Белов В.Н.Определенный интеграл (2009) Методические указания к выполнению типового расчета (819553), страница 3
Текст из файла (страница 3)
15), то объемы полученных таким образом тел рассчитывают21соответственно по формуламиVOX = πZb2[y(x)] dx =πaVOY = 2πZbaZbf 2 (x)dx,(7)Zb(8)a|xy(x)| dx =2πa|xf (x)|dx.Рис. 15Замечание. Величина πy 2 (x) есть площадь S(x) поперечногокругового сечения (см. формулу (6)).Если же криволинейная фигура, ограниченная двумя прямымиx = a, x = b (a < b) и двумя непрерывными кривыми y = f1 (x)и y = f2 (x), причем 0 6 f1 (x) 6 f2 (x) при x ∈ [a, b] (рис. 16)вращается вокруг оси OX (или вокруг оси OY ), тоVOX = πZbaVOY = 2πZbaf22 (x) − f12 (x) dx,|x (f2 (x) − f1 (x))| dx.(9)(10)Заметим, что VOX = V2X − V1X , где ViX — объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX криволинейной22Рис.
17Рис. 16фигуры, ограниченной кривой y = fi (x), прямыми x = a, x = b(a < b) и осью OX (сравните с формулой (7)). Аналогичные рассуждения касаются и VOY (см. формулу (8)).Объем VOY тела, полученного вращением вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной осью OY двумя прямымиy = c, y = d и кривой, задаваемой уравнением вида x = g(y)(рис. 17), может быть вычислен по формулеZdVOY = π g 2 (y)dy.(11)сВ более общем случае вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции с двумя криволинейными границами, задаваемымиуравнениями вида x = g1 (y), x = g2 (y) (0 6 g1 (y) 6 g2 (y))(рис. 18), объем полученного тела вращения рассчитывают по формулеZdVOY = π(12)g22 (y) − g12 (y) dy.сПример 15.
Вычислить объем VOX тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = f1 (x) == x2 и y = f2 (x) = 2 − x (рис. 19).J Заданные линии пересекаются в точках A(−2; 4) и B(1; 1).Объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры AOB, может быть представлен как разность объемов тел,полученных вращением вокруг оси трапеции MABN и криволинейной трапеции MAOBN (см. формулу (9) и комментарий к ней):23Рис.
18VOX = V2X − V1X = πРис. 19Zbaf22 (x)−f12 (x)dx = πZ1 (2 − x)2 −−25 11164x+−−(x2 )2 dx = π − (2 − x)3 −= π −3335−272 π1 32=+−.I555Пример 16. Вычислить объем V тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями f1 (x) = x2 + 1,f2 (x) = x, x = 0, x = 1 (рис. 20).Рис.
20J В данном случае целесообразнее воспользоваться формулой (10).24Поскольку выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то знак модуля можно опустить. Область изменения переменной x определяет пределы интегрирования — x = 0 и x = 1:ZbZ1VOY = 2π |x (f1 (x) − f2 (x))| dx = 2π x (x2 + 1) − x dx =a= 2πZ1001x − x + x dx = 2π(x /4 − x /3 − x /2) = 5π/6.
I324320Пример 17. Вычислить объемVOX тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченнойлиниями: y = f1 (x) =√= 2 x − 1, y = f2 (x) = 4 − x и осьюOX (рис. 21).√J Кривые f1 (x) = 2 x − 1Рис. 21и f2 (x) = 4 − x пересекаютсяв точке (2; 2). √C осью OX линия f1 (x) = 2 x − 1 пересекается в точке (1; 0), а прямая f2 (x) = 4 − x — в точке (4; 0). Так как верхняя граница фигуры является составной, то объем искомого тела следует находить как сумму объемов V1X и V2X , гдеZ2Z42V1x = π f1 (x)dx, а V2x = π f2 (x)dx: VOX = V1X +1+ V2X = πZ21+πZ42+2√(2 x − 1)2 dx + π(4 − x)2 dx = 4π148ππ.
