Главная » Просмотр файлов » Singularities of bihamiltonian systems and the multidimensional rigid body

Singularities of bihamiltonian systems and the multidimensional rigid body (792482), страница 14

Файл №792482 Singularities of bihamiltonian systems and the multidimensional rigid body (Singularities of bihamiltonian systems and the multidimensional rigid body) 14 страницаSingularities of bihamiltonian systems and the multidimensional rigid body (792482) страница 142019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Byanalyticity, it is non-resonant everywhere.6.18Proof of stability theoremsProof of Theorem 12. Take a regular symplectic leaf O passing through M .The conditions of the theorem imply that the point M has pure elliptic typeon O. Therefore, there exists an integral f such thatf (M ) = 0,d(f |O )(M ) = 0and the Hessian of f |O is positive definite at M.Since O is regular there exists a coordinate system x1 , . . .

xN in the neighborhood of M such thatO = {xi = 0, i = 1, . . . , k}.Now it is easy to see that2f +kXx2ii=1is a Lyapunov function.To prove the instability theorem, we will need the followingLemma 6.18.1 (About unstable cone). Let a vector field v on a manifoldM n vanish at point x0 . Suppose that the linearization of v at x0 has aneigenvalue with a positive real part.

Then there is an open subset K ⊂ M nsuch that1. There exists δ > 0 such that all trajectories starting at K leave Uδ (x0 ).1102. Intersection of K with any open neighbourhood of x0 has non-emptyinterior.Proof of lemma. First suppose that the linearization of v has a real eigenvalue λ > 0. Then we can find a coordinate system x1 , . .

. , xn in the neighbourhood V of x0 such that v has the formẋ1 = λx1 + f (x)...,where f (x) = o(||x||).Let K = {x ∈ V : x1 > 0, ||x|| < ε, |xi | < x1 for all i > 1}, where ε > 0.Obviously, the intersection of K with any open neighbourhood of x0 hasnon-empty interior. We claim that for sufficiently small ε there exists δ > 0such that all trajectories starting at K leave Uδ (x0 ). Indeed, letM = supx∈K|f (x)|.||x||√√Then ẋ1 > λx1 − M nx1 = (λ − M n)x1 .If ε is small, then M is also small and x1 will have exponential growth,q.e.d.The case of a complex eigenvalue is analogous.Corollary 6.18.1.

Let v = sgrad H be a non-resonant integrable Hamiltonian system and x be an equilibrium point of it. Suppose that there exists anintegral f such that sgrad f (x) = 0 and the linearization of sgrad f at x hasan eigenvalue with non-zero real part. Then x is an unstable equilibrium forsgrad H.Proof.

Since the linearization of sgrad f at x has an eigenvalue with nonzero real part, it has an eigenvalue with positive real part. Therefore, we111can find a set K from the lemma. For any ε the intersection Uε (x) ∩ Khas non-empty interior. Therefore, we can find a non-resonant torus passingthrough Uε (x) ∩ K.

The trajectory of sgrad f lies on this torus, therefore thistorus will leave Uδ (x). But since the torus is non-resonant, all trajectoriesof sgrad H are dense on it and will leave Uδ (x) as well. Therefore, x is anunstable equilibrium, q.e.d.Proof of Theorem 13. By Proposition 4.2.3 the following sets of operatorsare equal{Df Pα |Ker Pλ , f ∈ F, df ∈ Ker Pα } = {adξ , ξ ∈ gλ ∩ L},where adξ is the adjoint operator in gλ .Conditions of the theorem imply that for some λ there is ξ ∈ gλ ∩ Lsuch that the operator adξ has an eigenvalue with non-zero real part (see theformulas for the eigenvalues given by Propositions 6.15.2, 6.15.3). Therefore,there exists an integral f such that Df Pα also has such an eigenvalue.

