Диссертация (792654), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При проведениипоследующих вычислений было взято три члена ряда по n, m, k.Втаблице3.7.1приведенызначениякритическойнагрузкидляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0 и сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.7.1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .Значение критическойсилы N1.=0.51.8608=1.01.9867=1.52.0133=2.02.0621Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формы92потери устойчивости (рисунок 3.7.3).=1.0=0.5=1.5=2.0Рисунок 3.7.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.7.2 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1 = 0).Таблица № 3.7.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической7.92822.01370.85750.4784силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.7.4).=1.093=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.7.4 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.7.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярном направлении силами N1=N2=N.Таблица № 3.7.3 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических1.51031.00080.62720.4043сил N1 и N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.7.5).=1.0=0.5=2.0=1.594Рисунок 3.7.5 – Формы потери устойчивости.При анализе результатов решения задач устойчивости пластин МНФ можносделать следующие выводы:1.
Решение получается точно, когда поперечные стороны пластинкишарнирно оперты,заданылибо имеется ползун(примеры 3.1.1-3.1.5).2. При вычислении критической силы, решая характеристическое уравнениеи подставляя rn, необходимо иметь ввиду, что наименьшее значение критическаянагрузка может иметь при любом числе полуволн «n» и параметр «n» определяетформу потери устойчивости (количество полуволн) в продольном направлении.3. Решение получается приближенно, когда поперечные стороны пластинкижестко защемлены или свободны от опор (примеры 3.1.6-3.1.7).4. Алгоритм решения задач в рассмотренных примерах показал, чторезультаты обладают устойчивой монотонной сходимостью и быстро сходятся сувеличением числа членов ряда разложения собственных функций.5.
В задачах, где решение может быть получено приближенно, количествочленов ряда по n, m и k желательно принимать одинаковым и точное значениекритической силы достигается уже при n=m=k=4 (погрешность между значениемкритической силы при n=m=k=3 и n=m=k=4 составляет 0,07%.6. Значение искомых критических сил в задаче с жестко защемленнымипоперечными краями сходится быстрее, чем в пластинке со свободной кромкой.7. Возможные формы потери устойчивости, которые возникают принаименьшем значении нагрузки, при шарнирном опирании, более разнообразны,чем в случае жестко-защемленной или неподкрепленной пластинки.7. Возможные формы потери устойчивости, которые возникают принаименьшем значении нагрузки, при шарнирном опирании, более разнообразны,чем в случае жестко-защемленной или неподкрепленной пластинки.953.2 Примеры расчета прямоугольной сжато-изогнутой пластинки.Дляоценкивлияниявеличиныпродольнойсилынанапряженно-деформированное состояние рассмотрим ряд примеров расчета прямоугольныхсжато-изогнутых пластинок с различными условиями закрепления поперечныхсторон, когда коэффициенты решения определяются точно или приближенно.Причем, для сравнительного анализа рассчитаем сначала пластинку при действии,только поперечной нагрузки, а затем при совместном действии продольных ипоперечных сил.
Во всех ниже рассмотренных примерах приняты следующиеисходные данные:- коэффициент Пуассона =0.3;0.5 106 Н/м2- поперечная равномерно-распределенная нагрузка- модуль упругости Е=200000 МПа;- цилиндрическая жесткость пластинкиМН м.;- размеры сторон пластинки h=1м. и l=1м. (соотношение сторон λ=1);- толщина пластинки δ=0.02м.;- продольные сжимающие усилия, которые примем в доляхот критической силы.3.2.1. Изгиб пластинки, жестко защемленной по одной продольнойстороне и второй свободной, две поперечные стороны шарнирно оперты(продольные силы отсутствуют N=0).Составим алгоритм решения такого рода задач.Выбрав оси координат, как показано нарисунке 3.8.1, из условия на начальной линииприможно записать:Алгоритм получения решения аналогиченпримеру, рассмотренному в § 2.3.