I=33(x −2Z421)2(4 − x)2 dx = 4πZ21(x − 1)dx + 23 4 + π − (4 − x) = 2π +312Пример 18. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y 2 − 4y ++ x = 0 и x = 0 (рис. 22).25J Воспользуемся формулой (11).Точки пересечения параболы x == g(y) = 4y − y 2 с осью OY определяют пределы интегрирования: c = 0,Z4d = 4. Тогда VOY = π [g(y)]2 dx =0= πРис. 22Z40[4y − y 2 ]2 dx = π 163y 3 − 2y 4 +1 4512 π+ y5 =.
Объем этого же тела можно найти и5150по формуле (10). Верхняя граница фигуры задается уравне√нием f2 (x) = 2 + 4 − x, а нижняя граница — уравне√нием f1 (x) = 2 − 4 − x. Поскольку выражение под знаком модуля в формуле (10) для рассматриваемого случая неотрицательно, знак модуля можно опустить. Таким образом,ZbZ4 √VOY = 2π |x (f2 (x) − f1 (x))| dx = 2π x 2 + 4 − x − (2 −a√− 4 − x) dx = 4π0Z4Z4√√x 4 − xdx = 4π [4 − (4 − x)] 4 − xdx =0 √ 4 0512 π( 4 − x)5 4 √− ( 4 − x)3 =.I= 4π51530Пример 19. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y = arccos xи y = arccos (x/3) (рис. 23).J Интегрирование выполняем по переменной y, для этого находим другие задания кривых x = g1 (y) = cos y, x = g2 (y) = 3 cos y.Zβg22 (y) − g12 (y) dy =Тогда по формуле (12) получаем VOY = πα26Рис.
23π/2π/2RRcos2 y dy = 4π (1 +9 cos2 y − cos2 y dy = 8π00 π/2 0+ cos 2y)dy = 4π (y + (1/2) sin 2y) = 2π2 . I= ππ/2R02.6. Вычисление длины дуги плоской кривойЕсли кривая задана на отрезке [a, b] уравнением y = f (x), гдеf (x) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция,то длину этой кривой вычисляют по формулеZb pl=1 + [f 0 (x)]2 dx.(13)ax = ϕ(t), гдеy = ψ(t)t ∈ [α, β], ϕ (t) , ψ (t) — непрерывно дифференцируемые на отрезке [α, β] функции, то длину этой кривой вычисляют по формулеЕсли кривая задана в параметрическом видеl=Zβ q[x0 (t)]2α+[y 0 (t)]2 dt=Zβ q[ϕ0 (t)]2 + [ψ0 (t)]2 dt.(14)αФормулу (13) можно получить из (14), если в качестве параметраt взять x.Если кривая задана в полярных координатах уравнениемρ = ρ(ϕ), где ϕ ∈ [α, β], ρ (ϕ) — непрерывно дифференцируемая27на отрезке [α, β] функция, то длину дуги кривой вычисляют поформулеZβ qρ2 (ϕ) + (ρ0 (ϕ))2 dϕ.(15)l=αЗамечание.
В формулах (13) — (15) выражения, стоящие подзнаком интегралов, представляют собой дифференциалы длиныдуги dl при соответствующих заданиях кривых.Пример 20. Найти√ периметр P фигуры, ограниченной кривыми y 3 = x2 и y = 2 − x2 (рис. 24).Рис. 24J Первая из кривых — полукубическая парабола, вторая — полуокружность x2 + y 2 = 2 (y > 0). Найдем точки пересечениязаданных кривых M и N с помощью уравнения y 3 = 2 − y 2 . Отсюда M (−1; 1), N (1; 1). Поскольку обе кривые симметричныотносительно оси OY , lM R = lRN , lOM = lON , а следовательно,P = 2(lON + lRN ).
Вычислим длину дуги lRN :Zb q√√022y = 2 − x , y = −x/ 2 − x . Тогда lRN =1 + (yx0 )2 dx ==Z10sa1√ Z√dxx 1 √ πx21+dx = 2 √= 2 arcsin √ = 2 .2 − x242 02 − x20Более громоздко вычисление длины дуги lON : lON =√Zb qZ1 s324xy= =√1+ √=1 + (yx0 )2 dx = 0dx =33y = 2/(3 x)9 x2a280=Z1 qx2/33dx+ 4/9 1/3 =2x03=2Z1 qx2/3 + 4/9dx2/3 =Z1 q0x2/3+ 4/9d(x2/32/3+4/9) = (x3 1+4/9) 2 =00√1(13 13−8).27Как видно, интегрирование по переменной x весьма не просто.y за незавиВычислим вторым способом длину дугиp lON , приняв √симую переменную.
