1610906281-8f040f4ba05ddb69404458d6cdcbceff (824381)
Текст из файла
Òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîå ââåäåíèåÌíîæåñòâî ýòî îäíî èç íàèáîëåå ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõïîíÿòèé, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ çäàíèå ïî÷òè âñåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî âñå ÷èòàåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ óíèâåðñèòåòñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå êóðñû âïîëíå óñïåøíî ôîðìàëèçóåìû â ðàìêàõìèðà ìíîæåñòâ.Èíòóèòèâíî, ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñåìåéñòâà, ñîâîêóïíîñòè, êîëëåêöèè îáúåêòîâ, êîòîðûå ìû ìûñëèì, ïðåäñòàâëÿåì ñåáå êàêåäèíûå îáúåêòû.Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ñòóäåíòîâ âäàííîé àóäèòîðèè, ìíîæåñòâî âñåõ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë0, 1, 2, . .
.è ò.ï.Îñíîâíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèå ïðèíàä-ëåæíîñòè, òî åñòü áûòü ýëåìåíòîì, îáîçíà÷àåìîå çíà÷êîìîçíà÷àåò, ÷òîaÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà∈. Òàê a ∈ BB.Âîçìîæíî, íå ñîâñåì ïðàâèëüíî áûëî áû ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ìíîæåñòâî, êàê íàáîð åãî ýëåìåíòîâ, ñëîæåííûõ â íåêèé ìåøîê. Êàæäîå ìíîæåñòâî ýòî íîâûé îòäåëüíûé àáñòðàêòíûé îáúåêò, ñâÿçàííûé ñî ñâîèìè ýëåìåíòàìè îòíîøåíèåì∈.Ïðèìåðû. Còóäåíò Èâàíîâ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ âäàííîé àóäèòîðèè; Èâàí Ãðîçíûé íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ ñòóäåíòîâ â äàííîé àóäèòîðèè; êàðàíäàø íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû; 2002 ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëü-√íûõ ÷èñåë;2 íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ò.ï.Ñâîéñòâà ìíîæåñòâ â ìàòåìàòèêå çàäàþòñÿ àêñèîìàòè÷åñêè, òî åñòüìû èõ ÿâíî ôîðìóëèðóåì è äîãîâàðèâàåìñÿ â äàëüíåéøåì íå ïîäâåðãàòüíèêàêîìó ñîìíåíèþ.
Çäåñü ìû ñôîðìóëèðóåì è îáñóäèì ëèøü íåêîòîðûåèç ýòèõ ñâîéñòâ, êîòîðûå íàì áóäóò íóæíû â äàëüíåéøåì.Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ýëåìåíòàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äâà ìíîæåñòâà ðàâíû â òîìè òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ñîäåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû.Èíà÷å ãîâîðÿ,A = Bæåñòâàòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñÿêèé ýëåìåíò ìíî-Aÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâàâñÿêèé ýëåìåíò ìíîæåñòâàñòâàBA.1B,è íàîáîðîò,ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæå-Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ.Ìíîæåñòâà ìîæíî çàäàâàòü íåñêîëü-êèìè ñïîñîáàìè. Îäèí èç íèõ ÿâíîå ïåðå÷èñëåíèå âñåõ åãî ýëåìåíòîâ,çàêëþ÷åííûõ â ôèãóðíûå ñêîáêè.
Íàïðèìåð:{0}, {a, b, c}, {0, 1, 2, . . .}.Äðóãèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå óñëîâèÿ, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò âñå ýëåìåíòû äàííîãî ìíîæåñòâà è íå óäîâëåòâîðÿåòíè îäèí ýëåìåíò íå èç äàííîãî ìíîæåñòâà. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâîA âñåõ÷åòíûõ ÷èñåë ìîæíî çàäàòü êàêA = {x | x ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.}. îáùåì ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ óñëîâèåΦ,êîòîðîå áûâàåò ëèáî èñòèí-íûì ëèáî ëîæíûì äëÿ äàííîãî ýëåìåíòà, ìîæåò áûòü îáðàçîâàíî ìíî-æåñòâî âñåõx,óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþΦ1 .Ýòî ìíîæåñòâî îáû÷íîçàïèñûâàåòñÿ â âèäå{x | xîáëàäàåò ñâîéñòâîìÄëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâà âñåõâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþΦ,Φ}.x, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó A è óäî-òàêæå óïîòðåáëÿåòñÿ çàïèñü âèäà{x ∈ A | xîáëàäàåò ñâîéñòâîìΦ}.Ïðèìåðû.{a, a} = {a},{x | xíàòóðàëüíîå ÷èñëî íå áîëåå 2}= {0, 1, 2}.Ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå âîîáùå íè2îäíîãî ýëåìåíòà.
