1610912303-08eeedc298b00fd6069023945bd87407 (824691)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Правило Лопиталя.Теорема. (Правило Лопиталя) Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы на интервале (a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞), причҷм g(x) ̸= 0 и g ′ (x) ̸= 0 приx ∈ (a, b). Еслиf ′ (x)→ A ∈ R при x → a+g ′ (x)и выполняется одно из следующих двух условий:1. limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0,2.

|g(x)| → ∞ при x → a+,тоf (x)→ A при x → a+.g(x)•Доказательство.Шаг 1. Согласно формуле конечных приращений Коши между произвольными точкамиx и y из (a, b) существует такая точка ξx,y , чтоf (x) − f (y) =)f ′ (ξx,y ) (g(x)−g(y).g ′ (ξx,y )Разделив это равенство на g(x), мы получим:f (x)f (y) f ′ (ξx,y ) (g(y) )=+ ′1−.g(x)g(x) g (ξx,y )g(x)Нам необходимо показать, что(∗)f (x)→ A при x → a+. Для этого мы воспользуемсяg(x)теоремой Гейне.Зафиксируем произвольную убывающую последовательность точек {xk }, сходящуюсяк a. Если {yk } — какая-либо сходящаяся к a последовательность точек, то, как следуетиз принципа двух полицейских, любая последовательность точек ηk , лежащих между xkи yk , тоже будет стремиться к a.

Мы возьмҷм ηk = ξxk ,yk . Тогда из (∗) следует, чтоf (xk )f (yk ) f ′ (ηk ) (g(yk ) )=+1−.g(xk )g(xk ) g ′ (ηk )g(xk )(∗∗)f ′ (ηk )→ A при k → ∞. Нам осталось показать, что мы можем такg ′ (ηk )подобрать последовательность {yk }, чтоПо условию теоремыf (yk )→0 иg(xk )g(yk )→ 0 при k → ∞.g(xk )(∗ ∗ ∗)Шаг 2. Рассмотрим случай, когда limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0. Это означает, что длялюбого ε > 0 существует aε > a, такое, что |f (x)| < ε и |g(x)| < ε для всех x ∈ (a, aε ). Возьмҷм произвольное k ∈ N и положим ε = |g(xk )|/k.

Этому ε соответствует некоторое числоaε > a. В качестве yk возьмҷм произвольную точку из (a, aε ). Тогда |f (yk )| < |g(xk )|/k и1|g(yk )| < |g(xk )|/k, откуда следует (∗ ∗ ∗). Из (∗∗), в силу произвольности последовательности {xk } следует утверждение теоремы.Шаг 3. Рассмотрим случай, когда |g(x)| → ∞ при x → a+, то есть |g(xk )| → ∞ приk → ∞. Отсюда следует, что для каждого n ∈ N найдҷтся такое Mn ∈ N, что|f (xn )|1<|g(xk )|nи|g(xn )|1<|g(xk )|nдля всех k > Mn .Заметим, что в этом утверждении вместо найденного Mn можно взять любое большее Mnнатуральное число (но, вообще говоря, не меньшее). Поэтому последовательность {Mn }можно считать возрастающей: Mn < Mn+1 .

При этом Mn → ∞ при n → ∞. Для каждогоk ∈ N существует единственное натуральное число nk , такое, что Mnk < k 6 Mnk +1 . Приэтом nk → ∞ при k → ∞. Определим yk = xnk . Тогда|f (xnk )|1|f (yk )|=<|g(xk )||g(xk )|nkи|g(yk )||g(xnk )|1=<|g(xk )||g(xk )|nkОтсюда следует (∗ ∗ ∗).Таким образом, теорема полностью доказана.для всех k ∈ N.Замечание. На третьем шаге доказательства мы, фактически, по заданной последовательности {xk }, стремящейся к a, построили последовательность {yk }, которая стремитсяк a «медленнее», чем {xk }.

В последовательности {yk } каждый элемент последовательности {xk } повторялся несколько раз. Поясним это построение на примере. Пусть a = 0 иxk = 1/k. Возьмҷм в качестве {yk } следующую последовательность:1,1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,...2 2 3 3 3 4 4 4 4То есть, в этой последовательности каждое число 1/k повторяется k раз. Ясно, что xk /yk →0 при k → ∞. Поэтому если, например, g(x) = 1/x, то g(yk )/g(xk ) → 0 при k → ∞.•2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги