ДЗ_прилож_Дифф_Исчисл (821419)
Текст из файла
Кафедра ФН-1МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ(1 курс, 1 семестр)ДЗ №2 Приложения дифференциального исчисления.Задача 1.Варианты 1, 3, 5, …, 29: Разложить функцию по формулеМаклорена 3-го порядка с остаточным членом в форме Пеано.Варианты 2, 4, 6, …, 30: Разложить функцию по формуле Тейлора3-го порядка в точке x0 = 1 с остаточным членом в форме Пеано.2y = ex x4y = arcsin x26y = ctg π x2y = ln 2 + x2− x8y = x 2 ln x − x9y = x arcsin x + 1 − x 210y = arccos x211y = ( e + x ) ln ( e + x ) − x12y = cos ( ln x )13y = tg 2 x14y = ln sin π x215y = ln tg π + x4 216y = arctg x18y = ln ( x + x 2 + 3 )20y = ln tg π x422y=24y = log 2 x1y = x arccos x − 1 − x 23y = ln x + x 2 + 15y = 4 − 3x71719()( )()y = x arctg x − 1 ln 1 + x 22y = ln 3 − x3+ x()( )(( )1cos π x21y = esin x23y = x arcctg x + 1 ln 1 + x 2225y = ln ( cos x )2627arctg x228y = tg π x29y = ln x + x 2 + 430y = xx(())y=1sin π x2)Задача 2.
Исследовать функции и построить их графики (а) – (д):(а)(б)(в)* для ФН и РК(г)1y = − x 3 + 3x + 2y = 2+ x − 2− xy = sin x + sin 2 x2y = x − arctg 5 xy=22y = 3xx −1y = 3 x2 + 4xy = sin 3 x + cos3 xy = x + 2arctg xy = xe x +1y = arctg x − x3 4y = x 2 ( 2ln x − 1)y = sin 2 x − 2sin xy = x + arctg 4 xy = ( x − 1) e xy = cos x − cos 2 xy = 5arctg x − xy = ( ln x − 1) x1sin x + cos xy = x + arcctg x42y = x3e− xy = sin x ⋅ cos 2 xy = x − arctg 2 xy= xln x323y = 2 x − 3x + 543y = 2xx +1532y = x − x − 4x + 4246y=x2 − x3( x − 12 )y=y=x22y = 3 ( x + 6) + 3 ( x − 6)y=211− x2y = 3 x3 − 6 x 2(y=)sin x(sin x + π4)7y = x3 − 2 x 2 − 4 x + 58y = x2 + 2xy = 3 x2 − 4xy = cos x ⋅ cos 2 xy=x + 10arcctg x59y = x3 − 3x 2 + 4y = 8+ x − 8− xy = 4sin x − sin 2 xy=x + arcctg 5 x2y=2x −4 + 8− x(д) кроме ЮР1x ln x2y = ( 3 x + 5 ) e −3 x −2y=xln x102y = 2 x + 3x − 5x−4y = 3 x3 − 12 xy = cos 2 x + 2cos xy = arctg x − x2 411y = x 3 − 3x 2 + 2y=( x − 6)y = sin 2 x − 2cos xy = x − 2arctg x122y = x + x2( x − 1)y = 3 x +1 + 3 x −1y = cos x − cos 2 xy=13y = x3 + 6 x 2 − 15 x + 8y = x −1 + 5 − xy = 2cos x − 1 sin 2 x2y = x − arctg x42y = x − ln( x + 1)142xy= 2 −4x −9y = 3 ( x + 1) + 3 ( x − 1)y = sin x sin 3 xy = x − arctg x2y = e2 x − x15y = −3 x 3 + 2 x 2y = 4+ x − 4− xy = cos 2 x + 2sin xy = x + arcctg x2y = ln2xx163y = 4xx −1y= 3 x+4+ 3 x−4y = 1 sin 2 x + 2sin x2y = x + 3arcctg xy = xe17y = − x 3 − 3x 2 + 4y = ( x − 3) xy = 4sin x + cos 2 xy = 2 x − arctg 4 xy = x 2 ln x182y = 3xx +1y= 3 x−4 − 3 x+4y = cos 2 x − 4cos xy = x + arcctg 2 x2y = 1ex19y = − x3 − x 2 + x + 1y = 16 + x − 16 − xy = 1 sin 2 x + cos x2y=20y=x2x +1x22y=3( x − 6)2−32( x + 6)2y = cos x cos3 x10arctg x − x4x − arctg3 x2y = x + 6arcctg x3y=x e− x22( )y = ln 1 + exxy=ex−x222−1xy = x 2 ln 2 x−y = 12 ex1x2212232y = − x + x + 5x + 3y=y=32y = 3 8x − x2y = 4cos x + sin 2 xy = x − 5arctg xy = 3 x + 3 12 − xy = sin x + sin 2 xy = x − 3arctg x2y = cos 2 x − 2sin xy = 5 x + 10arctg x−y = 1ex13 sin