12 (810783), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Интегрируя по этому слою, получаемcp где I c'pplI,2 p  E(11.6), штрих означает суммирование в слое, ука-занном в (11.5). Ещё раз интегрируя по этому слою, получаемдисперсионное соотношение на E11,'l p E  2  p(11.7)Физический смысл полученного соотношения вполне ясен.Спектр возбуждений «плотно» заполняет области E  0 , но6есть и одно связанное состояние с отрицательной энергиейE  2 . Заменяя сумму на интеграл с плотностью состояний g F / 2 , где g F  g   F  − плотность состояний науровне Ферми, в нашем узком слое, получаем: D1dlg F ln D ,1  lgF 2 2  D(11.8)Выражение для «щели», половины энергии связи куперовской пары2lgF(11.9),Таким образом, ферми – жидкость проявляет неустойчивостьотносительно образования связанных пар квазичастиц присколь угодно слабом притяжении вблизи поверхности Ферми(теорема Купера).

Полученное выражение дает правильныйпорядок ответа. Ниже мы увидим, что точное выражение длящели в два раза больше (11.9).Отметим также, что выражение (11.9) не может разложено в ряд по степеням малого параметра l g F  1 , поскольку он входит в знаменатель показателя экспоненты. Такимобразом, значение l  0 является существенной особой точкой функции (11.9). Неаналитичность полученного выражения означает, что любые попытки «уловить» этот эффект потеории возмущений, в виде ряда по малому параметруl g F  1 , обречены на неудачу. С другой стороны, из кван-   D eтовой механики известно, что в «мелкой» 3D яме уровня(связанного состояния) нет.

«Мелкость» ямы измеряется чис-ma 2U 0 1 . Уровень появляется только приB  1 , когда глубина ямы U 0 , а с ней и сила притяжения до-лом Борна B 7статочно велика. При низших размерностях задачи уровеньесть всегда: в 1D -яме это  E / U 0  B / 2 , а в 2D -яме E / U 0  B 1 exp  2 B 1  . Последнее выражение совпадаетс полученной нами формулой для энергии связи куперовскойпары, что указывает на эффективную двумерность движенияквазичастиц в паре.Итак, основное состояние электронной фермижидкости устойчиво относительно маленького отталкиваниямежду электронами. Но оно становится неустойчивым, еслиесть сколь угодно слабое притяжение между квазичастицамивблизи поверхности Ферми (теорема Купера).

Эта неустойчивость проявляется в образовании связанных состоянийфермионов – куперовских пар, которые, в свою очередь, ответственны за сверхпроводимость электронной жидкости,сверхтекучесть He3 и т.д.5. Модель Бардина-Купера-Шриффера (1957).Бардин, Купер и Шриффер предложили универсальныймодельный гамильтониан, который «годится» для любогомеханизмаспариванияфермионныхквазичастиц{aˆp , aˆ p  }   pp  за счет обмена квантом любых коллективных бозонных возбуждений.

Гамильтониан БардинаКупера-Шриффера имеет видHˆ   Nˆ  p aˆ p aˆp  l ' aˆ p aˆ  p aˆp  aˆp  , (11.10)pppгде   1 − проекция спина, а во втором слагаемом суммирование проводится только в узком слое вблизи поверхностиФерми, описанном в предыдущем разделе. Это обстоятельство отмечено штрихом во второй сумме (10.10). Ясно, чтоконстанта связи l играет здесь ту же роль, что и константаотталкивания U 0 / 2V в теории сверхтекучести Боголюбова8(подумайте, куда девалась двойка в знаменателе).

Гамильтониан (11.10) сильно «урезан», взаимодействуют только электроны с противоположными импульсами и спинами. В результате такого упрощения, связанного с выделением наиболее существенного взаимодействия, задачу удаётся исследовать аналитически и «до конца». Это делает модель БКШ популярной в приложении не только к сверхпроводникам, но ик задачам о ядерной материи, нейтронных звёздах, сверхтекучести He3 и т.д.Применим к (11.10) метод диагонализации Боголюбова. Сначала, нужно сообразить, кто в этой задаче будет играть роль частиц «конденсата».

