2-317-1399886717-36 (782321)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.Теорема 1. Необходимое условие экстремума.Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), тоf’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.В точке х1 – min; в точке х2 – max.Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x)при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, приэтом 1)если при x0    x  x0 , f ' ( x)  0 , а при x0  x  x0   , f ' ( x)  0то в точке х0 – минимум.

2)если приx0    x  x0 , f ' ( x)  0 , а при x0  x  x0   , f ' ( x)  0то в точке х0 максимум.Доказательство.Докажем 1) f ( x)  f ' ( )(x) .Теорема Лагранжаf ( x)  f ( x0 )  f ' ( )( x  x0 ) . а) Если х-х0>0f ' ( )  0, тоf ( x)  f ( x0 )  f  0 . б) если х-х0<0 и f ' ( )  0, тоf ( x)  f ( x0 )  f  0 , т.епри переходе через точку х0 f не меняет свой знак: f >0, т.е точка х0-точка минимума.и2)Доказательство аналогично.Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причёмf ' ( x0 )  f ' ' ( x0 )  ...

 f ( n1) ( x0 )  0, f ( n) ( x0 )  0. Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, иеслиf ( n) ( x0 )  0  min . f ( n ) ( x0 )  0  max . Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0точка возрастания. Еслиf ( n ) ( x0 )  0и точка убывания,Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существуетминимум,еслиf ( n ) ( x0 )  0 .f ( k ) ( x0 ) , то, если f ( k ) ( x0 ) >0, то в точке х0f ( k ) ( x0 ) <0,то в точке х0 максимум (k=1).Доказательство.Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.f (n) ( x 0 )f (n) ( x 0 )( x  x0 ) n  o( x  x0 ) n или f (x) n  o(x) n знак fn!n!определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак f зависит от знакаf ( x)  f ( x0 ) f ( n) ( x0 )((x) ( n )  0) .

По этому, если f ( n ) ( x0 )  0 то f >0 – минимум. f ( n ) ( x0 )  0 то f <0 –максимум. Если n – нечетное, то знакf зависит от x и f ( n ) ( x0 ) , т.е. при переходе через точкух0 знак f меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.Следствие.f f ''(x0 )(x) 2  o(x) 2 . f’’(x0)>0, f >0 – минимум; f’’(x0)<0, f <0 – максимум.2!.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов решённой задачи