ButDf Pα is dual to the linearization of sgrad f . Now it suffices to apply corollary6.18.1.Now we shall prove that all exotic equilibria are unstable.Proposition 6.18.1. Let M be an exotic equilibrium. Then there exists λsuch that sgrad Hλ 6= 0, where√√1Hλ = − h(J + λE)−1 Ω(J + λE)−1 , M i.2Proof. The vector field sgrad Hλ has the formṀ = [(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 , M ],where ν =√λ.112Suppose that M is an equilibrium point for sgrad Hλ for all λ.

Then0 = [(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 , JΩ + ΩJ] == (J + νE)−1 Ω2 + (J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 Ω(J − νE)−− (J − νE)Ω(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 − Ω2 (J + νE)−1 .Since M is an equilibrium point of the body, Ω2 commutes with J. Therefore,it also commutes with (J + νE)−1 . Consequently,(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 Ω(J − νE) == (J − νE)Ω(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 .But this equality means that the matrix(J + νE)−1 Ω(J + νE)−1 Ω(J − νE)is symmetric. Let us denote by ωij the entries of the matrix Ω. λi are, asusual, diagonal entries of J. Then the symmetry condition can be writtenas:λk − ν X ωij ωjkλi − ν X ωij ωjk=λi + ν j λj + νλk + ν j λj + νfor all i, k.Since all eigenvalues of J are distinct, this impliesX ωij ωjk=0λj + νjfor all i 6= k.This equation should be satisfied for all ν.

But this means thatωij ωjk = 0for all j and all distinct i, k. Therefore, we can bring Ω to the block-diagonalform with two-by-two blocks on the diagonal by permuting basis vectors.113Such a permutation will preserve diagonal form of J. Consequently, M isnot exotic, but regular. Contradiction.Proof of Theorem 14. By the previous Proposition we can find an integral fsuch that sgrad f (M ) 6= 0 for a given exotic equilbrium M . Obviously, thetrajectories of sgrad f leave sufficiently small neighbourhood of M . Therefore, Liouville tori leave this neighbourhood as well. Since our system isnon-resonant, it’s trajectories are dense on most Liouville tori and will alsoleave the neighbourhood, q.e.d.Remark 6.18.1.

We used Proposition 6.18.1 to show that exotic equilibriaare not rank zero singular points. For equilbria not belonging to the set Badthis follows automatically from Theorem 16.Remark 6.18.2. Since sgrad Hλ (M ) 6= 0 for any exotic equilibrium M andsome value λ, exotic equilibria are not isolated on the symplectic leaves ofthe so(n)-bracket, but form smooth families. The dimension of such a familyessentially depends on the sizes of the blocks Ai , entering formula (6.2).114Bibliography[1] V. I. Arnold. Conditions for Nonlinear Stability of the Stationary PlaneCurvilinear Flows of an Ideal Fluid.

Doklady Matamaticheskikh Nauk,162(5):773–777, 1965.[2] V.I. Arnold. Mathematical Methods of Classical Mechanics. SpringerVerlag, 1978.[3] P. Birtea and I. Caşu. Energy methods in the stability problem for theso(4) free rigid body. arXiv:1010.0295v2, 2011.[4] P. Birtea, I. Casu, T. Ratiu, and M. Turhan. Stability of equilibria forthe so(4) free rigid body.

arXiv:0812.3415, 2008.[5] A. V. Bolsinov. Compatible Poisson brackets on Lie algebras and thecompleteness of families of functions in involution. Mathematics of theUSSR-Izvestiya, 38(1):69–90, 1992.[6] A. V. Bolsinov and A. V. Borisov. Compatible Poisson brackets on Liealgebras. Mathematical Notes, 72:10–30, 2002.[7] A.V. Bolsinov and A.T. Fomenko. Integrable Hamiltonian systems. Geometry, Topology and Classification. CRC Press, 2004.115[8] A.V. Bolsinov and A.A.

