1598082711-dc561bc718f4f20e69f9e807428dfb42 (805680), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пунктирная кривая, изображенная на рис. 1, представляет собой функциюплотности вероятности распределения случайных величин хi. Эта функция позволяет сзаданной вероятностью определить результат измерений и величину случайной погрешности измерения.6Очевидно, что в отсутствие систематической погрешности величиной, ближе всеголежащей к истинному значению, будет являться среднеарифметическое значение извсех измерений.Следовательно, в качестве действительного значения измеряемой величины нужновзять ее среднеарифметическое значение (которое в дальнейшем будем называть просто средним значением)хх1  х2 ...

 хn.nТак как среднее значение x определяется суммой случайных величин, то и оно тоже является случайной величиной. Поэтому, если провести еще одну серию из n измерений, то в общем случае можно получить несколько другое значение x . При расчетахследует предварительно округлять значение x до трёх значащих цифр.Вторая часть проблемы заключается в том, чтобы указать доверительный интервал,в котором с достаточно большой надежностью лежит истинное значение измеряемойвеличины. В пределах этого интервала должна лежать большая часть уже проведенныхизмерений (и измерений, которые мы могли бы провести в будущем). Следовательно,этот интервал должен быть связан с шириной функции распределения погрешностей(см. пунктирную кривую на рис. 1).

В математической статистике эта ширина характеризуется параметром, называемым дисперсией случайной величины. Корень квадратныйиз дисперсии определяет среднеквадратичное отклонение от среднего. Если погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения, который описываетсяфункцией Гаусса, то среднеквадратичное отклонение можно будет найти по формулеnS(x  x )2ii 1.n( n  1)(Заметим, что вопрос о том, можно ли считать данное распределение погрешностейнормальным, требует дополнительных исследований, которые в рамках лабораторногопрактикума не проводятся.)Так как на практике проводятся серии с малым числом измерений (n = 3 или n = 5),то в качестве случайной погрешности следует взять погрешность, равнуюnxсл  t P ,n( x  x )i 12in( n  1).7Здесь tP, n – коэффициент Стьюдента, который зависит как от числа измерений n, так иот доверительной вероятности P.

Доверительную вероятность, как правило, принимаютP = 0,9; 0,95; 0,99. В рядовых физических экспериментах обычно выбирают P = 0,95.Значения коэффициента Стьюдента можно найти по табл. 1.Таблица 1.PtP, 2tP, 3tP, 5tP, 7tP, 10n=2n=3n=5n=7n = 100,96,3142,9202,1321,9431,8330,9512,7064,3032,7762,4472,2620,9963,6679,9254,6043,7073,2504. Суммарная погрешность прямого измеренияЕсли мы определили предельную погрешность измерения хинстр, связанную с использованием того или иного измерительного прибора, а также нашли случайную погрешность Δxсл, то тогда суммарная погрешность прямого измерения дается формулойx  ( xсл ) 2  ( хинс ) 2 .При расчетах следует предварительно округлять значения случайной и предельнойпогрешностей до трех значащих цифр.Результат прямого измерения следует записать в следующей формех  х  х , Р = 0,95.Это означает, что с доверительной вероятностью 0,95 истинное значение х лежит отх  х до х  х .При записи результатов измерений необходимо пользоваться следующими правилами округления:1.

Число, выражающее суммарную погрешность измерения, округляется до однойзначащей цифры; если же оно начинается цифрой 1 или 2, то округление производят додвух значащих цифр.2. Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой тогоже порядка, что и числовое значение абсолютной погрешности.3. При округлении целых чисел все отброшенные при округлении цифры заменяются множителем 10m, где m – число отброшенных цифр. (Например, если Δх = 1327, тоследует записать Δх = 13102, если же Δх = 851, то после округления получимΔх = 9102.)84. Если при округлении первая отбрасываемая цифра больше или равна пяти, топредыдущая, сохраняемая цифра, увеличивается на единицу.

В противном случае этацифра не изменяется.Например, если после расчетов сказалось, что погрешность измерения равна 0,47;0,064; 0,128; 342, то следует записать:x1  0,5 ; x2  0,06 ; x3  0,13 ; x4  3102 .Если при этом измеряемая величина равна 3,425; 12,8356; 9,025; 8395,7, то результат необходимо представить в форме:x1  x1  3,4  0,5 ; Р = 0,95;x2  x2  12,84  0,06 ; Р = 0,95;x3  x3  9,03  0,13 ; Р = 0,95;x4  x4  84  3 102 ; Р = 0,95.5.

Погрешности при косвенных измеренияхПри косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют наосновании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученнымив результате прямых измерений (например, объем куба V = a3). Зная эту функциональную зависимость F = f(x) можно найти ее приращение при малом изменении аргумента:dF dfdx dx .x xПриближенно считая, что dF  ΔF, a dx  Δx, получимF dfdx x ,x x(например, для куба V  3a 2  a ).Если же искомая величина зависит от многих переменных F = f(x, y, z) (например,объем бруска V = a · b · c), то приращение каждого из аргументов дает свой вклад вприращение функцииFx FFFy; Fz x; Fy z .yxz9ЗдесьF F,и т. д. – частные производные, которые берутся по тем же правилам, чтоx yи обычные производные, но при этом остальные аргументы рассматриваются как константы.

Так как Fx, Fy и т. д. являются в конечном итоге случайными величинами, тосреднеквадратичную погрешность косвенного измерения рассчитывают по той жеформуле, что и для прямого измерения:F  Fx2  Fy2  ... ,или222 F  F  F 22F    y 2    x    z  ... .xyzТак, в случае объема брускаV  (b  c )2  a 2  (a  c )2  b2  (a  b )2  c 2 .Особо следует остановиться на погрешностях универсальных констант, трансцендентных и иррациональных величин, справочных данных и данных установки, входящих в расчетные формулы. Погрешности универсальных констант – это погрешностиокругления их значений. Например, если для числа  = 3,141593… взять значение  = 3,то его погрешность  = 0,1416; если же принять  = 3,1 то погрешность   = 0,0416 ит.

д. При этом возникает вопрос, с каким числом значащих цифр следует взять его значение.Число  и другие иррациональные величины следует выбирать так, чтобы относительная погрешность этих величин, вносимая при их округлении, не влияла на суммарную относительную погрешность, вносимую величинами, полученными экспериментально.В учебной лаборатории при надежности измерений 0,95 для используемых приборов относительная погрешность, как правило, больше 1%. В этом случае достаточноуказывать в константах 5 значащих цифр, например  =3,1416; g = 9,8156 м/с2. Относительная погрешность констант в этом случае считается равной нулю.Для справочных данных и для данных установки (если их погрешность не оговорена) погрешность составляет 5 единиц разряда, следующего после последней значащейцифры. Так, если на установке задан момент инерции маятника I0 = 0,12 кгм2, тоΔI0 = 0,005 кгм2.10Если в расчетах используются не все значащие цифры справочных данных, то в качестве погрешности этой величины берется погрешность округления.

Очевидно, чтозначения справочных данных необходимо брать такими, чтобы их относительной погрешностью можно было пренебречь.Так, число Авогадро NA = (6,022092  0,000006)1023 1/моль. Если взятьNA = 6,01023 1/моль, то погрешность ΔNA = 0,021023 1/моль, ее же относительная величинаN A 0,003 , т.

е. составит около 3%.NA6. Пример статистической обработки результатов измеренийПусть необходимо найти длину окружности диска. Допустим, мы пять раз измерили его диаметр с помощью штангенциркуля, точность нониуса которого равна 0,1 мм.Результаты измерений сведем в табл. 2.Таблица 2№Di, ммDi, мм112,8-0,22212,6-0,02312,40,18412,6-0,02512,50,08Среднее12,58—Среднее значение равно5DDii 1512,8  12,6  12,4  12,6  12,5 12,580 мм .5Зная D , найдем Di  D  Di . Соответствующие данные занесены в табл. 2.

Случайную погрешность найдем по формуле Стьюдента. Учитывая, что при n = 5 иР = 0,95 коэффициент Стьюдента t = 2,776, получимnDсл  t P ,n (D )20,22 2  0,02 2  0,18 2  0,02 2  0,082 2,776 0,1841 мм .n(n  1)5(5  1)i 1iС учетом округления ΔDсл = 0,18 мм.11Так как диаметр измерялся штангенциркулем, то в качестве инструментальной погрешности средства измерения возьмем величину ΔDинс = 0,1 мм.В результате суммарная погрешность прямого измерения2D  Dсл2  Dинс 0,182  0,12  0,2059 ммили с учетом округления ΔD = 0,21 мм.Окончательный результат прямого измерения представим в видеD  12,58  0,21 мм , Р = 0,95.Длина окружности L  D. Погрешность косвенного измеренияL   2 D 2  D 2  2 ,относительная погрешность этого измерения22L D       .L D    Относительная погрешность при измерении диаметраD 0,21 0,017 .D 12,58Следовательно, число  следует подобрать так, чтобывлетворяет значение  = 3,14.

При этомD. Этому условию удоD 0,00048 . ТогдаL   D  3,14  12,58  39,5012 мм .Так какL D 0,017 , тоLDL  L  0,017  0,672или с учетом округленияΔL = 0,7 мм. Тогда окончательный результат измерения можно представить в видеL  39,5  0,7 мм , Р = 0,95.7.

Характеристики

Список файлов книги