1611676862-172a5a147b9d016b74aff99cd33d80d5 (826613)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Несобственный интеграл.Опр. Пусть f определена на промежутке [a, +∞), причем f ∈ Rim[a; b] для каждого b ∈∫b(a, +∞). Тогда предел lim f (x)dx называют несобственным интегралом функции f от ab→+∞ a+∞∫до +∞ и обозначают черезf (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функ-aция f интегрируема (в несобственном смысле) на промежутке [a, +∞) или интеграл+∞∫сходится, иначе f неинтегрируема на промежутке [a, +∞) или интеграл∫bАналогично определяется несобственный интеграл∫cсуммуf (x)dx +−∞+∞∫f (x)dx, а−∞+∞∫+∞∫f (x)dxaf (x)dx расходится.af (x)dx определим как−∞f (x)dx, где c – произвольное вещественное число.cОпр.

Пусть f неограничена на отрезке [a, b], причем f ∈ Rim[a, c] для каждого c ∈ (a, b). Тогда∫cпредел lim f (x)dx называют несобственным интегралом функции f от a до b и обозначаютчерез∫bc→+b af (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функция f интегрируема (вaнесобственном смысле) на отрезке [a, b] или интегрална отрезке [a, b] или интеграл∫b∫bf (x)dx сходится, иначе f неинтегрируемаaf (x)dx расходится.aАналогично определяется несобственный интеграл∫bf (x)dx, где f неограничена на отрезкеa[a, b], причем f ∈ Rim[c, b] для каждого c ∈ (a, b).Пусть f неограничена на отрезке [a, b]. Тогда если f ∈ Rim[c, c′ ] для каждого [c, c′ ] ∈ (a; b),∫b∫c∫bто f (x)dx определим как сумму f (x)dx + f (x)dx, где c – произвольное вещественное числоaacиз (a, b); если f ∈ Rim[a, c], Rim[c′ , b] для любых c ∈ (a, d), c′ ∈ (d, b), где d некоторая точка из∫b∫d∫b(a, b), то f (x)dx определим как сумму f (x)dx + f (x)dx.aadДалее, достаточно рассмотреть несобственные интегралы двух типов по одной схеме.

Пустьфункция f определена [a, ω) и реализуется одна из следующих ситуаций:1. ω = +∞;2. ω ∈ (a, +∞), ∀c ∈ (a; ω) функция f ограничена на [a, c] и неограничена на [c, ω].∫ωТогда мы будем говорить о несобственном интеграле f (x)dxaОсновные свойства:Теорема. Пусть b ∈ (a, ω). Если∫ωf (x)dx сходится, то сходится такжеaПри этомb∫ω∫bf (x)dx =aТеорема. Если∫ωa∫ω∫ωf (x)dx +af (x)dx сходится, то limf (x)dx.b∫ωc→ω−0 cf (x)dx = 0.f (x)dx, и наоборот.Теорема. Если∫ω∫ωf (x)dx,a∫ωg(x)dx сходятся, то сходится также (αf (x) + βg(x))dx.

При этомaa∫ω∫ω(αf (x) + βg(x))dx = αa∫ωf (x)dx + βag(x)dx.aТеорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f интегрируема на [a, b] для каждого∫ωb ∈ [a, ω) и имеет первообразную F на (a, ω). Тогда f (x)dx сходится тогда и только тогда,aкогда F (ω − 0) ∈ R. При этом∫ωf (x)dx = F (ω − 0) − F (a + 0).aТеорема (формула интегрирования по частям). Пусть функции f, g дифференцируемы на[a, ω).

