0 — точка разрыва первого рода, и если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то такой разрывназывают устранимым.29) Сформулируйте определение точки разрыва I-го рода.Если Х0 — точка разрыва функции f(x), и существуют конечныепределы lim(Х→Х0−) f(x) = f(Х0 − 0) и lim(Х→Х0+) = f(Х0 + 0), то x0 называется точкойразрыва первого рода.30) Сформулируйте определение точки разрыва II-го рода.Функция f(x) имеет точку разрыва второго рода при Х=Х0, если покрайней мере один из односторонних пределов не существует илиравен бесконечности.Формулировки теорем1)Сформулируйте теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательностиВсякая сходящаяся последовательность ограничена.2) Сформулируйте теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.Равенство a = lim(x→x0) f(x) имеет место тогда и только тогда, когда f (x) = a + φ(x), гдефункция φ(x) бесконечно мала при X→X0.3) Сформулируйте теорему о сумме конечного числа бесконечно малых функций.Пусть функции φ1(x), ..., φn(x) бесконечно малы при x → x0.

Тогда их алгебраическаясумма (от i=1 до n ) ± φi(x) также бесконечно мала при x→x0.4) Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой на ограниченную функцию.Пусть в проколотой окрестности U ̊(X0) точки X0 заданы функции f(x) и φ(x), причем f(x)ограничена на U ̊(x0), а φ(x) бесконечно мала при X → X0. Тогда произведение f(x)·φ(x) естьбесконечно малая функция при X → X0.5) Сформулируйте теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.Пусть функция φ(x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки X0. Этафункция бесконечно мала при X → X0 тогда и только тогда, когда функция f(x) = 1/φ(x)является бесконечно большой (при X → X0).6) Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентностибесконечно малых.Бесконечно малые φ(x) и ψ(x) эквивалентны (при X → X0) тогда и только тогда, когда ихразность имеет более высокий порядок малости при X → X0 по сравнению с каждой изних.7) Сформулируйте теорему о сумме бесконечно малых разных порядков.Пусть φ1(x),…,φn(x), ψ(x) — бесконечно малые при X → X0 функции, и пусть Ki — порядокмалости функций φi(x) относительно ψ(x), i = 1, .

. . , n, причём числа K1, . . . , Kn попарноразличны. Тогда сумма φ1(x) + . . . + φn(x) эквивалентна при X → X0 слагаемомуминимального порядка относительно ψ(x).Определение предела по Коши1) Сформулируйте определение по Коши lim(x→0) f (x) = b, где b ∈ R. Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).2)Сформулируйте определение по Коши lim(x→a) f (x) = +∞, где a ∈ R.

Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией).3) Сформулируйте определение по Коши lim(x→∞) f(x) = 0. Приведите соответствующийпример (с геометрической иллюстрацией).4) Сформулируйте определение по Коши lim(x→a−0) f(x) = −∞, где a ∈ R. Приведитесоответствующий пример (с геометрической иллюстрацией)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)