Диссертация (792654), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В работе [88]представлены два алгоритма вывода замкнутых форм операторов МНФ дляпространственной задачи изотропного линейно-упругого тела на основе подходовА.С.Малиева и В.А.Агарёва получения основных соотношений МНФ. В обоихподходах строится решение уравнений теории упругости в перемещениях: вподходе А.С.Малиева через три функции общего решения с последующим ихсвязыванием с начальными функциями, в подходе В.А.Агарёва - сразу же черезшесть начальных функций. В работе [89] построены общие решения для упругой20анизотропной прямоугольной области, позволяющие удовлетворять не толькограничным условиям, заданным в виде смещений и внешних напряжений, но исмешанным граничным условиями. Представлен общий алгоритм расчетапрямоугольной анизотропной упругой области с произвольными граничнымиусловиями на ее гранях.
Приведено доказательство регулярности операторовметода начальных функций для анизотропного тела, кроме того, доказательствосходимости степенных рядов решений в случае произвольной анизотропии прииспользовании в качестве начальных функций тригонометрических синусов икосинусов. Определены формы операторов метода начальных функций на основеподхода на базе уравнений теории упругости в перемещениях для случаевортотропного и изотропного тела.Теперь остановимся более подробно на анализе существующих способовудовлетворения граничным условиям при помощи решений, получаемых МНФ итесно связанным с ним методом однородных решений.1.2 Однородные решения и их использование для удовлетворениякраевых условий в задачах теории упругости.Однороднымирешенияминазываютчастныерешенияоднородныхдифференциальных уравнений, описывающих краевую задачу, удовлетворяющиенулевымграничнымусловиямнаопределенныхучасткахповерхностирассматриваемого тела.
Так, для двумерной задачи изгиба пластинки вбезразмерной прямоугольной системе координат ξ, η они могут быть записаны ввиде:∑(1.2.1)где rn - собственные числа, а F(rn,η) - собственные функции задачи.Как отмечается в работе [112], попытки решения краевых задач теорииупругости в более строгой постановке, чем с использованием принципа СенВенана, привели к применению однородных решений, удовлетворяющихграничным условиям на тех участках, где они поставлены строго, и позволяющих21корректироватьсмягченныеграничныеусловия.Наиболееестественнымспособом построения однородных решений является МНФ (символическийметод).Некоторые типы однородных решений были известны еще задолго до выходав свет работ А.И.Лурье и В.З.Власова. Впервые однородные решения для слоя, недающиенапряженийнаграничныхплоскостяхZ=h,определяемыетрансцендентным уравнением:(1.2.2)были приведены в работе J.Dougall [150], опубликованной в 1904 году.Разыскивая решения в виде определенных интегралов, автор вычислил их припомощи теоремы о вычетах и получил комплексные ряды, зависящие от корнейуравнения (1.2.2).
При этом J.Dougall показал, что (1.2.2) имеет бесконечноемножество комплексных корней, группирующихся по четыре, иполучил для них асимптотические формулы. Однако для удовлетворенияграничных условий автор однородные решения не использовал.В 1907 году в работе L.N.G.Filon [152] впервые было получено разложениеполинома в ряд по неортогональным собственным функциям однородныхрешений. Его метод состоит в рассмотрении комплексного интеграла, длякоторого вычет в нуле подинтегральной функции равен заданному полиному, авычеты в полюсах трансцендентной функции образуют искомый ряд. Сходимостьэтого ряда обусловлена стремлением к нулю комплексного интеграла принеограниченном увеличении радиуса контура интегрирования.В дальнейшем метод L.N.G.Filon нашел применение в работах А.И.Лурье[85], В.К.Прокопова [110] и др. Так, в [84] при решении задачи об изгибе круглойтолстой плиты под равномерно распределеннойнагрузкой, на боковойповерхности плиты удовлетворено точно условие отсутствия радиальногосмещения, условие отсутствия осевого смещения выполняется на среднейокружности.В работе [110] решение А.И.Лурье распространено на случай произвольной22нагрузки, имеющей осевую симметрию.
Кроме того, в этой работе повторноеприменение теоремы о вычетах позволило автору преобразовать комплексныеряды к вещественным. В подобной постановке В.К.Прокопов рассмотрел плоскуюзадачу для тонкой пластинки [109].В этих работах авторам удалось точно удовлетворить при помощиоднородных решений одному граничному условию ввиду того, что постоянныеинтегрированияоднородныхрешений,содержащиепроизвольнуюдействительную и мнимую часть и призванные служить для удовлетворения двухграничных условий, могут быть определены в соответствии с методом L.N.G.Filonиз удовлетворения лишь одного граничного условия.В 1935 году J.H.A.Brahtz в работе [149] получил однородные решенияплоской задачи теории упругости в полярных координатах, не дающиенапряжений на гранях бесконечного клина.
Эти решения автор использовал дляприближенногоудовлетворения граничныхусловий на свободном краютреугольной плотины. При этом условия удовлетворялись в трех точках края.Метод коллокации применялся затем в работах многих авторов.Г.А.Гринберг и Р.П.Поплавский применили этот метод при решении задачиизгиба полукруглой тонкой плиты [52].
Постоянные интегрирования однородныхрешений определялись путем удовлетворения граничных условий в ряде точек Ys:∑∑где-заданные функции;- собственные функции однородных решений, причем точкиидлячередуются.Произвольный выбор точек колокаций при увеличении их числа иногдаприводит к ухудшению результатов. Это следует из работы [64] А.Ф.Захаревича,23посвященной изучению изгиба тяжелого прямоугольника, а также из [125]В.Г.Рекача, в которой однородные решения используются для определениянапряжений в теле треугольной плотины.Условияпрямоугольнойотсутствияперемещенийполосы,взадачерассматриваемойостесненномВ.К.Прокоповымизгибе[114],удовлетворялись в пяти точках.В работах К.А.Китовера [67, 68], приведены многие типы однородныхрешений для плоской задачи теории упругости и задачи изгиба тонкой плиты.Рассматривая конкретные примеры расчета, автор также использует методколокаций.
Этот же метод применен в работе [17] М.Г.Ванюшенкова, гдеполучены основные зависимости МНФ в косоугольной системе координат ирассматриваются задачи изгиба, свободные колебания параллелограмных итрапециевидных пластин, а также устойчивость прямоугольных пластин.Вышедшая в 1938 году книга F.Tolcke [154] положила начало применениюеще одного способа удовлетворения краевых условий при помощи однородныхрешений.
В ней автор, повторив результаты работы J.H.A.Brahtz [149], вновьиспользует однородные решения для отыскания напряжений в теле треугольнойплотины. При этом он предлагает минимизировать квадратичную погрешность,возникающую вследствии ограничения числа удерживаемых членов ряда.После выхода в свет работы J.Fadle [151], получившей широкую известность,метод наименьших квадратичных отклонений применялся в работах многихавторов. В последние годы этот метод плодотворно использует Б.М.Нулер длярешения смешанных задач теории упругости [94].Способ определения коэффициентов однородных решений, основанный наприравнивании нулю статических моментов и моментов высших степеней былпредложен в работе Д.Я.Германа и В.К.Прокопова [46].
Затем в статьяхЮ.А.Груздева и В.К.Прокопова [54, 55] метод полимоментов был применен дляисследования изгиба толстых плит.Этот же прием использовал в работе [50] Ф.А.Гохбаум при расчетесопряжений цилиндров и пластин с помощью однородных решений, где он, кроме24того, предложил разыскивать коэффициенты однородных решений из сравненияразложений нагрузки и краевых значений однородных решений в ряды ФурьеБесселя. Разложения в степенные ряды использовал В.А.Агарев в работах [1-4].В отмеченных выше исследованиях развивались различные способыприближенного удовлетворения граничных условий при помощи однородныхрешений в задачах теории упругости.
