Диссертация (792654), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2.3.1 – Расчетная схема.Тогда, используя выражения (2.2.1),граничные условия закрепления продольных кромокзапишем в виде:39(2.3.2){где индекс 1 означает, что в соответствующие операторы вместо η нужноподставить его значение, равное единице.Решение неоднородной системы двух дифференциальных уравнений (2.3.2)будем искать в виде:(2.3.3),гдеи- общее решение соответствующей однородной системы:{аи(2.3.4)- частные интегралы неоднородной системы (2.3.2).Для определения общего решения однородной системы (2.3.4) введем новуюнеизвестную функцию, по формулам:{(2.3.5)Тогда в системе (2.3.4) первое уравнение удовлетворяется тождественно, авторое принимает следующий вид:(2.3.6)Или, обозначив,(2.3.7)(2.3.8)Подставив в (2.3.6) операторыиз табл.

2.1.1 и приведя подобные члены,получим:()√√√√(2.3.9)√√[√]40где- определяются по формулам (2.1.8).Таким образом, однородная система сводится к одному линейномудифференциальномууравнениюбесконечного(2.3.8)порядка(трансцендентному) с постоянными коэффициентами относительно разрешающейфункции, которое можно назвать разрешающим уравнением.Решение разрешающего уравнения (2.3.8) естественно искать в виде:.(2.3.10)Для нахождения неизвестного показателя степени rn необходимо решитьсоответствующее характеристическое уравнение:[]√(√)√√√[√(2.3.11)],√которое получается заменой в дифференциальном операторедифференцирования(2.3.9) символана rn.

Поскольку характеристическое уравнение в общемслучае всегда является трансцендентным, оно имеет бесконечное множествокомплексных корней rn. Поэтому можно записатьв виде:(2.3.12)∑если все корни характеристического уравнения – простые, если же есть кратныекорни, то необходимо в (2.3.12) добавить члены с полиноминальнымимножителями.Очевидно, что в данном случае помимокорнями характе-ристического уравнения (2.3.12) будут также являться исопряженные им величиныфункциюможно записать в виде:иследовательно разрешающую41∑[(2.3.13)]гдеВыражение (2.1.33) можно переписать более кратко:∑(2.3.14)Подставляя найденное выражение разрешающей функции (2.3.14) в формулы(2.3.5), получим общее решение однородной системы (2.3.4):∑[∑[](2.3.15)](2.3.16)Подставив выражения (2.3.1), (2.3.15) и (2.3.16) в (2.1.12) и выполнивоперации получим общее решение однородного уравнения (2.1.4) в виде:∑(2.3.17)или∑где функция(2.3.18)зависит от условий закрепления продольных краев пластинки.Для рассматриваемой пластинки, имеющей жесткое защемление по продольнымкромкам, функция, будет удовлетворять следующим граничным условиямна продольных кромках:(2.3.19)и имеет вид:(2.3.20)где√√√42Кроме того, функциядолжна удовлетворять следующему однородномудифференциальному уравнению:.(2.3.21)Теперь остановимся на отыскании частного решения неоднородногоуравнения (2.3.2).Дляопределениячастныхнеизвестные функции,ирешенийсистемы(2.3.2)введемновые, по формулам:{(2.3.22)В результате подстановки выражений (2.3.22) соответственно в систему(2.3.2) получим два неоднородных уравнения:{(2.3.23)каждое из которых зависит только от одной неизвестной функции.Оператор в левой части уравнений (2.3.23) представляет собой линейныйдифференциальный оператор бесконечно высокого порядка с постояннымикоэффициентами, и будет точно таким же, как и в однородном уравнении (2.3.11)относительно функции.Вид функцийи, стоящих в правых частях уравнений (2.3.23),зависит от характера распределения нагрузки.

