6 (810777), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 n0   ...n( ) g ( )dp(6.39)0В обычной ситуации на уровне p  0 сидит «дифференциально» малое число частиц. В нашем же случае на нулевом уровне скапливается макроскопически большое числочастиц, которое в честь этого мы даже обозначим большойбуквой N 0  n0 . Это как раз столько, сколько не хватает(6.36).  T 3 2 N 0  N 1    (6.40)  TB  Видно, что при T  0 все частицы газа находятся в конденсате.Теперь вычислим энергию газа; с ней подобных проблем при T  TB не возникает. Поскольку  0  0 при p  0дополнительного слагаемого в (6.39) нет и:x3 2 dxex 10Безразмерный интеграл численно равен 1.78 , так чтоE  BVT 5 2  T E  0.77  NT   TB (6.41)52(6.42)Таким образом, теплоёмкость равнаT ECV  1.92  N  T TB 32T3 2(6.43)а давлениеP  1.15  BT 5 213(6.44)ниже температуры бозе-конденсации не зависит от объёма.Это означает, что изотермы бозе-газа содержат характерные«полки» при низких температурах.Всегда ли возможна бозе-конденсация? Безразмерныйинтеграл в (6.37) сходится только для трёхмерного случаяD  3 .

В случаях D  1,2 интеграл расходится, а TB обращается в 0 . Таким образом, в двумерной и одномерной задаче бозе-конденсация невозможна.7. Идеальный газ фотонов (гр. pho(to)s – свет). Квазичастицы.Электромагнитное поле в полости (ящике, cavity QED)описывается гамильтонианом, который удобнее всего записать в представлении вторичного квантования (чисел заполнения)11Hˆ ( E 2  B 2 ) dr  k (aˆk aˆk  )82k ,две поляри-(6.45)зациигде nk  aˆ aˆ и k  ck . Все эти соотношения следуют изуравнений Максвелла и разложения их решений по плоскимволнам. Здесь, как это принято в волновых задачах, мы перешли на язык волновых векторов p  k и частотk k p  k . Волновая функция в этом представлении есть результат действия операторов рождения на вакуумное состояние| ...nk ...

1(aˆk ) nk | 0 12(nk !)(6.46)Теперь мы можем применить к этой задаче всю мощьметода Гиббса. Огромная гибкость и чудовищная предсказательная сила распределения Гиббса связана с тем, что длянего безразлично, какие именно «персонажи» (частицы, квазичастицы) формируют энергетический спектр системы;14термодинамический ответ определяется только конкретнымвидом спектра этих частиц.

Это оставляет нам широкую свободу для выбора удобной и наглядной интерпретации. В данном случае нам удобно представлять себе описанное вышесостояние поля, как газ воображаемых квазичастиц (фотонов) с импульсом k и энергией k , а энергию электромагнитного поля в полости как сумму энергий этих квазичастиц. В огромной эвристической ценности концепции квазичастиц мы ещё не раз убедимся в дальнейшем. Газ фотоновидеальный, поскольку гамильтониан (6.45) представляет собой сумму вкладов отдельных частиц. Фактически эти квазичастицы (фотоны) представляют собой возбуждения электромагнитного поля над основным состоянием (вакуумом). Вотличие от газа реальных частиц, число N таких возбуждений в полости всё время меняется (за счёт их рождения иуничтожения на стенках полости), флуктуируя вокруг среднего, термодинамически равновесного значения N (T ) .

Этозначит, что N теперь является термодинамической переменной, определяемой минимумом соответствующего потенциала. Например, в каноническом ансамбле F / N    0 , тоесть химический потенциал квазичастиц всегда равен 0 .Итак, энергия фотонного газаEk ,две поляризацииk nk  02V  2 d 2 2 c3eT1(6.47)Внутри интеграла легко угадывается распределениеПланка (1900), обеспечивающее отсутствие ультрафиолетовой катастрофы. Обезразмеривая его, как и прежде, получаем:EVT 4x3dx 2 3c3 0 e x  115(6.48)Безразмерный интеграл – это просто число, и задачатеоретической физики анализа температурной зависимостиE (T ) на этом заканчивается. Но, в данном случае мы егоможем и вычислить:x 3 dx3 xx2 x0 e x  1  0 x e dx  1  e  e  ...  14 4   x 3e  kx dx   y 3e  y dy   4  3!90 15k 1 0k 1 k0(6.49)Возвращаясь к энергии равновесного фотонного газа,который ещё называют тепловым (чёрным) излучением илиизлучением абсолютно чёрного тела, получаемECV 4VT 4c(6.50)16VT 3  T 3c(6.51)где    2 k B4 / 60 3c 2 – только что вычисленная нами «изпервых принципов» постоянная Стефана-Больцмана.

