1610906281-01dbea734f4ec795a743bdccea0de373 (824382)
Текст из файла
1×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè×àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè îäíà èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ ôîðìàëèçàöèé ïîíÿòèÿ âû÷èñëèìîé ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå ýòîãî êëàññà ïîñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëàìû îïðåäåëèì òàê íàçûâàåìûå ïðîñòåéøèå ôóíêöèè, â èíòóèòèâíîéâû÷èñëèìîñòè êîòîðûõ òðóäíî óñîìíèòüñÿ, à ïîòîì îïðåäåëèì òðè îïåðàòîðà íàä ôóíêöèÿìè, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ê âû÷èñëèìûì ôóíêöèÿìñíîâà äàåò âû÷èñëèìûå ôóíêöèè.
Íàèìåíüøèé êëàññ ôóíêöèé, ñîäåðæàùèé ïðîñòåéøèå ôóíêöèè è çàìêíóòûé îòíîñèòåëüíî ýòèõ îïåðàòîðîâ èáóäåò êëàññîì âñåõ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.Îïðåäåëåíèå 1.1xm ,äëÿ âñåõn (x , . . . , x ) =0(x) = 0, s(x) = x + 1 è Im1nm, n ∈ N òàêèõ, ÷òî 1 6 m 6 n, íàçûâàþòñÿ ïðîñòåéøèÔóíêöèèìè.Òåïåðü îïðåäåëèì òðè îñíîâíûõ îïåðàòîðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîâûõ âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé èç óæå èìåþùèõñÿ.Îïðåäåëåíèå 1.2Îïåðàòîðû S, R, M îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-çîì:Îïåðàòîð ñóïåðïîçèöèè Söèè. Ïóñòü ó íàñ èìåþòñÿ ÷àñòè÷íûå ôóíê-f (y1 , . . . , ym ), g1 (x1 , . . .
, xn ), . . . , gm (x1 , . . . , xn ). Ðåçóëüòàòîì ïðè-ìåíåíèÿ îïåðàòîðà ñóïåðïîçèöèè ê ýòèì ôóíêöèÿì ìû íàçîâ¼ìôóíêöèþh(x1 , . . . , xn ),çíà÷åíèå êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ, êàêh(x1 , . . . , xn ) = f (g1 (x1 , . . . , xn ), . . . , gm (x1 , . . . , xn )),z1 = g1 (x1 , . . . , xn ),zm = gm (x1 , . . . , xn ), à ïîòîì ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ çíà÷åíèéóæå âû÷èñëÿåòñÿ h(x1 , . . . , xn ) = f (z1 , . . . , zm ). Åñëè õîòÿ áû îäíîò.å. ñíà÷àëà âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé...,èç ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé íå âû÷èñëèòñÿ, òî ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ áóäåò íåîïðåäåëåííûì.Îïåðàòîð ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè Röèèh(z, y, x̄)èg(x̄),(x̄Ïóñòü èìåþòñÿ ÷àñòè÷íûå ôóíê-= x1 , .
. . , xn ).Ðåçóëüòàòîì ïðèìåíåíèÿîïåðàòîðà ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè ê ýòèì ôóíêöèÿì ìû íàçîâåìôóíêöèþf,êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ñõåìîé:f (0, x̄)= g(x̄)f (y + 1, x̄) = h(f (y, x̄), y, x̄).1 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà íàáîð ïåðåìåííûõx̄ïóñò, ñõåìà âûðîæ-äàåòñÿ âãäåaf (0)= af (y + 1) = h(f (y), y),f (n, x̄) ñîñòîèòf (0, x̄), f (1, x̄), . . . , f (n, x̄) ÷åðåç íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿâ ïîñëåäîâàòåëüíîì îïðåäåëåíèèóæå âû÷èñëåííûå ïðåäûäóùèå çíà÷åíèÿ. Åñëè îäíî èç ýòèõ çíà÷åíèé îêàæåòñÿ íåîïðåäåëåííûì, òî èf (n, x̄)òîæå áóäåò íåîïðå-äåëåíî.Îïåðàòîð ìèíèìèçàöèè M (µîïåðàòîð)ñòè÷íàÿ ôóíêöèÿg(z, x̄).Ïóñòü çàäàíà íåêîòîðàÿ ÷à- ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà ìè-íèìèçàöèè ìû ïîëó÷àåì íîâóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì:∀i < y g(i, x̄)f (x̄) = yòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîïðåäåëåíî è íå ðàâíîÌû èñïîëüçóåì äëÿµîïåðàòîðà0 ∧ g(y, x̄) = 0 .ñëåäóþùóþ çàïèñü:f (x̄) ' µy(g(y, x̄) = 0).Äëÿ ïðîñòîòû òàêóþ çàïèñü îáû÷íî ÷èòàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì:¾f (x̄) åñòü ìèíèìàëüíîåyòàêîå, ÷òîg(y, x̄) = 0¿,îòêóäà è ïðî-èñõîäèò íàçâàíèå ¾îïåðàòîð ìèíèìèçàöèè¿.
Ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿòàêîé ôóíêöèè ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì âû÷èñëåíèè çíà÷åíèég(0, x̄), g(1, x̄), . . . äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå ïîëó÷èì g(n, x̄) = 0 äëÿíåêîòîðîãî n. Ýòî n è íàäî âûäàòü â êà÷åñòâå îòâåòà. Åñëè ýòîòïðîöåññ íèêîãäà íå çàêîí÷èòñÿ, òî çíà÷åíèå f (x̄) áóäåò íå îïðåäåëåíî.
Åñëè â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ âû÷èñëèòüêàêîåëèáî çíà÷åíèåg(i, x̄),è îíî íå âû÷èñëèòñÿ, òî ïðîöåññ âû-÷èñëåíèÿ íèêîãäà íå çàêîí÷èòñÿ, è çíà÷åíèåf (x̄)òàêæå áóäåò íåîïðåäåëåíî.ßñíî, ÷òî åñëè èñõîäíûå ôóíêöèè èíòóèòèâíî âû÷èñëèìû, òî è ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ ê íèì âûøåóêàçàííûõ îïåðàòîðîâ òîæå áóäóò èíòóèòèâíî âû÷èñëèìûìè.Ïðèìåð. Ïóñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè g(y, x) íå îïðåäåëåíî ïðè y = 0 è ëþáîìx,à ïðè âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ îíî ðàâíî 0.
Òîãäà,àêêóðàòíî âûïîëíÿÿ ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè2h(x) = µy(g(y, x) =0)ïðèx = 0,÷òîg(0) íå îïðåäåëåíî! Ïîýòîìó òðàµy(g(y, x) = 0), êàê ¾ìèíèìàëüíîå y òàêîå,ïîëó÷èì, ÷òî çíà÷åíèåäèöèîííîå ïðî÷òåíèå çàïèñèg(y, x) = 0¿,ñîäåðæèò â ñåáå îïàñíîñòü íåïðàâèëüíîãî ïîíèìàíèÿîïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà ìèíèìèçàöèè.Îïðåäåëåíèå 1.3×àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿf : Nk → Níàçûâàåòñÿ ÷à-ñòè÷íî ðåêóðñèâíîé (ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíîé),åñëè ñóùåñòâóåò êî-íå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ôóíêöèéf1 , . .
. , fn = fòàêàÿ,÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèáî ïðîñòåéøàÿ, ëèáî ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèé ñ ìåíüøèìè íîìåðàìè ñ ïîìîùüþ îäíîãî èçîïåðàòîðîâ S,R,M (îïåðàòîðîâ S,R)Çàìå÷àíèå.Èç îïðåäåëåíèÿ ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî âñå ïðèìèòèâíî ðåêóð-ñèâíûå ôóíêöèè âñþäó îïðåäåëåíû.Îïðåäåëåíèå 1.4Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ îáùåðåêóðñèâíîé (èëè ïðîñòîðåêóðñèâíîé), åñëè îíà ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíà è âñþäó îïðåäåëåíà.Çàìå÷àíèå.Ïåðâîíà÷àëüíî äàííûå èññëåäîâàòåëÿìè îïðåäåëåíèÿ îá-ùåðåêóðñèâíîé è ðåêóðñèâíîé ôóíêöèé ðàçëè÷àëèñü, íî âïîñëåäñòâèèáûëî äîêàçàíî.
