4 (810788), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Свое название она получила в связи с тем, что только знаком отличается от информации, содержащйся в распределении. В недиагональном представлении, естественно, получаем выражение S   Sp ( ˆ ln ˆ ) , которое также часто называют энтропией фон Неймана. Такимобразом, в квантовой статистике обобщение принципа Больцмана приводит к новому, необычному пониманию физического смысла энтропии.

Энтропия является не физическойнаблюдаемой, а функцией квантовомеханического состояния.7. Рецепт (схема) вычислений в каноническом ансамблеГиббса.9En  Z   eEnT F  T ln Z  Т(4.27)ndF  SdT  PdV   dN  MdH  ... F  F  F S   , P   ,    T V , N V T , N N T ,V F 2   F E  F T   T T  T V , N T V , N(4.28)(4.29)(4.30)Соотношение Гиббса-Гельмгольца показывает, почемуF называется «свободной» энергией и фактически содержитв себе теорему Карно о максимальном КПД: часть энергииреакции в батарейке тратится не «в работу».

Из соотношенияГиббса-Гельмгольца (4.30) следует также выражение длятеплоемкости 2 F CV  T  2  T V , N(4.31)8. Большой канонический ансамбль (распределение с переменным числом частиц).Мы рассмотрели важнейший с практической точкизрения ансамбль, когда макроскопическое тело является частью большой замкнутой системы (термостата, среды). Термостат – это система с большим числом степеней свободы,способная обмениваться энергией с нашей исследуемой системой. Термостат настолько велик, что его состояние притаком взаимодействии не меняется. Но ещё более удобным вприложениях является ансамбль, для которого между системой и термостатом может происходить ещё и обмен частицами.

Число частиц в системе при этом флуктуирует вблизисвоего среднего значения, а функция распределения будетзависеть не только от энергии квантового состояния системы10EnN , но и от числа частиц N в ней. Отметим, что уровниэнергии сами зависят от числа частиц. Вероятность  nN системе находиться в состоянии с EnN и содержать N частицможет быть получена совершенно аналогично выводу канонического распределения.Мы столько раз анонсировали, что вывод в квантовойстатистике проводится совершенно так же, как и в классической, что сейчас уместно продемонстрировать это на деле.Получим большое каноническое распределение на квантовомязыке.

Проделаем всё то же самое, что и в (4.10)-(4.16), но ссистемой с переменным числом частицEП  EnN  ET ,n , N , N П  N  NT(4.40)где, как и раньше EnN  E П ; N  N П . Опять, стартуя отмикроканонического распределения для полной системы,только теперь для узкого слоя как по энергии, так и по числучастиц, получаем nN Т ( EП  EnN , N П  N ) П ( EП , N П )(4.41)Далее, как и прежде: ST 1  S  , T T ET V , NT T  NT V , ET(4.42)раскладывая энтропию (показатель экспоненты), получаемnN  Z e1 N  EnNTe  N  EnNT(4.43)где большая статистическая сумма и омега-потенциалZ =  eN 1 n N  EnNT,  = -T ln Z .(4.44)Вопрос: а как же понимать N  1? Или, в операторных обозначениях: для канонического ансамбля:11eˆ HˆTSp eHˆTeF  HˆT,Z  Sp eHˆT(4.45)и для большого канонического ансамбля: Nˆ  Hˆˆ eT Nˆ  HˆSp ee  Nˆ  HˆT,Z = Sp e Nˆ  HˆT.(4.46)T9.

Рецепт (схема) вычислений в большом каноническомансамбле.EnN  Z    Т(4.47)  F   N   PV(4.48)d   SdT  PdV  Nd   ...(4.49)      S   , P   , N   T V ,  V T ,   T ,V(4.50)Откуда мы всё это знаем? Да оттуда же; возьмём иусредним логарифм функции распределения:T ln  nN     N  EnN ,(4.51)тогда получится, что  ln  nN  S , и следующие отсюдасоотношения (4.48)-(4.50).10. Принцип максимальности энтропии «в действии».Рассмотрим информационную энтропию Гиббса в томсмысле, что сначала пусть распределение  n будет неравновесным:S   n ln nn12(4.52)Попробуем найти такое распределение вероятностей, прикотором эта энтропия максимальна. Это будет тогда, когдаS  0: nnln  n   n1n n   (ln  n  1) n  0(4.53)nпри произвольных вариациях  n . То есть ln  n  1  0 .