Чтобы найти их необходимовыполнить соответствующую дифференциальную операцию над нагрузкой.Если на рассматриваемую пластинку действует равномерно -распределеннаянагрузка–const, то функции операторыиявляющиесяправыми частями уравнений (2.3.2), имеют вид:∫((√)(2.3.24))43∫((√√(2.3.25))√Учитывая, что операторт.е.)представляет собой частную производную по ξ,и тот факт, что производная от постоянной равна нулюполучим:√√(2.3.26)√(2.3.27)√Из (2.3.23), следует, что неизвестные функции Z1 и Z2 при постоянных частяхв выражении, определяются:√√√(2.3.28)√√(2.3.29)√Подставив Z1 и Z2 в (2.3.22) и выполнив все дифференциальные операции(представив операторы при этом в виде бесконечных рядов), можно определитьчастные начальные функциии,√√√√{√(2.3.30)√Таким образом, частное решение дифференциального уравнения (2.1.1)определяется формулой:44(2.3.31)√(√√)√(√(√)(√√))Рассмотрим три случая нахождения частного решения, когда:1.N1 =N, N2=0.2.N1 =0, N2=N.3.N1 =N, N2=N.В первом случае (N1=N, N2=0), когда пластинка находится под действиемнагрузки N1 имеем:√√√(2.3.32)Получим следующие выражения:;;;(2.3.33)Выполнив дифференциальные операции над,иполучим частноерешение:(2.3.34)Полученноечастноерешениеудовлетворяетдифференциальномууравнению задачи и граничным условиям при η=0:(2.3.35)(2.3.36)()и при η=±1:(2.3.37)45(2.3.38)Для второго случая, при действии только продольной силы N2 (N1=0, N2=N).√Получим следующие выражения для√√[(;-√√√√√]√); -√√((Выполнив дифференциальные операции над√[Полученное√частное√√)√);(2.3.39)(2.3.40)получим:]√решение√√и√√(2.3.41)удовлетворяетдифференциальномууравнению задачи и граничным условиям при η=0:(√√√√())√((2.3.42))√(2.3.43)и при η=±1:[√√√]√√((2.3.44))√(2.3.45)Для третьего случая, при сжатии в двух направлениях N1 =N, N2=N.Получим следующие выражения для√√;-(√√√√);-(√√√√); (2.3.46)46[√√]√√√(√)√Выполнив дифференциальные операции над[Полученноечастное√и√√получим:]√решение(2.3.47)(2.3.48)удовлетворяетдифференциальномууравнению задачи и граничным условиям при η=0:(√√√)√()(2.3.49)√(√)(2.3.50)и при η=±1:[√√√]√(√√(2.3.51))(2.3.52)В результате сложения частного решения неоднородного уравнения (2.1.1) собщим решением соответствующего однородного уравнения получим решениезадачи сжато изогнутой упругой пластинки, которое в общем случае может бытьзаписано в виде:{{∑∑(2.3.11),(2.3.53)}В выражении (2.3.53)уравнения}- комплексные корни характеристическогополучаемогоприотысканииначальныхфункций,удовлетворяющих граничным условиям на продольных краях пластинки,- An и Bn - комплексные произвольные постоянные, определяемые из47граничных условий на поперечных сторонах пластинки, параллельных оси .- функцияопределяется типом граничных условий на краяхпараллельных начальной линии.

При этом они обладают свойством обобщеннойортогональности.Аналогично могут быть получены остальные величины, определяющиенапряженно- деформированное состояние пластинки. Например:∑(2.3.54)(где{)∑где}(2.3.55)и т.д.Полученное решение точно удовлетворяет исходному дифференциальномууравнению, граничным условиям на продольных кромках и содержит 4nпроизвольных постоянных, которые определяются граничными условиями напоперечных сторонах пластинки. Для их нахождения может быть использованосоотношение ортогональности функцийПри отсутствии поперечной нагрузки (, которое будет получено ниже.), однородное решение задачиможет быть использовано для решения задачи устойчивости пластинок, котороеопределяет форму и напряженно- деформированное состояние сжатой пластинкипосле потери устойчивости.2.4 Соотношение обобщенной ортогональности однородных решений иего использование для удовлетворения граничным условиям на поперечныхсторонах сжато-изогнутой пластинки.2.4.1 Случаи, когда граничные условия могут быть удовлетвореныточно.В работе [19] было получено соотношение обобщенной ортогональности(1.2.6) для сжато-изогнутых пластинок, которое справедливо лишь в случае, когда48на продольных сторонах загруженных сжимающей силой N2, имеются какие-либокинематические связи, препятствующие перемещениям или поворотам этихсторон пластинок, - заделки или шарнирные опоры.Рассмотрим вывод нового соотношения обобщенной ортогональности,справедливого для любых граничных условий, в том числе и для случая изгибапластинки со свободными от связей продольными кромками при наличиисжимающих сил водном и двух направлениях ее срединной плоскости и прилюбых однородных граничных условиях на продольных краях пластинки, в томчисле и свободных от закрепления.Как было показано ранее, решение уравнения (2.1.1) при N1 и N2 - сonst,полученное методом начальных функций, точно удовлетворяет граничнымусловиям на двух противоположных краях пластинки, параллельных оси 0ξ.Предварительно запишем условия, которым удовлетворяют функцииоднородного решения, при различных условиях закрепления продольных краевпластинки при η=0 и η=1.1) Жестко защемленный край:||(2.4.1)2) Шарнирное опирание:||(2.4.2)3) Свободный край:|(2.4.3)[|]4) На краю имеется ползун:|(2.4.4)49|Для получения новой формы соотношения обобщенной ортогональностиумножим все члены уравнения (2.3.21) на(2.3.21), записанное для функции, вычитаем уравнение, умноженное на, и интегрируемпо η в интервале от 0 до 1.∫∫∫∫∫(2.4.5)∫Интегрируя по частям первые четыре слагаемые уравнения (2.4.5) и приведяподобные члены, получим:]∫[(2.4.6){ []|[|]|| }Используя соотношения (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.4), нетрудно убедиться, чтовсе внеинтегральные члены в полученном уравнении (2.4.6) обращаются в ноль привсех возможных однородных граничных условиях на краю η=0 или η=1.