Ñóùåñòâóåò âñåãî îäíî ìíîæåñòâî ñ òàêèì ñâîéñòâîì.Îíî íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ó ïóñòîãî ìíîæåñòâà èìååòñÿñîáñòâåííîå îáîçíà÷åíèå:∅.{∅} =6 ∅, ïîñêîëüêó â ïåðâîì èç ýòèõ ìíîæåñòâýëåìåíò (à èìåííî ∅), à âî âòîðîì íè îäíîãî.Çàìåòèì, ÷òîæèòñÿ îäèí1ñîäåð-Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî íåîãðàíè÷åííîå èñïîëüçîâàíèå òàêîãî ñïîñîáà îáðàçîâàíèÿìíîæåñòâ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èÿì è ïàðàäîêñàì. Ïðè èçó÷åíèè ìàòåðèàëà äàííîãî ó÷åáíèêà ýòà ïðîáëåìà íå âîçíèêàåò è ïîýòîìó çäåñü íå îáñóæäàåòñÿ.
Ñîîòâåòñòâóþùèå âîïðîñû îáñóæäàþòñÿ â ëèòåðàòóðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèèìíîæåñòâ.2Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî âûâîäèìî èç ïðèâåäåííîãî âûøå ñâîéñòâà ðàâåíñòâà ìíî-æåñòâ, íî äëÿ ïîíèìàíèÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ îáñóæäåíèå íåêîòîðûõ ïðèíöèïîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, âûõîäÿùåå çà ðàìêè ýòîé êíèãè.2Ïîíÿòèå ïîäìíîæåñòâà.
ÏóñòüA è B äâà ìíîæåñòâà. Ìû ãîâîðèì,A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì B , åñëè âñÿêèé ýëåìåíò èç A ÿâëÿåòñÿýëåìåíòîì èç B . Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àåòñÿ òàê: A ⊆ B . Åñëè íåîáõîäèìîïîä÷åðêíóòü, ÷òî A ⊆ B è ïðè ýòîì A 6= B , òî óïîòðåáëÿåòñÿ òàêæåçàïèñü A ⊂ B . Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî÷òîìíîæåñòâà.Ïðèìåðû.∅ ⊆ A, {0, 1} ⊆ {0, 1}, {0, 1} ⊆ {0, 1, 2, 3}.Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâàA⊆Bòîãäà, êîãäà îäíîâðåìåííîèAB ⊆ A.èBðàâíû òîãäà è òîëüêîÍà ìíîæåñòâàõ îïðåäåëÿþòñÿ íåêîòîðûå îïåðàöèè, îïèñûâàåìûå íèæå.Îïåðàöèÿ îáúåäèíåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâîîáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâBC,èåñëèAAÿâëÿåòñÿñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëå-B, C .B ∪ C , òîìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâîáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâBèCèñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèåÄëÿåñòüA = B ∪ C.Ïîíÿòèå îáúåäèíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è äëÿ ñåìåéñòâ ìíîæåñòâ.ÏóñòüA ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî.
Òî-ãäà îáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâàAíàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òå èòîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èç ìíîæåñòâB ∈ A.Îáúåäèíåíèå ñåìåéñòâàAîáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî, êàêSA.Ïðèìåðû.[{A, B} = A ∪ B,[{{0}, {0, 1}, {1, 2}} = {0, 1, 2}.Îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâîA ÿâëÿåòñÿC , åñëè A ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B , C . Äëÿ ïåðåñå÷åíèÿìíîæåñòâ B è C èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå B ∩ C , òî åñòü A = B ∩ C .ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâBèÏîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è äëÿ ñåìåéñòâ ìíî-A ìíîæåñòâî, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîãî åñòü ìíîæåñòâî.A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òåè òîëüêî òå ýëåìåíòû, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â êàæäîì èç ìíîæåñòâ B ∈ A.TÏåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâà A îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íîA.æåñòâ.
ÏóñòüÒîãäà ïåðåñå÷åíèåì ñåìåéñòâà3Ïðèìåðû.\{A, B} = A ∩ B,\Åñëè äëÿ ìíîæåñòâ{{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} = {0}.A è B âûïîëíåíî A∩B = ∅, òî A è B íàçûâàþòñÿíåïåðåñåêàþùèìèñÿ ìíîæåñòâàìè.Ðàçíîñòü ìíîæåñòâ. ÏóñòüA\BAèB äâà ìíîæåñòâà. Èõ ðàçíîñòüþA{0, 1, 2} \ {2, 3, 4} = {0, 1}.íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàòîäíîâðåìåííî íå ïðèíàäëåæàòB.Ïðèìåð:èÄîïîëíåíèå ìíîæåñòâà.  ñëó÷àå, êîãäà ÿâíî èëè íåÿâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû, ñ êîòîðûìè ìû èìååì äåëî â äàííûé ìîìåíò,ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè íåêîòîðîãî îáúåìëþùåãî ìíîæåñòâàR,è âñå ðàñ-ñìàòðèâàåìûå íàìè â äàííûé ìîìåíò ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæå-R,A ìíîæåñòâà A, ïîä êîòîðûìïîäðàçóìåâàåòñÿ íà ñàìîì äåëå ðàçíîñòü R \ A, èíà÷å ãîâîðÿ, A = R \ A.ñòâàìèìîæíî ãîâîðèòü î äîïîëíåíèèÏðè óïîòðåáëåíèè ïîíÿòèÿ äîïîëíåíèÿ íóæíî âñåãäà ÷åòêî ïðåäñòàâëÿòü, îòíîñèòåëüíî êàêîãî ìíîæåñòâàRðàññìàòðèâàåòñÿ ýòî äîïîëíå-íèå.Ïîíÿòèå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà.