Очевидная догадка – куперовские пары. Оператор рождения куперовской пары, очевидно, есть aˆp,  aˆp , , а её уничтожения − aˆ p  aˆp  . Поэтомувведём для них статистическое усреднение (по основномусостоянию при T  0 , и по ансамблю при T  0 ) и проинтегрируем по слою с притяжением:  l   ' aˆ p, aˆ  p, p  l   ' aˆ p, aˆp, ,(11.11)pВеличина  является, по существу, аналогом a0 в слабонеидеальном бозе-газе; поэтому и называется «аномальнымсредним» или параметром порядка сверхпроводящей фазы.Так же, как и для сверхтекучести, мы предполагаем, что число куперовских пар (составляющих «конденсат») велико, идиагонализирует получившийся гамильтониан.91 2Hˆ   Nˆ   p aˆ p aˆp   lp    aˆp  aˆ p   aˆ'p paˆ p,(11.12)преобразованием Боголюбова:bˆp   up aˆp   vp aˆ p bˆp   up aˆp   vp aˆ p ,(11.13)Как и раньше попробуем от этого преобразования каноничности {bˆp , bˆp  }   pp   и диагональности нового гамильтониана.

Это однозначно определяет все величины.Hˆ   Nˆ  E0    ( p) bˆpbˆp   bˆpbˆp  ,pE0  2 ' p vp2  up vp  p1 2l ( p)   2   2 ,p1u , v  12 p2   22p(11.15)(11.16)p2p(11.14),(11.17)В отличие от спектра возбуждений бозевского типа, в этомслучае не только распределение, но и спектр квазичастиц зависит от температуры. Энергия квазичастиц не может бытьменьше  . Другими словами, возбужденные состояниясверхпроводника отделены от основного щелью. Обладаяполуцелым спином, квазичастицы должны появляться парами. Поэтому величина связи куперовской пары равна 2 .Уравнение для щели (T ) получается самосогласованно, из определения (11.11).

Действуем также как и при10определении распределения надконденсатных частиц в бозегазе. Выржаем операторы âp через b̂p из (11.13) и подставляем в (11.11). С учётом того, что наши квазичастицы –np  bˆp bˆp   bˆpbˆp   [exp( ( p ) / T )  1]1 ,фермионыполучаем:1l ' d 3p 1  2np,2   2  3  2   2p(11.18)Это уравнение определяет зависимость щели от температуры T  . При T  0 квазичастиц нет np  0 :l 4 pF212  2  3 vF  Dl 4 pF222  2  3 vF D /  0dp 2   02Dp,(11.19)dx1  x20Безразмерный интеграл в (11.19), как известно, равен «длинному логарифму»dx1 x2 ln x  1  x 2 . Если Вам этоне известно, то его недолго и оценить асимптотически. Действительно,xdxxdx ln x .

«Цена» всех этихx1 xоценок  0  Tc  D   F . Учитывая, что плотность со021стояний на уровне Ферми g F  pF2 / vF  2 3 , для величиныщели получаем: 0  2  D e112l gF,(11.20)Мы воспроизвели оценку куперовской энергии связи (11.9),уточнив её в два раза.При конечных температурах величина щели уменьшается и в точке перехода T  Tc обращается в ноль   0 :l ' d 3p 1  2np1 2  2  3  plg F2  D  Ddp2pth(11.21)p2илиlg1 F2D /2Tc0thxdx ,x(11.22)Безразмерный интеграл легко оценить, его главная асимптоxтика естьxthxdx0 x dx  1 x  ln x , откуда получаем для крити-ческой температуры Tc  D exp  2 / l g F   0,5 0 .

Этолишь немногим отличается от точного расчета, который даетTc   0,57 0 , 0(11.23)где   1, 78 – постоянная Эйлера.6. Критический ток.Более точное разложение вблизи точки перехода позволяет получить зависимость  T   Tc  T 1/2(см. ДЗ). Из(11.11) видно, что щель  пропорциональна оператору уничтожения куперовских пар, что означает  2  ns . Это позволяет оценить температурную зависимость критического тока12от температуры. В соответствии с критерием сверхтекучестиЛандау для куперовских пар со спектром (11.16), их критическая скорость vc   / pF .

Это значит, что при скоростях,больших vc , пары утрачивают свойство сверхтекучести иразваливаются. Поэтому плотность критического токаjc  ens vc  3  Tc  T 3/2еще называют «током распари-вания».7. Термодинамика сверхпроводника.Термодинамика любой системы определяется считалочкой «какой спектр возбуждений, такая и теплоёмкость».Для спектра со щелью  ( p )   p2   2 при T  Tc получа- Cs  exp    , а скачок T Cs  Cn  / Cs  2.43 (см. ДЗ).ем13теплоемкостиравен.

Характеристики

Список файлов лекций