÷òî êëàññû ýòèõ ôóíêöèé ñîâïàäàþò, ïîýòîìó ñåãîäíÿîáà òåðìèíà èñïîëüçóþòñÿ êàê ñèíîíèìû.Ìû èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå ñîêðàùåíèÿ: ÷.ð.ô. äëÿ ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé, ð.ô. (î.ð.ô.) äëÿ ðåêóðñèâíûõ (îáùåðåêóðñèâíûõ) ôóíêöèé, ï.ð.ô. äëÿ ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé.Ëåììà 1.5Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíû:1.f (x) = a, a2.x + y;3.x × y;4.xy ;sg (x) =6.sg (x) =7.x−̇1 =5.
íàòóðàëüíîå ÷èñëî;0,1,åñëè1,0,åñëèx − 1,0,åñëèåñëèx=0x 6= 0;x=0x 6= 0;åñëèåñëèx>0x = 0;38.x−̇y =9.|x − y|.x − y,0,åñëèåñëèx>yx < y;Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ðåêóðñèâíîñòü ïîñòîÿííîé ôóíêöèè ñëåäóåòèç ðàâåíñòâàf (x) = s| .{z. .
s}(0(x)).a×àñòè÷íàÿ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèéx+y è x×y ñëåäóåò èç ñëåäóþùèõðåêóðñèâíûõ îïðåäåëåíèé:Ôóíêöèÿxy0+x= I11 (x)(y + 1) + x = I13 (s(y + x), y, x),0×x= 0(x)(y + 1) × x = y × x + (0(y) + x).ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Âîò ðåêóðñèâíîå îïðåäåëåíèå äëÿÔóíêöèÿsgsg :sg (0)= 0sg (y + 1) = 1.ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Äëÿ îñòàâøèõñÿ ôóíêöèé ëåììà ñëåäóåò èç ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ îïðåäåëåíèé:x−̇0= I11 (x)x−̇(y + 1) = I13 ((x−̇y)−̇1, y, x),|x − y| = (x−̇y) + (y −̇x).Îïðåäåëåíèå 1.6ÎòíîøåíèåR ⊆ Nkíàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíî ðåêóð-ñèâíûì (ðåêóðñèâíûì), åñëè ïððèìèòèâíî ðåêóðñèâíà (ðåêóðñèâíà) åãîχR (x̄), îïðåäåëÿåìàÿ,1, åñëè x̄ ∈ RχR (x̄) =0, åñëè x̄ ∈/ R.õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿêàêÒåïåðü íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ íîâûõ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è îòíîøåíèé ïî óæå èìåþùèìñÿ ðåêóðñèâíûì ôóíêöèÿì è îòíîøåíèÿì.4Ïðåäëîæåíèå 1.7è ôóíêöèèQ(ȳ),f1 (ȳ),P ⊆ NkÅñëè îòíîøåíèå...,fk (ȳ)(ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíî(ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíû, òî è îòíîøåíèåîïðåäåëåííîå, êàêQ(ȳ) ⇔ P (f1 (ȳ), .
. . , fk (ȳ))òîæå (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîχQ (ȳ) = χP (f1 (ȳ), . . . , fk (ȳ)).Òåïåðü íàì ïîíàäîáèòñÿ íåáîëüøîé ýêñêóðñ â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ñíà÷àëà ïîçíàêîìèìñÿ ñ ïîíÿòèåì âûñêàçûâàíèÿ. Ïðåäëîæåíèÿ,îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ â ïðèíöèïå èìååò ñìûñë ãîâîðèòü, ÷òî îíè ëèáî èñòèííû ëèáî ëîæíû, íàçûâàþòñÿ âûñêàçûâàíèÿìè. Òàê íàïðèìåð,¾2× 2 = 4¿, ¾7 × 8 = 972¿,¾Â Ëîíäîíå ñåé÷àñ ñîëíå÷íî¿ âûñêàçûâàíè-ÿìè ÿâëÿþòñÿ, ïðè÷¼ì íåçàâèñèìî îò ïîãîäû â Ëîíäîíå, à åñåíèíñêàÿñòðî÷êà ¾Äàé, Äæèì, íà ñ÷àñòüå ëàïó ìíå!¿ âûñêàçûâàíèåì íå ÿâëÿåòñÿ. êëàññè÷åñêîé ëîãèêå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà çíà÷åíèÿ èñòèííîñòè: È (èñòèíà) è Ë (ëîæü). Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòèìè áóêâàìèñîîòâåòñòâåííî èñòèííîñòü èëè ëîæíîñòü âûñêàçûâàíèÿ.Èç âûñêàçûâàíèé ìîæíî ñòðîèòü áîëåå ñëîæíûå âûñêàçûâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê→∧(È, êîíúþíêöèÿ),¬(ÅÑËÈ .