Ñåìåéñòâîæåñòâ, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâàAR,åñëèñîñòîÿùåå èç ìíî-A =SRè ëþáûåB, C ∈ R ëèáî ñîâïàäàþò ëèáî èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå, òîB, C ∈ R âåðíî â òî÷íîñòè îäíî èç äâóõ óñëîâèé: ëèáîB = C ëèáî B ∩ C = ∅.ýëåìåíòûåñòü äëÿ ëþáûõÏðèìåð. Ïóñòü ðàçáèåíèåR = {{0, 1}, {2}, {3, 4, 5}}èA = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.ÒîãäàRA.Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â òåîðèè ìíîæåñòâ ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü ïî÷òè âñþ ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó.
Íà ýòîìïóòè âàæíî óìåòü èíòåðïðåòèðîâàòü ðàçíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè. Îäíà èç íèõ ýòî óïîðÿäî÷åííûå ïàðû.Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâìåíòîâaèbaèêàê ìíîæåñòâîb îïðåäåëèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó èç ýëå{{a, b}, {a}}, îáîçíà÷àåìîå îáû÷íî (a, b).Ýòî îïðåäåëåíèå ñïåöèàëüíî âûáðàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð:4Ïðåäëîæåíèå 0.1 Èç ðàâåíñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàðñëåäóåò, ÷òîa0 = a1è(a0 , b0 ) = (a1 , b1 )b0 = b1 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî(a0 , b0 ) = (a1 , b1 ).Ýòî îçíà÷àåò,÷òî{{a0 , b0 }, {a0 }} = {{a1 , b1 }, {a1 }}.(1)Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:Ñëó÷àé 1.a0 = b0 .Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò ðîâíî{{a0 }}).
Çíà÷èò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè ñîäåðæèò ðîâíî îäèí ýëåìåíò. Îòñþäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâî {a1 , b1 } = {a1 }.Èç ýòîãî âûâîäèì, ÷òî a1 = b1 , è (1) ïåðåïèøåòñÿ â âèäåîäèí ýëåìåíò (à èìåííî{{a0 }} = {{a1 }},Îòêóäà ïîëó÷àåìa1 = b1 ,{a0 } = {a1 }a0 = a1 .è íàêîíåöÝòî âëå÷åòb0 = a0 =÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå.Ñëó÷àé 2.a0 6= b0 .Òîãäà ìíîæåñòâî â ëåâîé ÷àñòè (1) ñîäåðæèò äâàýëåìåíòà, îäèí èç êîòîðûõ äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, à âòîðîé îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàåò è ìíîæåñòâî â ïðàâîé ÷àñòè (1). Åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñëó÷àåìçäåñü ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå ðàâåíñòâa0 = a1èb0 = b1 .Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà ìîæíî çàáûòü êîíêðåòíóþ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííóþ ñòðóêòóðó óïîðÿäî÷åííûõ ïàð(a, b)è ïîìíèòü òîëüêî îñ-íîâíûå ñâîéñòâà ýòèõ ìíîæåñòâ, âûðàæàåìûå ïðåäëîæåíèåì 0.1.Óïîðÿäî÷åííûåïî èíäóêöèènêè. Ïî àíàëîãèè ñ óïîðÿäî÷åííûìè ïàðàìè ìîæíîââåñòè è óïîðÿäî÷åííûå nêè äëÿ ëþáîãî n = 2, 3, 4, .
. .,ïîëàãàÿ(a1 , a2 , . . . , an , an+1 ) = ((a1 , a2 , . . . , an ), an+1 ).Èç ñâîéñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ñëåäóåò ñëåäóþùåå îñíîâíîå ñâîéñòâîóïîðÿäî÷åííûõnîê:äâå óïîðÿäî÷åííûånêè (a1 , a2 , . . . , an )è(b1 , b2 , . . . , bn )ðàâíûòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîïàðíî ðàâíû èõ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû:a1 = b1 , a2 = b2 ,. . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