Тогда из существования и конечности двух из трех выражений∫ω∫ω′f (x)g (x)dx,lim f (x)g(x),x→ω−0af ′ (x)g(x)dxaследует существование третьего и справедливость равенства∫ωf (x)g ′ (x)dx = lim f (x)g(x) − f (a)g(a) −∫ωx→ω−0af ′ (x)g(x)dx.aТеорема. (о замене переменной) Пусть функция f (x) непрерывна промежутке [a, ω) и функцияφ(t) непрерывно дифференцируема на промежутке с концами α, β и отображает этот промежуток на [a, ω), причем φ(α) = a, lim φ(x) = ω. Тогда интегралыx→β∫ω∫βf (x)dx,af (φ(x))φ′ (x)dxαсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости они совпадают.Сходимость интеграла в случае неотрицательной функции:∫bТеорема Если f : [a, ω) неотрицательна и функция F (b) = f (x)dx ограничена сверху на(a, ω), то∫ωaf (x)dx сходится.aТеорема (Признак сравнения). Пусть 0 ≤ f ≤ g на [a, ω).

Тогда∫ω∫ω1. если g(x)dx сходится, то сходится f (x)dx;a2. если∫ωaf (x)dx расходится, то расходитсяa∫ωg(x)dx.aСледствие Пусть функции f, g ≥ 0 на [a, ω). Если lim f (x)/g(x) = K ∈ (0, +∞), то∫ωx→ω−0∫ωf (x)dx,ag(x)dx сходятся или расходятся одновременно, причем если K = 0, то из сходимости второгоaинтеграла следует сходимость первого, а если K = +∞, то из расходимости второго интеграласледует расходимость первого.Сходимость интеграла в общем случае:Теорема (Критерий Коши). Пусть f ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Для того, чтобы∫ωинтеграл f (x)dx сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовалоa∫b2такое число b ∈ (a, ω), что для любых b1 , b2 ∈ (b, ω) имело место | f (x)dx| < ε.b1Теорема (Признак Абеля) Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω).

Если интегралсходится, а функция g монотонна и ограничена на [a, ω), то∫ω∫ωf (x)dxaf (x)g(x)dx сходится.aТеорема (Признак Дирехле) Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Если функция∫bF (b) = f (x)dx ограничена на (a, ω), а функция g(x) монотонно стремится к нулю при x →aω − 0, то∫ωf (x)g(x)dx сходится.aАбсолютная сходимость интеграла:Опр.

Говорят, что несобственный интеграл∫ωf (x)dx сходится абсолютно, если сходитсяa∫ω|f (x)|dx.aГоворят, что несобственный интеграл сходится условно, если он сходится, но не сходится абсолютно.Теорема Если∫ω∫ω∫ωf (x)dx сходится абсолютно, то он сходится, причем | f (x)dx| ≤ |f (x)|dx.aТеорема Пусть f, g ∈ Rim[a, b] для каждого b ∈ (a, ω). Еслифункция |g(x)| ≤ L на [a, ω), несобственный интеграл∫ω∫ωaaf (x)dx сходится абсолютно, аaf (x)g(x)dx сходится абсолютно, причемa∫ω∫ω|f (x)g(x)|dx ≤ La|f (x)|dx.aСходимость интеграла в смысле главного значения:Опр. Пусть f определена на всем R, причем f ∈ Rim[a, b] для каждого [a, b] ⊂ R. Тогда+∞∫c∫предел limf (x)dx называют главным значением несобственного интегралаf (x)dx иc→+∞ −cобозначают через v.p.+∞∫−∞f (x)dx. В случае если этот предел конечен, то говорят, что функция f−∞интегрируема в смысле главного значения на всем R или интеграл+∞∫f (x)dx сходится в смысле−∞главного значения, иначе f неинтегрируема в смысле главного значения на всем R.Опр.

Пусть f определена на [a, b], причем f ∈ Rim[a, c], Rim[c′ , b] для всех ∈ [a, d), c′ ∈ (d, b],( d−c)∫∫bf (x)dx +где d некоторая точка из (a, b). Тогда предел limf (x)dx называют главнымc→0+значением несобственного интеграла∫baad+c∫bf (x)dx и обозначают через v.p. f (x)dx. В случае еслиaэтот предел конечен, то говорят, что функция f интегрируема в смысле главного значения на∫b[a, b] или интеграл f (x)dx сходится в смысле главного значения, иначе f неинтегрируема вaсмысле главного значения на [a, b]..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы