1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 48
Текст из файла (страница 48)
рис. 6.1). Поскольку в условии задачи не оговаривается иное, будем считать, что среда, вυsкоторой распространяется звуковаяволна, неподвижна относительно лабоcраторной системы отсчета.SDИзменения частоты звуковой волны, воспринимаемой неподвижнымXприемником, обусловлено эффектомРис. 9.10Доплера (см. п.
9.1.6).II. Ширина частотного интервала Δν звуковых волн, воспринимаемых приемником, определяется разностью максимальной иминимальной частот этих волн.В случае, когда источник приближается к приемнику, максимальная частота ν max регистрируемой неподвижным приемникомволны, в соответствии с (9.51), равнаcν sν max =,(9.111)c − υs 0Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты355где υ s 0 – амплитуда скорости движения источника относительносреды, c – скорость распространения волны в среде.При движении тележки по гармоническому закону амплитудаее скорости, а, следовательно, и амплитуда скорости источника,равна:υs 0 = Aω .(9.112)В случае удаления источника от приемника частота ν min ,воспринимаемая приемником, будет минимальной и равнойcν sν min =.(9.113)c + υs 0III. Искомая ширина частотного интервала звука Δν, воспринимаемого неподвижным приемником, согласно (9.111) и (9.113)равна:cυ(9.114)Δν = ν max −ν min = 2ν s 2 s 0 2 .c − υs0Используя взаимосвязь амплитуды скорости источника с амплитудой его колебаний вместе с тележкой (9.112), получаем:cAωΔν = 2ν s 2.(9.115)c − A2ω 2Решая уравнение (9.115) относительно ω , находим ее величину:−ν c ± c ν s2 + (Δν )ω= s.(9.116)AΔνПоскольку частота колебаний является положительной величиной,то для частоты колебаний тележки окончательно получаем:2⎛⎞⎛ Δν ⎞νc ⎜⎟⎟⎟ − 1⎟ .ω = s ⎜ 1 + ⎜⎜(9.117)AΔν ⎜ν⎟⎝ s ⎠⎝⎠В соответствии с условием задачи Δν << ν s , следовательно(9.117) можно упростить, ограничиваясь в разложении квадратного22⎛ Δν ⎞⎟⎟ линейным члекорня в ряд по степеням малого параметра ⎜⎜⎝ νs ⎠ном ряда:МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ356cΔν.(9.118)2 Aν sПодстановка численных значений физических величин, заданных в задаче, дает:ω ≅ 3,4 рад/с .ω≅Задача 9.7В упругой однородной среде с плотностью ρ распространяются две плоские гармонические продольные волны смещений соскоростью c, одинаковыми амплитудами a и частотами ω , одна –вдоль оси X, другая – вдоль оси Y некоторой декартовой системыкоординат.
Найти среднее значение плотности потока энергии результирующего волнового поля вдоль прямой y = x в плоскостиXY, считая одинаковыми начальные фазы колебаний частиц средыв начале координат, обусловленных каждой волной в отдельности.РешениеI. По условию задачи задана декартова система координат,вдоль осей X и Y которой распространяются две плоские продольные гармонические волны.II. Запишем в соответствии с условием задачи законы распространения бегущих плоских продольных гармонических волнсмещений (в соответствии с (9.8)):ξ1 (t , x ) = ae x cos(ω t − kx + ϕ0) ,(9.119)ξ 2 (t , y ) = ae y cos(ω t − ky + ϕ0) ,(9.120)где e x и e y − единичные векторы вдоль осей X и Y, k =ω− волcновое число для обеих волн, ϕ 0 − начальные фазы колебаний частиц среды в начале координат, обусловленных каждой волной вотдельности.Определим амплитуду A результирующего волнового полясмещений вдоль прямой y = x в плоскости XY:ξ (t , x, y ) = ξ1 (t , x ) + ξ 2 (t , y ) == ae x cos(ωt − kx + ϕ 0 ) + ae y cos(ωt − ky + ϕ 0 ) == ae x cos(ωt − kx + ϕ0 ) + ae y cos(ωt − kx + ϕ 0 ) =()= a e x + e y cos(ωt − kx + ϕ 0 ) .