1611689145-0edc839d6ed1064f4f05bced9154312a (826731)
Текст из файла
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈßËåêòîð Åêàòåðèíà Þðüåâíà ÁàëàêèíàÏðîãðàììà êóðñà ëåêöèé(3-é ñåìåñòð, ëåêöèè 32 ÷., ñåìèíàðû 32 ÷., ýêç.)1. Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàÓðàâíåíèå y 0 = f (x, y). Îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ. Íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå. Çàäà÷à Êîøè. Òåîðåìà Ïåàíî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ. Òåîðåìà Ïèêàðà ñóùåñòâîâàíèÿ èåäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèé. Ïîëå íàïðàâëåíèé, ïîðîæäàåìîå äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, èçîêëèíû.Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Îäíîðîäíûå è îáîáùeííî-îäíîðîäíûåóðàâíåíèÿ. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Óðàâíåíèå Ðèêêàòè. Óðàâíåíèå â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå: ïîëå íàïðàâëåíèé íà ïëîñêîñòè,èíòåãðàëüíûå ëèíèè, ñâÿçü ñ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèåâ ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ íåãî.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèêàðà äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòà. Ïîâåäåíèå íåïðîäîëæàåìûõ ðåøåíèé â ¾âåðòèêàëüíîé ïîëîñå¿.Ìåòîäû ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.2. Ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèÿ âûñîêîãîïîðÿäêàÍîðìàëüíûå ñèñòåìû.
Çàïèñü ñèñòåìû â âåêòîðíîé ôîðìå. Ïîâåäåíèå íåïðîäîëæàåìûõ ðåøåíèé. Òåîðåìà Óèíòíåðà. Óðàâíåíèå y (n) = f (t, y, y 0 , . . . , y (n−1) ), ñâåäåíèåê ñèñòåìå, ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè.3. Îáùàÿ òåîðèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåìÒåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìûẊ = A(t)X + B(t). Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, ñâÿçü ðåøåíèé íåîäíîðîäíîé è îäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ëèíåéíîñòü ïðîñòðàíñòâà âñåõ íåïðîäîëæàåìûõ ðåøåíèé îäíîðîäíîéñèñòåìû Ẋ = A(t)X.
Îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî, åãî ñâÿçü ñ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþðåøåíèé. Ôîðìóëà Ëèóâèëëÿ Îñòðîãðàäñêîãî. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèéîäíîðîäíîé ñèñòåìû. Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé (ÔÑÐ). Ôóíäàìåíòàëüíûåìàòðèöû è èõ ñâîéñòâà. Ïîñòðîåíèå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ìåòîäîì Ëàãðàíæà âàðèàöèèïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.14. Ëèíåéíûå ñèñòåìûñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÏîñòðîåíèå ÔÑÐ äëÿ ñèñòåìû Ẋ = AX ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðèïîìîùè áàçèñà Æîðäàíà ìàòðèöû A. Ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà è åå èñïîëüçîâàíèå äëÿïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû îáùåãî ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ñèñòåìóðàâíåíèé.
Êîìïëåêñíûå ëèíåéíûå ñèñòåìû, ñâåäåíèå ê äåéñòâèòåëüíûì ñèñòåìàì.5. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêàËèíåéíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà, ñâåäåíèå ê ëèíåéíîé ñèñòåìå. Èçîìîðôèçììåæäó ïðîñòðàíñòâàìè íåïðîäîëæàåìûõ ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû. Òåîðèÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà êàê ñëåäñòâèå òåîðèèëèíåéíûõ ñèñòåì. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïîñòðîåíèå ÔÑÐ. ×àñòíîå ðåøåíèå â ñëó÷àå êâàçèïîëèíîìèàëüíîé íåîäíîðîäíîñòè. Ìåòîäâàðèàöèè äëÿ îòûñêàíèé ÷àñòíûõ ðåøåíèé.6.