При этом x(y) = y 3 , x0y (y) = 3 y/2. Тогда Zd qZ1 r2989 3/2 10lON =1 + xy dy =1+ y1 + ydy = =42740c√0= (13 13 − 8)/27.h √В итоге имеем P = 2(lON + lN R ) = 2 ∙ (13 13 − 8)/27 +√+ 2π/4. IПример 21. Найти длину дуги lAB цепной линии, заданнойxxуравнением y = 2(e 4 + e− 4 ) от точки с абсциссой x = 0 до точкис абсциссой x = 4 (рис.
25).Рис. 25x1 x−J Воспользуемся формулой (13). Имеем=e4 − e 4 ,2xx 21 x1 x−2−2020222− 2 , 1 + (y ) =. Тогда(y ) =e +ee +e44y029lAB =Zb p1+a(yx0 )2 dx1=2Z40xxxx 4(e 4 + e− 4 )dx = 2(e 4 − e− 4 ) =0= 2(e − e−1 ).Эту задачу можно также решить, перейдя к гиперболическимxxxxфункциям: y = 2(e 4 + e− 4 ) = 4(e 4 + e− 4 )/2 = 4 ch(x/4),y 0 = sh(x/4), 1 + (y 0 )2 = 1 + sh2 (x/4) = ch2 (x/4).Z4 Z4 xxxПоэтому lAB = chdx = 4 chd=44400 x 4−1= 4 sh = 4 sh 1 = 2(e − e ).
I4 0Пример22.√ Вычислить длину петли кривой, заданной уравнеx = 3t2 ,ниямиy = t − t3 .J Построение аналогичной кривой подробно рассмотрено впримере 9. Найдем значения t, при которых кривая пересекает√ осьOX (т. е. y = 0):√t0 = 0, t2 = −1, t2 = 1. При√ t = t1 x1 = √ 3, но ипри t = t2 x2 = 3. Поскольку x1 = x2 = 3, то точка ( 3; 0) —точка пересечения ветвей кривой (рис.
26).Рис. 26В силу симметрии кривой относительно оси OX достаточновычислить длину верхней половины дуги. Тогда, согласно форму 0√Zβ q x = 2 3t, yt0 = 1 − 3t2 =(x0t )2 + (yt0 )2 dt = t 0 2ле (14), l = 2(xt ) + (yt0 )2 = (3t2 + 1)2 α=2Z103013t2 + 1 dt = 2(t3 + t) = 4. I0Пример 23. Найти уравнение прямой, которая делит арку циx = a(t − sin t)клоидыдля t ∈ [0; 2π], a > 0 на три дугиy = a(1 − cos t)равной длины (рис.
27).Рис. 27J Для задания искомой прямой достаточно на арке циклоидыуказать две точки А и В такие, что окажутся равными дуги OA,AB, BC, длины которых составят по одной третьей доли от полнойдлины L всей арки циклоиды. Отметим, что арка циклоиды симметрична относительно прямой x = πa (поскольку y(t) = y(2π − t) иx(π)−x(t) = x(2π−t)−x(π)).
Следовательно, ординаты точек A иB совпадают. Поэтому искомая прямая, дeлящая дугу арки циклоиды на три равные части, параллельна оси OX, т. е. ее уравнениеимеет вид y = c = const.Сначала найдем l(τ) — длину дуги части арки циклоиды приизменении параметра t от 0 до τ (τ ∈ [0; 2π]): 0Zβq xt = a(1 − cos t), yt0 = a sin t 0022=l(τ) =(xt ) + (yt ) dt = (x0t )2 + (yt0 )2 = 2a2 (1 − cos t) ατZτ Zτ√ Z √tt1 − cos tdt == 2a sin dt = 2a sin dt = 2a22000τt τ= −4a cos = 4a 1 − cos.2 02t ttВ выкладках учтено, что sin = sin , поскольку sin > 0222при t ∈ [0; 2π].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