Oshemkov. Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems. Regular and Chaotic Dynamics, 14:431–454, 2009.[9] I. Caşu.On the stability problem for the so(5) free rigid body.arXiv:1009.2387v2, 2011.[10] J.-P. Dufour and Nguyen Tien Zung. Poisson Structures and TheirNormal Forms (Progress in Mathematics). Birkhauser Basel, 2005.[11] L.

Eliasson. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals. PhD thesis, University of Stockholm, 1984.[12] L. Eliasson. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals - elliptic case. Commentarii Mathematici Helvetici,65:4–35, 1990.[13] Yu.N. Fedorov. Integrable systems, Poisson pencils, and hyperellipticLax pairs. Journal of Mathematical Sciences, 94:1501–1511, 1999.[14] L. Fehér and I. Marshall.

Stability analysis of some integrable Eulerequations for SO(n). J. Nonlinear Math. Phys., 10(3):304–317, 2003.[15] A.T. Fomenko. Morse theory of integrable Hamiltonian systems. Sov.Math., Dokl., 33:502–506, 1986.[16] A.T. Fomenko. The topology of surfaces of constant energy in integrableHamiltonian systems, and obstructions to integrability. Mathematics ofthe USSR-Izvestiya, 29(3):629, 1987.[17] I. M. Gel’fand and I. Ya.

Dorfman. Hamiltonian operators and algebraicstructures related to them. Functional Analysis and Its Applications,13:248–262, 1979.116[18] M.P. Kharlamov and T.I. Pogosian. Bifurcation set and integral manifolds of the problem concerning the motion of a rigid body in a linearforce field. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 43(3):452 –462, 1979.[19] A.A. Kirillov. Lectures on the orbit method. American MathematicalSociety, Providence, 2004.[20] L. M. Lerman and Ya.

L. Umanskij. Structure of the Poisson action ofR2 on a four-dimensional symplectic manifold. I. Selecta Math. Soviet.,6(4):365–396, 1987. Selected translations.[21] L. M. Lerman and Ya. L. Umanskij. The structure of the Poisson action of R2 on a four-dimensional symplectic manifold. II. Selecta Math.Soviet., 7(1):39–48, 1988.[22] L.M. Lerman and Ya.L. Umanskij. Classification of four-dimensionalintegrable Hamiltonian systems and Poisson actions of R2 in extendedneighbourhoods of simple singular points. I. Russian academy of sciences, Sbornik mathematics, 77(2):511–542, 1994.[23] L.M. Lerman and Ya.L.

Umanskij. Classification of four-dimensionalintegrable Hamiltonian systems and Poisson actions of R2 in extendedneighbourhoods of simple singular points. II. Russian academy of sciences, Sbornik mathematics, 78(2):479–506, 1994.[24] L.M. Lerman and Ya.L. Umanskij. Classification of four-dimensional integrable Hamiltonian systems and Poisson actions of R2 in extendedneighbourhoods of simple singular points. III. Realization. Sbornik:mathematics, 186(10):1477–1491, 1995.117[25] F. Magri. A simple model of the integrable Hamiltonian equation.

J.Math. Phys., 19(5):1156–1162, 1978.[26] F. Magri and C. Morosi. A geometrical characterization of integrableHamiltonian systems through the theory of Poisson-Nijenhuis manifolds.University of Milano, 1984.[27] S. V. Manakov. Note on the integration of Euler’s equations of thedynamics of an n-dimensional rigid body.

Functional Analysis and ItsApplications, 10:328–329, 1976.[28] E. Miranda. On symplectic linearization of singular Lagrangian foliations. PhD thesis, Universitat de Barcelona, 2003.[29] A. S. Mishchenko. Integral geodesics of a flow on Lie groups. FunctionalAnalysis and Its Applications, 4:232–235, 1970.[30] A.S. Mishchenko and A.T. Fomenko.Euler equations on finite-dimensional Lie groups. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 12(2):371–389, 1978.[31] C. Morosi and L. Pizzocchero.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,26 Mb
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее