saveliev2 (797914), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Аналогично электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями Е. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е. Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности перпендикулярдой к линиям площадки, было равно численному значению вектора Е. Тогда по картине линий йапряженности можно судить о направлении и величине вентора Е в разных точках пространства (рис.

8). Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 9). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность.

В самом деле, полное число Й линий, пересекающих сферическую по- верхность произвольного радиуса Е г, будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы 4пгх. Густота линий по усло- 1 д вию численно равна Е= —,, — „, ° Следовательно, Й численно равно — —, 4пгт = — ~, (7.!) 1 д 4яео г ео ' т. е. число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же, Отсюда и вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность (заряд положителен), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (заряд отрицателен).

Это свойство Рис. 9. линий Е является общим для всех электростатических полей, т. е. полей, создаваемых любой системой неподвижных зарядов: линии напряженности могут начинаться или заканчиваться лишь на зарядах либо уходить в бесконечность.

Ниже, на рис. 26, показана картина линий Е поля диполя. 24 (7.2) где Š— составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке. Отсюда для количества линий Е, пронизывающих произвольную поверхность, получается следующее выражение: Ф численно равно ( Е„ йЯ. з (7.3) Если имеется поле некоторого вектора А, то выраже- ние (7.4) где А„— составляющая вектора А по направлению нормали к Ж, называется потоком вектора А через поверхность Я. В зависимости от природы вектора А выражение (7.4) имеет различный физический смысл. Так, например„ поток вектора плотности потока знергии равен, как известно, потоку знергии через соответствующую поверхность (см. т. 1, $82). Предоставляем читателю самому убедиться в том, что поток вектора скорости дает объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность 5.

Из формулы (7.8) следует, что поток вектора Е (7.5) численно равен количеству линий Е, пронизывающих по- верхность 8. Поскольку густота линий Е выбирается равной численному значению Е, количество линий, пронизывающих площадку дЯ, перпендикулярную к вектору .Е, будет численно равно Е г13. Если площадка ФЯ ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором Е угол а, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно (ср.

с формулой (82.12), т. 1): Ег(Бсоза= Е„г(Бг Как мы увидим в дальнейшем, понятие потока вектора напряженности поля играет большую роль в учении об электричестве и магнетизме. Заметим, что поток (7.5) есть алгебраическая величина, причем знак его зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается пои верхность 5 при вычислении Ф. Изменение направления нормали на Ю противоположное изменяет знак у Е„ а следовательно и знак у потока Ф.

В случае замкнутых поверхно- стей принято вычислять поток, вый ходящий из охватываемой поверхностью области наружу. Соответственно под нормалью к с/5 в дальнейшем будет всегда подразуме- в ваться обращенная наружу, т. е. Рис. 10. внешняя, нормаль. Поэтому в тех местах, где вектор Е направлен наружу (т. е. линия Е выходит из объема, охватываемого поверхностью), Ен и соответственно т(Ф будут .положительны; в тех же местах, где вектор Е направлен внутрь (т.

е. линия Е входит в объем, охватываемый поверхностью), Е и НФ будут отрицательны (рис. 1О). $8. Теорема Гаусса В предыдущем параграфе было показано [см. формулу (7.1Ц, что окружающую точечный заряд д сферическую поверхность любого радиуса г пересекает з//ее линий Е'). Отсюда вытекает, что из.точечного заряда выходит (либо к нему сходится) ///ео линий (в гауссовой системе это число равно 4пт/). В соответствии с формулой (7.3) поток вектора Е через некоторую поверхность численно равен количеству линий Е, пересекающих эту поверхность. Следовательно, поток вектора Е через охватывающую заряд ') Разумеется, количество линий Е лишь численно равно Ч/ез.

Количество линий — безразмерная величина, выражение же д/ес имеет размерность. Однако мы для нраткостя будем условно говорить, что число линий равно С/Оз. сферическую поверхность равен фее'). Знак потока совпадает со знаком заряда Покажем, что и для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный заряд д, поток вектора Е также будет равен о4ео.

Для поверхности, не имеющей «морщин» (рис. 11,о), это утверждение является очевидным. Действительно, такая поверхность, как и поверхность сферы, пересекается каждой линией Е только Рис. Ы. один раз, Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т. е, д(ео. При вычислении потока через поверхность с «морщинами» (см. рис. 11,б, на котором показана только одна из дано линий Е) нужно учесть, что число пересечений данной линии Е с поверхностью может бы)ь в рассматриваемом случае только нечетным, причем эти пересечения будут вносить в общий поток попеременно то положительный, то отрицательный вклад. В итоге, сколько бы раз данная линия не пересекала поверхность, результирующий вклад в поток будет равен либо плюс единице (для линии, выходящей в конечном счете '1 В данном случае идет речь не только о численном равенстве.

Размерность потока. вектора и равна размерности О(аь (8.! ) (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей Ел = Ею+ Еит+ ° * ° = Х Еы (8.2) Подставив (8.2) в выражение для потока, получим $ Е„дБ = ~ ~~~ ~ Еа) ИБ ~~~~ ~ Еы йЕ, где Е„т — нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого (-м зарядом в отдельности. Но, как было показано выше, ~Е дЕ= —",. Следовательно, ъ'~ Е„аБ = — лт.

аь , .ьг (8.3) Доказанное нами утверждение носит название теоремы Гаусса. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на еь. В частности, если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю. В этом случае каждая линия наружу), либо минус единице (для линии, входящей внутрь).

Таким образом, какова бы ни была форма замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд д, поток вектора Е сквозь эту поверхность оказывается равным феь. Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности эа. ключено несколько точечных зарядов произвольных знаков: дь дэ и т. д. Поток вектора Е по определению ра- вен напряженности поля (создаваемого зарядами, расположенными вие поверхности) пересекает поверхность четное число раз, выходя наружу столько же раз, сколько и нходя внутрь (рис. 12). В итоге вклад, вносимый в поток каждой из линий, будет равен нулю. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р '), теорема Гаусса должна быть записана следующим образом: ф Еа дя = — ~ р г()г, (8-4) 3 Рнс.

!2. где интеграл справа берется по объему У, охватываемому поверхностью о. В гауссовой системе в формулах (8.3) н (8.4) вместо !/аз стоит множитель 4н. Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы (5.3) для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей. Продемонстрируем возможности теоремы Гаусса иа нескольких полезных для дальнейшего примерах.

') Объемная плотность заряда определяется по аналогии с обычной плотностью следующим образом: р Бщ ьд Ьд ьр ЬУ гле Ьд — зар|щ, заключенный внутри малого объема ЬУ. Кроме объемной плотности заряда нам понадобятся в дальнейщем поверхностная плотность и - )пп — , Ьч ьз-ьо Ы гле Ьд — заряд, находящийся на злементе поверхности ЬЯ, линейная плотность Х !пп — , ьч и+о и' где Ьд — заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину Ь). 1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с постояннои поверхностной плотностью о; для определенности будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости. В самом деле, посколь- ку плоскость бесконечна н заря+к жена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от нормали к плоскости.

Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля будет одинакова по величине н противоположна по направлению. Представим себе мысленно цилинл рическую поверхность с образующими, пррпендикулярными,к плоскости,' и основаниями величины ЬЗ, расположенными относительно плоскости симметрично (рис. 13). Применим к этой поверхности теорему Гаусса. Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, поскольку Е„ в каждой ее точке равна нулю.

Характеристики

Список файлов книги