x + cos xy = 5 x + arcctg10 xln 2 | x |y=x25y=x + 1 − 33( x + 1)y = 3x + 2 x − 5y = x 4− x2641y= x +3xy = 3 3x 2 − x327y = x3 + 3x 2 − 4283y = 3xx +129y = x3 − 3x 2y=x2x +12y=225302xy=ln | x |y = x − arctg x3xx −4x3x2 − 4xy = 8cos x + ctg x223 y = 2 x3 − 3 x 2 − 12 x + 1324( x − 15)y=y = sin 3 2 x − cos3 2 xy = x − arctg 3xy = sin x − sin 2 xy = x + arcctg 2 x2y = 3 x − 3 x +1y = 1 cos 2 x − 2sin x2y = x − 3arctg 3 xy= x x+6y = 2 2 sin x − tg xy=y=4(3x + 4−x3y = x + 12 − x)y = 2cos x + 1 cos 2 x2x − arctg 2 x10y = x + 4arctg xy = xe1xy = x ln 2 | x |1x2y = ( x − 2) e−1xy = ln | x 2 − 1|y = x 2e2x(y = ln x + x 2 + 1(2)y = x +1 e− x22)Задача 3.Решить задачу на наибольшее или наименьшее значениес практическим содержанием.1Стоимость перевоза груза на 1 км пожелезной дороге AB равен p руб., апо шоссе DC – q руб.
( p < q ). Скакого места D надо начать шоссе,чтобы возможно дешевле доставлятьпродукцию завода C на станцию Aжелезной дороги? Известно, что AB = a км, BC = b км.2Сечение канала – равнобедренный треугольник, боковая сторона которогоравна a. Какими должно быть глубина и ширина канала по верху, площадьего поперечного сечения в канале было наибольшим Оставить?3Сопротивление на изгиб балки прямоугольного поперечного сеченияпропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат еговысоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной изкруглого бревна диаметра d , чтобы ее сопротивление на изгиб былонаибольшим?4Тело весом P, лежащее на горизонтальной плоскости, должно быть сдвинутоприложенной к нему силой F .
Под каким углом к горизонту следуетприложить эту силу, чтобы ее значение было наименьшим (коэффициенттрения равен k )? (Указание. Рассмотреть проекции действующих на тело силна координатные оси).5Требуется изготовить открытый цилиндрический резервуар объемом V0Стоимость материала, из которого делается дно резервуара, в m раз большестоимости материала, идущего на его боковую поверхность. При какихразмерах резервуара расход материала на его изготовление будетнаименьшим?6Из листа металла изготавливается цилиндрическая ёмкость (без крышки)заданного объема V0 .
Каков должен быть диаметр ёмкости. чтобы общаядлина сварных швов оказалась минимальной? (Учесть, что свариватьприходиться края согнутого в цилиндр стального листа по образующей и кполучившейся трубе приваривать днища).aНайти наибольшую длину балки, которую можногоризонтально пронести через Г-образный коридор,имеющий ширину проходов а и b.7b8Найти кратчайшее расстояние между параболой y = − x 2 и точкой A(3; 0) .9Ряд опытов привел к n различным значениям исследуемой величины:x1, x2 ,…, xn . В качестве « истинного» значения x̂ этой величины принимаюттакое число, для которого сумма квадратов его отклонения от x1, x2 ,…, xnимеет наименьшее значение. Найти это xˆ.10Корабль стоит на якоре в 9 км от берега. С корабля нужно послать гонца набазу, расположенную на берегу в 15 км от ближайшей к кораблю точкеберега.