Это не касается метода Файлона, которыйпозволяет точно удовлетворить лишь одному граничному условию.Широко известные работы [106,107] П.Ф.Папковича положили началоиспользованию особых свойств однородных решений, позволяющих в некоторыхслучаях точно удовлетворить двум граничным условиям, если будут найденыследующие разложения:∑где∑(1.2.3)- неизвестные комплексные постоянные, одинаковые в обоих разложениях,rn- корни трансцендентного уравнения, вид которого, а также функцийопределяется граничными условиями на продольных кромках пластинки.Задача разложения двух независимых действительных функций в ряды вида(1.2.3) была решена в отмеченных выше работах П.Ф.Папковича для случаязащемления 2х противоположных кромок пластинки и плоской задачи теорииупругости при отсутствии напряжений на продольных кромках прямоугольнойполосы.Функции,входящиеводнородноерешениезадачи(1.2.1),удовлетворяют следующему обыкновенному однородному дифференциальномууравнению:(1.2.4)В работах (61, 99, 100) показано, что функции, для задачи изгибапластинки с двумя защемленными противоположными кромками, обладаютсвойством, часто теперь называемым соотношением или свойством обобщеннойортогональности Папковича-Гринберга:25∫()∫({(1.2.5))В работе [112] показано, что это свойство справедливо при всех другихусловиях закрепления продольных краев изгибаемой пластинки, а также прирешении плоской задачи теории упругости.Это замечательное соотношение позволило П.Ф.Папковичу приемом Фурьеопределить в замкнутом виде искомый коэффициент разложений (1.2.5).Условия существования и сходимости разложений (1.2.5), рассматривались вработе [20] С.Ф.Кузнецова, что позволило ему, уточнить известные для случаязащемления условия Г.А.Гринберга.
В этих же работах, на примере задачи изгибапрямоугольной пластинки с различными условиями закрепления продольныхсторон, предложен, основанный на использовании теории вычетов и соотношенияобобщеннойортогональности,способпостроенияновыхформзаписиоднородных решений, отличительной чертой которого является независимость откомплексных корней характеристического уравнения (собственных чисел).Дальнейшему исследованию этого свойства, для случая изгиба пластинкипри наличии сжимающих сил в ее срединной плоскости, посвящены работыМ.Г.Ванюшенкова [19].
Он показал, как могут быть удовлетворены граничныеусловия на поперечных сторонах пластинки и найдены коэффициенты Аn и Вn.Получив соотношения обобщенной ортогональности для сжато-изгибаемойпластинки:(1.2.6)∫{М.Г.Ванюшенков получил формулу для определения коэффициентов Вn вразложениях (1.2.3):26∫{∫(1.2.7)∫∫(Функции[}])удовлетворяют следующему обыкновенному однородномудифференциальному уравнению:(1.2.8)Был сделан вывод, что соотношение обобщенной ортогональности длясжато-изогнутых пластинок (1.2.6) справедливо лишь в случае, когда напродольных сторонах загруженных сжимающей силой N2, имеются какие-либосвязи, препятствующие перемещениям или поворотам этих сторон пластинок, заделки или шарнирные опоры для которых, илиСледует отметить, что если при решении задачи изгиба пластины, имеетсядостаточно работ, посвященных исследованию существования разложений пособственным функциям, то по устойчивости, работ такого плана нами необнаружено.Аналог соотношения обобщенной ортогональности (1.2.5) для задачи изгибаортотропных пластин используется в работах [61-63] О.А.Журавской.В 1969 году Б.М.Нулер в [98] указал на полученные впервые соотношенияобобщеннойортогональностиP.A.Schiff[153].Вработеонобобщаетсоотношение P.A.Schiff на другие виды граничных условий и строит решенияряда частных задач о конечном упругом цилиндре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