Норешение этого уравнения константа. В чём же дело, где мыдопустили ошибку? Дело в том, что наш экстремум условный, его нужно искать (шевелить распределение вероятностей  n ) при условиях 1 E  En(4.54)nnn(4.55)nТогда, действуя методом множителей Лагранжа, ( S    n    n En )  0n n ln  n   n   n   En n  0n  e(4.56)n1   En(4.57)(4.58)получаем распределение Гиббса.Происхождение метода множителей Лагранжа таково.Если мы смотрим на топографическую карту и ищем вершину «горки» z  f ( x, y) , то это точка, где f  0 .

А если мыищем условный экстремум, то есть высшее место на «тропинке» g ( x, y)  0 , то это точка, в которой градиент «горки»параллеленградиенту«тропинки»илиf || g ;( f   g )  0 .13То же самое можно сказать на языке операторовS   Sp ˆ ln ˆ1  Sp ˆE  Sp ˆ Hˆ(4.59)(4.60)(4.61) ( Sp ˆ ln ˆ   Sp ˆ   Sp ˆ Hˆ )  0(4.62)Sp ˆ ( ln ˆ  1     Hˆ )  0(4.63)1   Hˆ(4.64)ˆ  e11. Статистическая сумма – это образ Лапласа отплотности числа состояний.Запишем выражение, связывающее статистическуюсумму с плотностью числа состояний системы. По правилусуммирования (4.14)Z ( )   en  En  e  E0ddE dE (4.65)Мы узнаем здесь преобразование Лапласа, где роль t изстандартных обозначений играет E  , а комплексной p будет  .

ПосколькуS ( E )  ln ( E ) ,   eS , d   eS dSто статистическую сумму можно представить в виде14(4.66)dS S   EedE dE0Z ( )  (4.67)Показатель экспоненты имеет резкий максимум при E  E ,когда:dSS   E  S (E)   E  (  )( E   E ) dE(4.68)1 d 2S2( E   E )  ...2 dE 2ПоложениемаксимумаопределяетсяуравнениемdS / dE    0 , т.е. равновесной температурой.

Тогда интеграл (4.67) легко взять методом перевала:Z ( )   ed 2S2dE 2S ( E )  E1(4.69)откуда, логарифмируя, получаем:d 2Sln Z (  )  S ( E )   E  ln  2dE 21(4.70)В термодинамическом пределе N   , а именно онопределяет резкость функции показателя экспоненты, последним логарифмическим слагаемым следует пренебречь,т.к. оно  N 1 2 . В итоге, получаем основную формулу статистической физикиln Z  S ET(4.71)Можно совершить и обратное преобразование Лапласа.Поскольку Re   0 .Z (  )   e  E0dE E 15(4.72)  i1Z (  )e  E d E 2 i  i(4.73)Обратное преобразование также можно совершить методомперевала (методом седловой точки).

Запишем(4.74)Z (  )e  E   e  E  ln Z (  )Поскольку интегрирование проводится по прямой линии [      i   ,      i   ], то показатель экспонентыимеет резкий максимум в точке      i  0 , то есть при     и    0 ; где   определяется условием ln Z (   )E0 (4.75)Мы специально выбираем контур интегрирования так,чтобы перевал пришёлся на ноль мнимой оси. Тогда:1E 2eln Z (   )    E  ( ln Z (   ) )( i   ) 21  ln Z (   )( i   ) 2 ...2 2(4.76)Интеграл легко берется методом перевала, что даёт  2 ln Z ln ln Z (  )   E  ln  2E2 1/2 ...(4.77)В термодинамическом пределе, отбрасывая последний логарифмический член, снова получаем (4.71)S F ET Tосновную формулу статистической физики.16(4.78).

Характеристики

Список файлов лекций