(9.121)Глава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты357Направим вспомогательную ось Γ вдоль прямой y = x вплоскости XY и обозначим единичный вектор вдоль этого направления как eγ . Поскольку e x + e y = 2eγ , тоξ = a 2eγ cos(ωt − kx + ϕ 0 ) = Aeγ cos(ωt − kx + ϕ 0 ) ,(9.122)где амплитуда волнового поля A вдоль оси Γ равна:A = 2a .(9.123)Подставляя в выражение (9.122) для смещения частиц средывдоль оси Γ соотношение координат вдоль осей X и Γ − x =γ2,получаем:⎛ ⎛⎞γ ⎞ξ = Aeγ cos⎜⎜ ω ⎜ t −(9.124)⎟ + ϕ 0 ⎟⎟ .2c ⎠⎝ ⎝⎠Как видим, волновое поле вдоль оси Γ можно интерпретировать как бегущую продольную волну смещений с амплитудой A(9.123) и скоростьюcγ = 2c .(9.125)Среднее значение плотности потока энергии волнового возмущения вдоль прямой y = x в соответствии с (9.48) можно записать в виде:A2 ρω 2I = S ( x, t ) T =cγ .(9.126)2III.
Подставив в (9.126) амплитуду колебаний A (9.123) и скорость распространения волны cγ (9.125), получим искомое среднеезначение плотности потока энергии результирующего волновогополя вдоль прямой y = x в плоскости XY:I = 2a 2ρω 2c .(9.127)Задача 9.8Источник звуковых колебаний S с частотой ν 0 = 1700 Гц находится между плоским отражателем и приемником D (см.рис. 9.11). Источник и приемник неподвижны и расположены наодной и той же нормали к отражателю, который удаляется от источника со скоростью u = 6 см/с.
Скорость звука с = 340 м/с. Найтичастоту биений, регистрируемых приемником.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ358DcSРис. 9.11ucXРешениеI. Выберем направление оси X декартовой системы координат, совпадающим с направлением движения отражателя, как показано на рис. 9.11. Приемник регистрирует суперпозицию двух звуковых волн: испущенной источником и отраженной от движущегося отражателя.II. При решении задачи воспользуемся формулой (9.51), связывающей частоты колебаний движущихся источника и приемниказвуковой волны:c − υdνd =νs ,(9.128)c − υsгде υ s и υ d – скорости движения источника и приемника относительно среды, c – скорость распространения волны в среде, ν s –частота излучаемой источником звуковой волны, ν d – частота волны, которую регистрирует детектор.
Все скорости направлены водну сторону.Частота волны, которую зафиксировал бы детектор, находящийся на движущемся отражателе, определяется в соответствии с(9.128) выражением:c − υdc −u=ν 0ν1 =ν 0.(9.129)ccСчитая, что отражатель не меняет частоту волны при отражении, запишем выражение для частоты волны, отраженной от отражателя и зарегистрированной неподвижным приемником согласно (9.128):cc−u=ν 0ν 2 =ν1.(9.130)c + υsc+uЗнак плюс в знаменателе формулы (9.130) обусловлен тем,что в этом случае скорость отражателя (источника отраженнойГлава 9.
Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты359волны) и скорость отраженной волны направлены в противоположные стороны.Для частоты биений (см. решение задачи 8.10 в Главе 8), возникающих в результате суперпозиции волны с частотой ν 0 , испущенной неподвижным источником, и волны с частотой ν 2 , отраженной от движущегося отражателя, запишем:ν биен = ν 0 −ν 2 .(9.131)III. Решая систему уравнений (9.130) и (9.131), находим искомую величину частоты биений:2uc−uν биен = ν 0 −ν 0.(9.132)=ν 0c+uc+uПодставляя в (9.132) заданные в условии задачи численныезначения физических величин, получим значение частоты биений,зарегистрированных приемником:ν биен = 0,6 Гц .Задача 9.9Стальная струна длиной L = 110 см, плотностью ρ = 7,8 г/см3и диаметром d = 1 мм натянута между полюсами электромагнита.При пропускании по струне переменного тока частотой ν = 256 Гцв ней возбуждается упругая поперечная волна, причем на длинеструны "укладывается" n = 5 полуволн.