Операторыматрицы начальных функций для расчетаизгибаемой пластинки приведены в таблицеРисунок 3.8.1 – Расчетная схема.962.1.2. (при N1=N2=0).В результате было получено решение задачи изгиба:̅∑(3.8.1)[][][(3.8.2)]и характеристическое уравнение для нахождения,:(3.8.3)Произвольные постоянныеинаходим из граничных условий напоперечных сторонах пластинки.Правильностьполученногочастногорешенияподтверждаетсяудовлетворением граничных условий на продольных сторонах пластинки:(3.8.4)и дифференциальному уравнению:(3.8.5)Таким образом, при определении общего решения, задача сводится котысканию неизвестных коэффициентов An и Bn из удовлетворения граничныхусловий на поперечных сторонах пластинки.Раскроем граничные условия на поперечных краях пластинки.Для края ξ=0 запишем:∑(3.8.6)(3.8.7)97∑[]Уравнение (3.8.6) и (3.8.7) можно переписать в виде:∑(3.8.8)∑|(3.8.9)Продифференцировав дважды уравнение (3.8.8) умножим его наи вычтемиз (3.8.9) и получим:∑|(3.8.10)Воспользовавшись формулой (2.4.21) при N1=N2=0, получим выражение дляопределения коэффициента Вn для изогнутых пластин:[∫]∫(где(3.8.11))Теперь раскроем граничные условия на поперечном краю пластинки ξ= :∑(3.8.12)∑|Обозначививоспользовавшись(3.8.13)свойствомобобщенной ортогональности (1.2.5), получим формулу для определениякоэффициента Сn:[∫Собственные функции]имеют вид:(3.8.14)98[][][Определим значения прогиба(3.8.15)]ηи изгибающего моментаηвхарактерных точках.По таблицам 3.8.1 и 3.8.2 можно проследить характер изменения значенийпрогиба и моментов в точкев зависимости от числа удерживаемыхчленов ряда по n.Таблица 3.8.1 - Прогиб W (м) в зависимости от количества членов ряда по n.Отличие в % отпредыдущего.n=131.24·10-3-n=235.92·10-313,9Таблица 3.8.2 - Изгибающий моментn=336.39·10-31,3n=436.41·10-30,05(Н·м) в зависимости от количествачленов ряда по n.n=1-23.47·103-n=2-48.54·10369,64n=3-53.13·1038,6n=4-53.24·1030,21Отличие в % отпредыдущего.Как видно из таблиц 3.8.1 и 3.8.2 в дальнейшем уточнении решений нетнеобходимости, результаты вычислений совпадают в пределах двух значащихцифр уже в первом приближении и для получения практически точногорезультата достаточно взять не более 3-4 членов ряда.
В таблице 3.8.3 приведенызначения прогибов W и моментовв характерных точках пластинки.Величина прогиба дана в метрах, изгибающего момента в Н*м.Таблица 3.8.3 - Результаты расчета.ηξ0.500.51.000.50.50.5Величина прогиба (м) илимомента (Н·м).0.023·10-3 0(0.06% от Wmax)018.75·10-336.41·10-39900.5-53.24·1030.50.513.76·1031.00.5030.500.1·10(1.2% от Мmax)0.50.526.90·1031.00.545.52·103При вычислении прогиба и изгибающих моментов в пластинке учитывалисьчетыре члена ряда по «n».3.2.2Сжато-изогнутаяпластинкасграничнымиусловиямирассмотренными в примере 3.2.1.Рассмотрим ту же пластинку с теми же граничными условиями и той жепоперечной нагрузкой, но под действием еще сжимающих в срединной плоскостисил N1 и N2 рисунок 3.8.1.Порядок расчета будет точно такой же, как и в примере 3.2.1, с той лишьразницей, что операторы начальных функций необходимо брать из таблицы 2.1.2причем, частное решение дифференциального уравнения, в силу совпаденияграничныхусловийнапродольныхсторонах пластинки и вида загруженияпоперечнойнагрузкой,совпадаетсчастным решением в примере 3.2.1 иимеет вид:(3.9.1)Рис.3.9.1Поэтому, остановимся на определении основных выражений, позволяющихопределить общее решение дифференциального уравнения.Общее решение будем искать в виде:̅∑(3.9.2)Значение корней rn получим из характеристического уравнения (3.3.3), афункцииопределяются по формуле (3.3.4).100Численные значения неизвестных коэффициентов An и Bn определим изудовлетворения граничных условий на поперечных сторонах пластинки последующим формулам:(3.9.3)∫∫∫∫∫(где)(3.9.4)[((√))√]√.Воспользовавшись рассмотренным в предыдущем примере алгоритмом,рассчитаем квадратную пластинку, с различными вариантами загружения, придействии равномерно распределенной внешней поперечной нагрузки q(ξ,η) ипродольных сжимающих сил T1 и T2, причем значение продольных сил примем вдолях от критической силы.Рассмотрим пластинку, находящуюся под действием поперечной нагрузки, итрех комбинаций загружения продольной силой Т:1) пластинка сжата в одном направлении силой Т1;2) пластинка сжата в одном направлении силой Т2;3) пластинка сжата в двух взаимно-перпендикулярных направлениях Т1=Т2.В таблице 3.9.1 приведены значения прогибаηи изгибающих101моментовηиηв характерных точках пластинки находящейся поддействием поперечной нагрузки q(ξ,η) и сжатой в одном направлении силой Т1.Величина прогиба дана в метрах, изгибающего момента в Н*м.
