2-315-1399886587-34 (782319)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.Формула Тейлора.Пусть функция y f (x) дифференцируема в точке x 0 , тогда y  x   (x) , гдеy  y  y0 ; x  x  x0 ;   f ' ( x0 );  (x) -бесконечно малая более высокого порядка чем x .y  y 0  f ' ( x0 )( x  x0 )   (x), где P1 ( x)  линейная функция, причем P1 ( x0 )  y 0 .y  P1 ( x)   (x)Можно расписать, чтоy( x)  P1 ( x)  o( x  x0 ) , т.е в окрестности точки x 0 функция f(x) ведетсебя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n,который обладает следующими свойствами:f ( x0 )  Pn ( x0 ), f ' ( x0 )  Pn ' ( x0 ), f ' ' ( x0 )  Pn ' ' ( x0 ), f ( n) ( x0 )  Pn( n) ( x0 )МногочленPn (x) будем писать в видеPn ( x)  a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 ) 2  ...

 a n ( x  x0 )nPn ( x0 )  a 0  f ( x0 )Pn ' ( x0 )  a1  f ' ( x0 )Pn ' ' ( x0 )  a 2  f ' ' ( x0 )Pn ( x0 )  a n  f n ( x0 )nпервые равенства получаются путем дифференцирования формулы дляPn (x) и подстановкиx  x0 . Вторые равенства - это требуемые свойства  an  ( f n ( x0 )) n! .f(x) у которогосуществует производная до n порядка включительно можно найти коэффициентыf ( k ) ( x0 ), k  0,1,2..k!nf ( k ) ( x0 )kМногочлен Pn (x) , a k , P n ( x)   a x ( x  x0 )  многочлен Тейлора для функции f(x).k!k 0rn ( x0 )  f ( x0 )  Pn ( x0 )  0ak rn ( x)  f ( x)  Pn ( x) rn ' ( x0 )  f ' ( x0 )  Pn ' ( x0 )  0ОбозначимrnРассмотрим функцию(n) ( x)  ( x  x0 )n( x0 )  f ( n ) ( x0 )  Pn(n)( x0 )  0и вычислимrn ( x)  0 r ( x)rn ' ( x)rn ' ' ( x)0    lim n lim   limnn1n2x  x0  ( x )x  x0 n ( x  x ) 0  x x0 ( x  x0 ) 0  x x0 n(n  1)( x  x0 )0lim limx  x0rn0 0 ...

 (n)( x) rnn ( x0 )r ( x) 0  lim n 0  rn ( x)  o(( x  x0 ) n )nxx0 (x  x )n!n!0Т.о получимf ( x)  Pn ( x)  o(( x  x0 ) n ) , rn (x)  остаточный член формулы Тейлора.Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу(a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогдаf ( x)  Pn ( x)  o(( x  x0 ) n ) , гдеf ( k ) ( x0 )P n ( x)   a k ( x  x0 ) , a k k!k 0nkЕдинственность многочлена Тейлора.Пусть функция f (x) представлена в окрестности точкиn b x  x  , тогда bk 0kk0kf(k )( x0 )k!x 0 многочлена видаДоказательство.f ( k ) ( x0 )Если f ( x)   a k ( x  x0 ) , где a k её многочлен Тейлора и есть у нас другойk!k 0nknмногочлен bk ( x  x0 ) kk 0nnk 0k 0 ak ( x  x0 )k   bk ( x  x0 )k надо показать, что коэффициентыодинаковыa0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  .....

 an ( x  x0 ) n  b0  b1 ( x  x0 )  b2 ( x  x0 ) 2  .....  bn ( x  x0 ) nПустьx  x0  a0  b0 сократим на x  x0a1  a2 ( x  x0 )  ...  an ( x  x0 ) n1  b1  .....  bn ( x  x0 ) n1 . пусть x  x0  a1  b1 сократим наx  x0 и т.д. an  bn  многочлен Тейлора единственен..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов решённой задачи