Найти силу натяженияструны.РешениеI. Будем считать, что относительное изменение силы натяжения струны, вызванное упругой поперечной волной, пренебрежимомало (см. п. 9.1.4.Б). Задачу решаем в лабораторной системе отсчета, ось X декартовой системы координат которой направим вдольструны (см. рис. 9.12).L0Рис.
9.12XМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ360II. Запишем взаимосвязь скорости распространения упругихпоперечных волн в струне и силы натяжения струны (см. (9.27) вп. 9.1.4.В)Tc=,(9.133)ρSгде площадь поперечного сечения струны S равна:πd 2S=.(9.134)4Для нахождения искомой силы натяжения струны необходимо определить скорость распространения упругих поперечныхволн в струне (см.
(9.133)).По условию задачи на длине струны "укладывается" n полуволн:L=nλ.(9.135)2Частота колебаний и длина волны связаны соотношением:c(9.136)λ= .νIII. Решая систему уравнений (9.133) − (9.136), получим искомую силу натяжения струны:πd 2 L2ν 2 ρT=.(9.137)n2Подставляя численные значения заданных в условии задачифизических величин, входящих в (9.137), окончательно получим:T ≅ 77,7 Н .Задача 9.10Найти частоты ν n , на которых будет резонировать трубадлиной L = 1,7 м, закрытая с одного конца, если скорость звука ввоздухе равна c = 340 м/с.РешениеI. Частоты, на которых будет резонировать труба, совпадаютс частотами нормальных колебаний частиц воздуха в трубе, образующих стоячие волны.Глава 9. Бегущие и стоячие волны.
Моды и нормальные частоты361Выберем декартову систему координат лабораторной системы отсчета, связанной с трубой, ось X которой направим вдольтрубы (см. рис. 9.13).L0XРис. 9.13II. Запишем уравнение стоячей волны (см. (9.53)):ξ (t , x) = C cos(kx + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) .(9.138)Поскольку у закрытого конца трубы частицы не испытываютсмещения из положения равновесия, то в любой момент времени:ξ (t ,0) = C cos(ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ0 ) = 0 .(9.139)Частицы, находящиеся вблизи открытого конца трубы, испытывают одинаковое максимальное смещение из положения равновесия.
При этом не происходит изменение плотности воздуха. Следовательно, в соответствии с (9.34), можно записать:∂ξ (t , x)Δρ=−= 0.(9.140)∂x x = Lρ x=LПодставляя результат дифференцирования (9.138) по x в(9.140), получим:∂ξ (t , x)= kC sin (kL + ψ 0 ) cos(2πνt + ϕ 0 ) = 0 .(9.141)∂x x = LIII. Решая совместно систему уравнений (9.139) и (9.141) длялюбого момента времени, получим:⎛ 2πν ⎞(9.142)cos⎜L⎟ = 0 .⎝ c⎠Следовательно, искомые частоты нормальных колебанийчастиц воздуха в трубе, на которых резонирует труба, равны:cν n = (2n + 1), n = 1, 2, 3, ….(9.143)4LЗаметим, что такими же собственными частотами обладаетстержень, закрепленный с одного конца (см. табл. 9.1).362МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДля длин стоячих волн, соответствующих этим нормальнымколебаниям, можно записать:λ4Lλn =или L = (2n + 1) n .(9.144)42n + 1Полученное соотношение (9.144) означает, что при образовании стоячей волны в трубе, закрытой с одного конца, на длине трубы должно "укладываться" нечетное число четвертей длин волн.Подставляя численные значения заданных в условии задачифизических величин, входящих в (9.143), получим искомые значения частот, на которых будет резонировать труба:ν n = (50 + 100n) Гц .9.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