В скобкахприведено разница между предыдущим значением и последующим.Таблица 3.9.1 - Результаты расчета.ηξТ1=0.0ТкрТ1=0.05ТкрТ1=0.1ТкрТ1=0.2Ткр0.500.023·10-3018.75·10-336.41·10-3-53.24·10313.76·10300.019·10-3019.59·10-3 (4.3%)38.22·10-3 (4.7%)-55.11·103 (4.4%)14.25·103 (3.4%)00.018·10-3020.50·10-3 (4.4%)40.18·10-3 (4.1%)-57.14·103 (3.8%)14.80·103 (4.3%)00.021·10-3022.63·10-3 (9.4%)44.71·10-3 (10.0%)-62.86·103 (10.1%)16.49·103 (10.0%)000.51.000.51.00.50.50.50.50.50.50.500.1·10326.90·10345.52·1030.11·10328.10·103 (4.1%)47.85·103 (4.3%)0.10·10329.40·103 (4.4%)50.37·103 (4.7%)0.11·10332.42·103 (9.3%)56.19·103 (10.1%)0.51.00.50.5Из приведенных результатов следует, что увеличение продольной силы в двараза при малых значениях (0.05Ткр-0.1Ткр) приводит к изменению прогиба иизгибающего момента в пределах 4-6 % при большей величине продольной силы(0.1Ткр-0.2Ткр) на 8-11%.В таблице 3.9.2 приведены значения прогибамоментовηиηηи изгибающихв характерных точках пластинки находящейся поддействием поперечной нагрузки q ηи сжатой в одном направлении силой Т2.Таблица 3.9.2 - Результаты расчета.ηξ0.5000.51.000.51.00.50.50.50.50.50.50.50Т2=0.0Ткр-30.023·10018.75·10-336.81·10-3-53.24·10313.76·10300.104·103Т2=0.05Ткр-30.021·10019.19·10-3 (2.3%)37.91·10-3 (2.9%)-53.65·103 (0.8%)13.83·103 (0.6%)00.112Т2=0.1Ткр-30.019·10019.52·10-3 (1.7%)38.98·10-3 (2.7%)-53.93·103 (0.6%)13.88·103 (0.4%)00.106Т2=0.2Ткр0.020·10-3020.23·10-3 (4.3%)41.28·10-3 (4.3%)-54.46·103 (4.3%)13.96·103 (4.3%)00.1101020.51.026.90·10345.52·1030.50.527.34·103 (1.6%)46.57·103 (2.3%)27.79·103 (1.6%)47.86·103 (2.7%)28.72·103 (3.2%)50.21·103 (4.4%)При сжатии пластинки нагрузкой Т1 внутренние усилия и деформациибольше чем при сжатии и нагрузкой Т2 примерно на 2 процента.В таблице 3.9.3 приведены значения прогибамоментовηиηηи изгибающихв характерных точках пластинки находящейся поддействием поперечной нагрузки q(ξ,η) и сжатой в двух направлениях силами Т1 иТ2.Таблица 3.9.3 - Результаты расчета.ηξТ1=Т2=0.0ТкрТ1=Т2=0.05ТкрТ1=Т2= 0.1ТкрТ1=Т2=0.2Ткр0.500.023·10-3018.75·10-336.41·10-3-53.24·10313.76·10300.021·10-3019.66·10-3 (4.6%)38.14·10-3 (4.5%)-54.67·103 (2.6%)14.13·103 (2.5%)00.022·10-3020.46·10-3 (3.9%)40.00·10-3 (4.6%)-56.19·103 (2.6%)14.53·103 (2.8%)00.019·10-3022.31·10-3 (8.6%)44.26·10-3 (9.6%)-59.66·103 (5.8%)15.48·103 (6.1%)000.51.000.51.00.50.51.00.50.50.50.50.50.500.50.50.10426.90·10345.52·1030.09527.36·103 (1.7%)46.85·103 (2.6%)010528.45·103 (3.8%)49.16·103 (4.6%)0.09630.96·103 (8.1%)54.43·103 (9.7%)Сравнивая результаты расчета изогнутой и сжато-изогнутой квадратнойпластинки, можно сделать вывод, что наличие продольной силы существенноувеличивает деформации и внутренние усилия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