. . , ÒÎ . . . , èìïëèêàöèÿ),∨(ÈËÈ, äèçúþíêöèÿ),(ÍÅÂÅÐÍÎ, ×ÒÎ , . . . , îòðèöà-íèå).Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ èñòèííîñòè ñëîæíûõ âûñêàçûâàíèé âû÷èñëÿþòñÿïî çíà÷åíèÿì èõ êîìïîíåíòîâÇàïèñüP (x̄),AèBñîãëàñíî ñëåäóþùåé òàáëèöå:ABA∧BA∨BA→B¬AÈÈÈÈÈËÈËËÈËËËÈËÈÈÈËËËËÈÈîçíà÷àþùàÿ, ÷òî êîðòåæ ýëåìåíòîâx̄ïðèíàäëåæèòP,ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, êàê âûñêàçûâàíèå, åñëè èçâåñòíû çíà÷åíèÿ ýëå-x̄, ò.å. êàê âûñêàçûâàíèå, çàâèñÿùåå îò ýòèõ ýëåìåíòîâ.
Îáðàòíî,x̄, ìîæíî ðàññìàòðèêàê îòíîøåíèå, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîðòåæåé x̄, äåëàþùèõ ýòî âû-ìåíòîâêàæäîå âûñêàçûâàíèå, çàâèñÿùåå îò ïåðåìåííûõâàòüñêàçûâàíèå èñòèííûì.5Çàìåòèì, ÷òî âûñêàçûâàíèÿA → Bè¬A ∨ Bâñåãäà ïðèíèìàþòîäíè è òå æå çíà÷åíèÿ èñòèííîñòè, ÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïåðåáîðîìâñåâîçìîæíûõ íàáîðîâ çíà÷åíèÿ èñòèííîñòè äëÿËåììà 1.8AèB.P (x̄) è Q(x̄) (ïðèìèòèâíî) ðåêóðñèâíû,¬P (x̄), P (x̄) ∧ Q(x̄), P (x̄) ∨ Q(x̄), P (x̄) → Q(x̄) (ïðè-Åñëè îòíîøåíèÿòî è îòíîøåíèÿìèòèâíî) ðåêóðñèâíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, χ¬P = 1−̇χP , χPχP + χQ −̇χP · χQ ,âûõ òðåõ îòíîøåíèé. Äàëåå çàìåòèì, ÷òî¬P (x̄) ∨ Q(x̄),∧ Q= χP ·χQ , χP ∨Q =îòêóäà ñëåäóåò (ïðèìèòèâíàÿ) ðåêóðñèâíîñòü ïåð-P (x̄) → Q(x̄)ýêâèâàëåíòíîè (ïðèìèòèâíàÿ) ðåêóðñèâíîñòü ïîñëåäíåãî îòíîøåíèÿñëåäóåò èç òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ñâîéñòâà.Ïðåäëîæåíèå 1.9Äîêàçàòåëüñòâî.Îòíîøåíèÿ=, 6=, <, >, 6, >Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òîñëåäóåò ðåêóðñèâíîñòü îòíîøåíèÿðåêóðñèâíû.χ= (x, y) = sg |x − y|,îòêóäà=.Ðåêóðñèâíîñòü îñòàëüíûõ îòíîøåíèé ñëåäóåò èç ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâχ< (x, y) = sg (y −̇x), χ> (x, y) = sg (x−̇y), x 6 y ⇔x = y ∨ x < y, x > y ⇔ x = y ∨ x > y.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