Êðàåâûå çàäà÷èÏîíÿòèå êðàåâîé çàäà÷è. Òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè êðàåâîé çàäà÷è. Ñòðóêòóðà ðåøåíèé â ñëó÷àå íåîäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè. Ñâåäåíèå ê çàäà÷å ñîäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè è åå ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ Ãðèíà êðàåâîé çàäà÷è.Ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è Øòóðìà Ëèóâèëëÿ: ñóùåñòâîâàíèå âåùåñòâåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé; ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé; îðòîãîíàëüíîñòü (ñ âåñîì) ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé; îäíîñòîðîííÿÿ îãðàíè÷åííîñòü ñïåêòðà. Ðàçëîæåíèå â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì êðàåâîé çàäà÷è.Ýêâèâàëåíòíîñòü êðàåâîé çàäà÷è èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ íåïðåðûâíûì ñèììåòðè÷íûì ÿäðîì.ËèòåðàòóðàÏåòðîâñêèé È. Ã.Ïîíòðÿãèí Ë.
Ñ.Àðíîëüä Â. È.Ýëüñãîëüö Ë. Ý.Ãàíòìàõåð Ô. Ð.Ôèëèïïîâ À. Ô.Ðîìàíêî Â. Ê.1.Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.2.Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.3.Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.4.Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå.5.Òåîðèÿ ìàòðèö.6.Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.7.Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.Ì.: Ëàáîðàòîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2002.8. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ /Ïîä ðåä. Â.
Ê. Ðîìàíêî Ì.: Ëàáîðàòîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2002.2Ïëàí ñåìèíàðîâ1.2.3.4.5.Óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàÏîëå íàïðàâëåíèé, èçîêëèíû, çàäà÷à Êîøè.Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.Ëèíåéíîå óðàâíåíèå, óðàâíåíèå Áåðíóëëè, óðàâíåíèå Ðèêêàòè.Óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ,èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.1,5 ñåìèíàðà1 ñåìèíàð1 ñåìèíàð1,5 ñåìèíàðà1 ñåìèíàðÑèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà1.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Êîøè. Ñóùåñòâîâàíèåè åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Èñïîëüçîâàíèåòåîðåìû Ïèêàðà. Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèåïîíèæåíèå ïîðÿäêà.3 ñåìèíàðàËèíåéíûå ñèñòåìû è óðàâíåíèÿ âûñîêîãî ïîðÿäêà1. Ëèíåéíûå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè, ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà.2. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè, îäíîðîäíûå è íåîäíîðîäíûå.Óðàâíåíèå Ýéëåðà.3. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìèêîýôôèöèåíòàìè, ôîðìóëàÎñòðîãðàäñêîãî Ëèóâèëëÿ.Êðàåâûå çàäà÷è1. Ïðÿìîå ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷,ðåãóëÿðíûõ è ñèíãóëÿðíûõ.2. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ãðèíà è ðåøåíèåñ åå ïîìîùüþ êðàåâûõ çàäà÷.3. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûåôóíêöèè êðàåâûõ çàäà÷.1,5 ñåìèíàðà2,5 ñåìèíàðà1 ñåìèíàð0,5 ñåìèíàðà1 ñåìèíàð0,5 ñåìèíàðà3Çàäàíèÿïî äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì3-é ñåìåñòð òå÷åíèå ñåìåñòðà ñòóäåíò îáÿçàí ñäàòü ïðåïîäàâàòåëþ â óñòíîé ôîðìå âñå çàäà÷è èç ïðèâåäeííîãî íèæå ñïèñêà è âûïîëíèòü äâå ïèñüìåííûå êîíòðîëüíûå ðàáîòû.Íå âûïîëíèâøèå ýòî óñëîâèå íå äîïóñêàþòñÿ ê ýêçàìåíó.Çàäàíèå 1(ñäàòü äî 21 îêòÿáðÿ)1.
Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿy0 =y2.xÑ ïîìîùüþ èçîêëèí ïîñòðîèòü êàðòèíó ðåøåíèé, íàéòè îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ. Èññëåäîâàòü âûïóêëîñòü ðåøåíèé, íàéòè ëèíèþ ïåðåãèáà.2. Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿy0 =y 2 − xy.x2Ñ ïîìîùüþ èçîêëèí ïîñòðîèòü êàðòèíó ðåøåíèé. Óêàçàòü, êàêîé òèï ñèììåòðèèèìååò êàðòèíà ðåøåíèé. Íàéòè îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ. Èçîáðàçèòü ïðÿìîëèíåéíûå èíòåãðàëüíûå êðèâûå. Èññëåäîâàòü âûïóêëîñòü ðåøåíèé, íàéòè ëèíèèïåðåãèáà. Ñêîëüêî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 ), åñëè x0 6= 0?3. Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿy0 =4.
Äëÿ óðàâíåíèÿ4x + y + 7.x−y+3y 0 = 4y sin2 x − sin 2xäîêàçàòü óòâåðæäåíèÿ:à) ñóùåñòâóåò ðåøåíèå y ∗ (x), −∞ < x < +∞, îãðàíè÷åííîå íà R, è òàêîå ðåøåíèåòîëüêî îäíî; äàòü åãî ôîðìóëó; îöåíèòü âåðõíþþ ãðàíèöó åãî ìîäóëÿ;á) ïîêàçàòü, ÷òî y ∗ (x) π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.5. Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿxy 0 = y − ex y 2 .6. Íàéòè âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ1322y y − 2 dx − x y + 2 dy = 0.xx47.
Äàíà çàäà÷à Êîøèy 0 = cos y,y(0) = 1.à) Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Ïèêàðà, íàéòè èíòåðâàë, íà êîòîðîì îïðåäåëåíî ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè.á) Ñ ïîìîùüþ èçîêëèí ïîñòðîèòü êàðòèíó ðåøåíèé. Óêàçàòü, êàêîé òèï ñèììåòðèè èìååò êàðòèíà ðåøåíèé. Íàéòè îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ. Èçîáðàçèòüïðÿìîëèíåéíûå èíòåãðàëüíûå êðèâûå.
Èññëåäîâàòü âûïóêëîñòü ðåøåíèé, íàéòè ëèíèè ïåðåãèáà. Ñêîëüêî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 )?â) Íàéòè ðåøåíèå.ã) Íàéòè èíòåðâàë, íà êîòîðîì îïðåäåëåíî íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå. ßâëÿåòñÿëè íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå îãðàíè÷åííûì?Çàäàíèå 2(ñäàòü äî 25 íîÿáðÿ)8. Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè 2yy 00 − 2(y 0 )2 + y + 6 = 0,y(5) = −2, 0y (5) = −1.9. Ðåøèòü óðàâíåíèåx yy 00 − (y 0 )2 = yy 0 + 3y 2 .10. Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè2y 2 x2 y 00 + y += xy 0 + 2yy 0 ,xy(1)=2, 0y (1) = 6.11.
Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ẋ = 2x + y,ẏ = 4x + 2y + 4z,ż = −2x − y − z.Âûïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé.12. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ẋ = x + 2y + 2z,ẏ = 2x + y + 2z,ż = 2x + 2y + z.Âûïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé.513. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ẋ = −2x − y − z,ẏ = −4x + 2y − z,ż = 16x + 4y + 6z.Âûïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé.14. Íàéòè âñå âåùåñòâåííîçíà÷íûå ðåøåíèÿ ñèñòåìûẋ = −3x − 2y,ẏ = 5x + 3y.Âûïèñàòü ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó ðåøåíèé.15. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìûetẋ=x−y+,sin tt ẏ = x + y + e .cos tÇàäàíèå 3(ñäàòü äî 30 äåêàáðÿ)16.
Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 00 − 6y 0 + 9y =e3x.x17. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 00 + y 0 − 30y = xe5x .18. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy 00 − 6y 0 + 10y = sin x + e3x .19. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿy (4) + 4y 00 + 4y = x2 + e−2x + cos x.20. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿx2 y 00 − xy 0 + y =x+ ln x.ln x21. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿx2 ln x y 00 − (ln x + 1)xy 0 + (ln x + 1)y = 2x.622. Ïðè êàêèõ a ∈ R è f (x) ∈ C([0, π]) êðàåâàÿ çàäà÷à 00 y + y = f (x),y(0) + ay 0 (0) = 0,y(π) = 0à) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, á) íå èìååò ðåøåíèé, â) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãîðåøåíèé?23. Íàéòè ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è 2 00 x y + 3xy 0 + y = f (x),y(1) = 0,y(e) = 0.Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãðèíà.24.
Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷è 2 00x y + xy 0 = λy,y 0 (1) = y(e) = 0.7Ïðàâèëà àòòåñòàöèè ñòóäåíòîâ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿìÊîíòðîëü ðàáîòû â ñåìåñòðå(1)  òå÷åíèå ñåìåñòðà ñòóäåíò îáÿçàí ñäàòü ñâîåìó ñåìèíàðèñòó â óñòíîé ôîðìåâñå 24 çàäà÷è èç ïðèâåäeííûõ âûøå çàäàíèé, à òàêæå çàäà÷è èç ï.2.(2) Âî âðåìÿ ñåìåñòðà ïðîâîäèòñÿ äâå êîíòðîëüíûå.
Òå çàäà÷è, êîòîðûå ðåøåíûíà ìèíóñ/ïëþñ ëèáî ìåíüøå, ñäàþòñÿ â óñòíîé ôîðìå ñâîåìó ñåìèíàðèñòó.(3) Åñëè ñòóäåíò ïðîïóñòèë ìíîãî çàíÿòèé, òî ñåìèíàðèñò èìååò ïðàâî çàäàòüåìó èíäèâèäóàëüíûå äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è èç ÷èñëà òåõ, êîòîðûå ðåøàëèñü íàïðîïóùåííûõ çàíÿòèÿõ.(4) Ïðèeì çàäà÷ èç ï.1 è ï.2 ïðåêðàùàåòñÿ 30-ãî äåêàáðÿ 2018 ãîäà.(5) Ñòóäåíò, íå ñäàâøèé âñå çàäà÷è èç ï.1 è ï.2, íå äîïóñêàåòñÿ ê ýêçàìåíó ïîäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì êàê íå âûïîëíèâøèé ó÷åáíûé ïëàí.Ïðîâåäåíèå ýêçàìåíà(6) Ñòóäåíò, ñäàâøèé âñå çàäà÷è èç ï.1 è ï.2, ïîëó÷àåò âîçìîæíîñòü îòâå÷àòü íàáèëåò íà ýêçàìåíå.(7) Ñòóäåíò ìîæåò ñäàâàòü ýêçàìåí òîëüêî â òîò äåíü è òîëüêî â òîé àóäèòîðèè,êîòîðûå óêàçàíû â ðàñïèñàíèè ýêçàìåíîâ äëÿ åãî ãðóïïû.(8) Ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ èç ïðîãðàììû êóðñà è çàäà÷ó. Ñïèñîê âîïðîñîâ, âûíîñèìûõ íà ýêçàìåí, âûêëàäûâàåòñÿ íà ñàéòhttp://www.phys.nsu.ru/balakina â ïåðâûå äíè ýêçàìåíàöèîííîé ñåññèè.(9) Íà ïîäãîòîâêó ê îòâåòó äàeòñÿ îäèí ÷àñ.(10) Ïðè ïîäãîòîâêå ê îòâåòó ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ñîáñòâåííîé ãîëîâîé.(11) Ïðè ïîäãîòîâêå ê îòâåòó çàïðåùàåòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ êàêîé-ëèáî ëèòåðàòóðîé,êîíñïåêòàìè, øïàðãàëêàìè, ìîáèëüíûìè òåëåôîíàìè è ïîäñêàçêàìè òîâàðèùåé.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
