1611688706-d8f8c22d69fdf4046d7cc52066afbe92 (826643)
Текст из файла
ВОПРОСЫпо курсу лекций «Численные методы анализа и линейной алгебры»(3 семестр обучения ММФ НГУ, II поток, лектор С.П. Шарый)1. Задачи интерполирования и приближения функций. Алгебраическая интерполяция. Существование и единственность решения задачи алгебраической интерполяции. Интерполяционный полином Лагранжа.2. Разделённые разности и их свойства. Формула для прямого представления разделённых разностей. Интерполяционный полином Ньютона.3. Оценка погрешности алгебраической интерполяции с простыми узлами.Связь разделённых разностей функции с её производными.4. Полиномы Чебышёва, их различные представления.
Свойства полиномовЧебышёва. Применение полиномов Чебышёва в интерполировании.5. Задача алгебраической интерполяции с кратными узлами, существование и единственность её решения. Оценка погрешности алгебраическойинтерполяции с кратными узлами.6. Понятие интерполяционного процесса и его сходимости. Примеры Бернштейна и Рунге. Теорема Фабера и теорема Марцинкевича, их значениедля теории интерполяции. Условия сходимости интерполяционных процессов по чебышёвским узлам.7.
Понятие о сплайне, мотивации конструкции сплайна. Степень сплайна,его дефект. Интерполяционный кубический сплайн (без построения), точность приближения им функции и её производных. Экстремальное свойство естественных кубических сплайнов.8. Построение интерполяционного кубического сплайна.9. Задача приближения функций. Наилучшее приближение в евклидовомпространстве. Метод наименьших квадратов.
Выбор базисных функцийв методе наименьших квадратов.10. Полиномы Лежандра, их свойства. Формула Родрига. Применение полиномов Лежандра в задачах приближения.11. Численное интегрирование, квадратурная формула и её остаточный член.Интерполяционные квадратурные формулы, формулы Ньютона-Котеса.Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций.
Оценка их погрешности.12. Квадратурная формула Симпсона, оценка её погрешности. Составныеквадратурные формулы, их погрешность. Простейшие составные квадратурные формулы и оценки их погрешности.13. Алгебраическая степень точности квадратурных формул. Задача оптимизации квадратур и формулы Гаусса. Простейшие квадратуры Гаусса иих свойства.14. Выбор узлов для квадратурных формул Гаусса в общем случае.
Построение квадратурных формул Гаусса. Погрешность квадратур Гаусса.15. Сингулярные числа и сингулярные векторы матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Спектральный радиус и его свойства. Связь спектрального радиуса матрицы и асимптотического поведения её степеней.16. Нормы в пространствах векторов и матриц, их применение. Эквивалентность норм.
Согласованные и подчинённые нормы, примеры согласованияи подчинения. Подчинённые матричные нормы для популярных векторных норм.17. Понятие об обусловленности математической задачи. Число обусловленности матрицы и оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений через погрешности входных данных. Примерыхорошо и плохо обусловленных матриц.18. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений,его матричная интерпретация. Различные способы выбора ведущего элемента.19. LU-разложение матрицы, его связь с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия существования LUразложения матриц.
Строго регулярные матрицы.20. Разложение Холесского для матриц, его существование и единственность.21. Метод Холесского (квадратного корня) для решения систем линейныхуравнений.22. Поведение числа обусловленности при матричных преобразованиях. Мотивация применения ортогональных матриц при решении систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональные матрицы вращений и отражений.23. Ортогональные матрицы отражения (матрицы Хаусхолдера) и их свойства.24.
Метод Хаусхолдера (отражений) для решения систем линейных уравнений. Ортогональные матрицы вращений (матрицы Гивенса). Метод вращений для решения систем линейных уравнений.25. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов. Доказательство необходимости.26. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных одношаговых итерационных методов. Доказательство достаточности.27. Способы подготовки системы линейных алгебраических уравнений к итерационному решению.
Предобуславливание. Расщепление матрицы системы. Оптимизация простейшего скалярного предобуславливателя.28. Итерационный метод Якоби, условия его сходимости. Сходимость метода Якоби для линейных систем, матрицы которых имеют диагональноепреобладание.29. Итерационный метод Гаусса-Зейделя, условия его сходимости. Сходимостьметода Гаусса-Зейделя для линейных систем, матрицы которых имеютдиагональное преобладание.30. Признак Адамара неособенности матриц.
Круги Гершгорина. ТеоремаГершгорина.Литература[1] Барахнин В.Б., Шапеев В.П. Введение в численный анализ. – Санкт-Петербург–Москва– Краснодар: Лань, 2005.[2] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – Москва: Бином,2003, а также другие издания этой книги.[3] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1–2. – Москва: Наука, 1966.[4] Демидович Б.П., Марон А.А. Основы вычислительной математики. – Москва: Наука,1970.[5] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра.
– Москва: Мир, 2001.[6] Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры. – Новосибирск:Наука, 1993.[7] Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989.[8] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – Москва:Наука, 1976.[9] Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. – Москва: Академия, 2007.[10] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. –Москва–Ленинград: Физматлит, 1963.[11] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. – Москва: Мир, 1989.[12] Шарый С.П. Курс вычислительных методов.
– Новосибирск: НГУ, 2015. – Электронныйучебник, доступный на http://www.ict.nsc.ru/matmod/index.php?file=u_posobiya.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