Откудаследует соотношение обобщенной ортогональности для собственных функцийоднородного решения задачи, справедливое для всех возможных условийзакрепления продольных краев сжатой пластинки:50∫(где)∫ ({(2.4.7))Соотношение (2.4.7) позволяет разложить две функции f1(η) и f2(η) (в томчисле и ноль) в ряды по функциям:∑(2.4.8)∑(2.4.9)с одним и тем же коэффициентом Аn, отличным от нуля, определяемым поформуле:{∫∫∫}(2.4.10)Для получения формулы (2.4.10) продифференцируем один раз выражение(2.4.8), умножим на∫и проинтегрируем по η от 0 до 1:∑∫(2.4.11)Продифференцируем дважды выражение (2.4.8), умножим наипроинтегрируем по η от 0 до 1:∫Умножим выражение (2.4.9) на∑∫(2.4.12)и проинтегрируем по η от 0 до 1:51∫∫∑(2.4.13)Сложив (2.4.11), (2.4.12) и (2.4.13), получим:∫∫∫(2.4.14)∑∫На основании соотношения (2.4.7) интеграл в правой части соотношения(2.4.14) для всех членов ряда, кроме n=k, равен нулю, откуда следует формула(2.4.10).Покажем теперь, каким образом соотношения (2.4.8), (2.4.9), (2.4.10) могут бытьиспользованы для удовлетворения граничным условиям на поперечных сторонахпластинки, т.е.

для нахождения коэффициентов Аn и Вn в решении (2.1.1) для сжатоизогнутой пластинки.Рассмотрим вначале случай, когда коэффициенты могут быть вычислены точно.Допустим, что на краю ξ=0 пластинки задан прогиб:(2.4.15)и изгибающий момент:(2.4.16)Раскрывая граничные условия на краю ξ=0, для чего подставим решение (2.3.53)в (2.4.15) и (2.4.16), в результате получим:∑(2.4.17)52∑(2.4.18)Дифференцируем дважды уравнение (2.4.17):∑(2.4.19)Умножим (2.4.19) на ν и вычтем из (2.4.18)∑(2.4.20)Выражения (2.4.17) и (2.4.20) аналогичны (2.4.8) и (2.4.9), следовательно,коэффициент Вn вычисляется по формуле (2.4.10), в которую вместоинужно подставить правые части (2.4.17) и (2.4.20). В результате получим:{∫(∫())(2.4.21)∫()}Положив в (2.4.17) X(η)=0 и (2.4.18) Z(η)=0, получим решение для пластинки,шарнирно опертой на краю ξ=0.Аналогично могут быть вычислены коэффициенты в случае, когда напоперечных краях заданы угол поворотаи поперечная нагрузка, перпендикулярная первоначальной плоскости пластинки.Частным случаем этих граничных условий является ползун, когда==0.Таким образом, точное решение задачи об изгибе сжатой изогнутойпластинки при указанных граничных условиях на ее поперечных сторонах ипроизвольных однородных граничных условиях на продольных сторонахпредставлено формулой (2.3.53), в которой коэффициенты определяютсявыражением (2.4.10).2.4.2 Приближенное удовлетворение граничным условиям методом сил и53методом перемещений.Если на поперечных краях заданы отличные от указанных выше типовграничные условия, например, края ξ=0 или ξ= защемлены или свободны, токоэффициенты решения (2.3.53) уже не могут быть определены точно.Покажем один из возможных путей их приближенного нахождения дляслучая, когда край ξ=0 защемлен.

Характеристики

Список файлов диссертации