Если скорость передвижения гонца по суше 5 км/ч, а по воде 4 км/ч,то в каком месте берега он должен пристать, чтобы попасть на базу вкратчайшее время?11Судно должно преодолеть заданное расстояние, двигаясь с постояннойскоростью. Расходы на аренду судна в единицу времени состоят изфиксированной величины α и доплаты за скорость, пропорциональнойквадрату скорости (коэффициент пропорциональности равен k). При какойскорости расходы на аренду будут минимальными?12Дана прямая и две точки А и B по одну сторону от нее на расстоянии а и bсоответственно. Расстояние между точками А и В равно с. Найти точку напрямой, чтобы сумма расстояний от двух данных точек до нее быланаименьшей. Вычислить эту наименьшую сумму.13В данный треугольник АВС вписать параллелограмм наибольшей площадитак, чтобы две стороны параллелограмма лежали на сторонах АВ и АСтреугольника, а одна вершина параллелограмма на стороне ВС.14Даны две точки A и B по разные стороны от горизонтальной прямой ℓ,разделяющей две разные среды.
Свет распространяется в верхнейполуплоскости со скоростью v1 а в нижней – со скоростью v2 . Найти такуюточку D на прямой ℓ, чтобы свет шел по траектории ADB за кратчайшеевремя. Решение сформулировать в виде геометрического принципа.15Дан угол и точка внутри него. Провести через эту точку прямую,отсекающую от угла треугольник наименьшей площади. (Указание. Ввестисистему координат, осями которой являются данные прямые).16На стене на высоте h висит мемориальная табличка.
На каком расстоянии отстены следует установить на земле прожектор, чтобы освещенностьтаблички была наилучшей (освещенность прямо пропорциональна косинусуугла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния доисточника света).17На листе жести прямоугольной формы со стороной a и b вырезали по угламчетыре одинаковых квадрата и из оставшейся части сделали прямоугольнуюкоробку с высотой, равной стороне вырезанного квадрата. Какова должнабыть сторона квадрата, чтобы объем коробки был максимальным?18Точки А и В движутся по осям координат со скоростями u и v вположительном направлении каждая. В момент времени t = 0 они занималиположение А ( a,0 ) и В ( 0, b ) .
Найти кратчайшее расстояние между точками имомент времени (возможно отрицательный), когда оно будет достигнуто.19Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При какойвеличине угла между досками площадь поперечного сечения желоба будетнаибольшей?20Найти радиус основания и высоту цилиндра заданного объема V, прикоторых полная площадь поверхности цилиндра будет наименьшей.21Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра вписанного в шаррадиуса R.22Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара радиуса R.23Найти наименьший объем конуса, описанного около шара радиуса r.24Найти наибольший объем конуса с длиной образующей l .25Найти радиус основания и высоту конуса данного объема V с наименьшейбоковой поверхностью.26Цилиндр завершен сверху полушаром того же радиуса r.
Дан объем всеготела V0 . При каком радиусе r полная поверхность тела будет наименьшей?27Найти внутренние размеры открытого цилиндрического сосуда даннойемкости V с толщиной стенок a , на которых достигается минимумматериала.При подготовке к экзамену студент за t дней изучает2829t⋅ 100% от всегоt+22t⋅ 100% от курса. Сколько дней нужно49готовиться к экзамену, чтобы изучить максимальную часть курса?материала курса, а забываетЧерез точку M ( a, b ) внутри прямого угла провести прямую так, чтобы ееотрезок между сторонами угла был наименьший.Найти наибольшее расстояние точки эллипса с полуосями а и b от конца его30(малой полуоси a > b 2 > 0).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