Болеераспространена формулировка этого закона не для плотностиэнергии, а для потока её, излучаемой с единичной поверхности абсолютно чёрного тела или через дырку единичнойплощади в полости. Мы знаем, что поток «чего угодно» черездырку равен четверти плотности этого же «чего угодно» наего же среднюю скорость. поток с  1 ед. площ.   v плотность......  4(6.52)Так для плотности потока энергии теплового излучения имеет место закон Стефана - Больцмана:(6.53)W  T 4168.

Идеальный газ фононов (гр. phonos – звук).Гамильтониан атомов решётки может быть диагонализирован, т.е. разложен на нормальные моды колебаний, и впредставлении вторичного квантования имеет вид:11Hˆ   (p k2  k2qk2 )   k ( aˆk aˆk  )2k 2k ,3 поля-(6.54)ризациигде nk  aˆk aˆk - числа заполнения мод. Мы ограничимсятолько акустическими модами колебаний k  vl ,t  k , поскольку при низких температурах в системе возбуждаютсясостояния с минимальными частотами.

У звука есть две поперечные моды и одна продольная, так что плотность числасостоянийg ( ) V  2 d  1 2   2 2  vl3 vt3 (6.55)которую для краткости будем записывать как3  2 dg ( )   2 32  v(6.56)введя эффективную скорость звука:32 1 3 33vvt vl(6.57)Поскольку фононы являются возбуждениями не пустого пространства, а коллективными колебаниями «пустого»кристалла, состоящего из N атомов, существует важное отличие в их одночастичных состояниях от фотонов. В k - пространстве фононные состояния занимают только конечнуюсферу Дебая с радиусом k D .Действительно, число степеней свободы кристалла3N , значит столько же «точек» - одночастичных состоянийдолжно быть в сфере Дебая:17D3V 2 d  3N2 3 2 v 0(6.58)где частота Дебая есть13 6 2 N D  ck D  v  V (6.59)Физический смысл этого ограничения ясен: длина волны фонона не может быть меньше постоянной решётки a , а егочастота, соответственно, должна быть меньше дебаевской  v2~ D .

Тогда энергия фононного идеального газа вaэтом приближении равна3V  2E 2 32 v0e T 13VT 4d  2 3 3 2 vDT0x3dxex 1(6.60)Энергия существенно зависит от величины температуры Дебая  D   D . При низких температурах T   D верхнийпредел интегрирования можно заменить на  , и фононныйгаз ведёт себя как тепловое излучение:312 4  T 3(6.61)CV N T5 DПри высоких температурах T   D все состояния сферыДебая заполнены, и мы получаем «закон равнораспределения» по степеням свободы Дюлонга – ПтиCV  3 N(6.62)9. Энергия нулевых колебаний.И для фотонов, и для фононов мы не учли вклад энергии нулевых колебаний осцилляторов.

Физический смысл18такого пренебрежения различен. Рассмотрим этот вопрос подробнее.Учёт энергии нулевых колебаний осцилляторов электромагнитного поля E0 содержит формальную трудность:интегралV  2 d  2 c320E0  (6.63)расходится. По физическому смыслу E0 – это энергия нулевых колебаний электромагнитного поля, то есть вакуума, вкотором отсутствуют возбуждения. С точки же зрения термодинамики (6.63) не зависит от макроскопических переменных ( T ,N ,... ); это хотя и расходящаяся, но термодинамическая константа.

Все термодинамические эффекты, связанные с появлением над этим вакуумом газ возбуждений(фотонов), можно рассматривать на фоне константы E0 ,энергии нулевых колебаний, которая никакого вклада в термодинамические величины (давление, теплоёмкость, …) недаёт. Такой подход означает простейшую процедуру перенормировки, отсчёта энергии от уровня электромагнитноговакуума, отсутствия возбуждений в системе.В отличие от газа фотонов, энергия нулевых колебанийкристаллической решётки конечнаE0 D03V  2 9d   D N2 32 v 28(6.64)и имеет своё определённое значение для каждой кристаллической модификации данной решётки. Так что, о «перенормировке» внутренней энергии говорить не приходится, таккак величина E0 должна учитываться при фазовых превращениях твёрдого тела. В частности, нетрудно убедиться, что19численно E0 равна площади, ограниченной графиком теплоёмкости тела CV (T ) и его асимптотой CV () .20.

Характеристики

Список файлов лекций