15-variant-1-tipovik (781230)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Кривые и поверхности в пространствеВариант 15June 17, 2018Задача 1. : ⃗ = ⃗(, ), , ∈ R.òî÷êàõ 1 , 2 .Íàéòè îñîáûå òî÷êè ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòèóðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè â⃗ = ⃗(, ) = {2 , 2 cos , 4 sin }1 (0, 0, 0), 2 ( 2 , −2, 0)Решение:⎧2⎪⎨ = ⃗ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin ⎛⎞2r̃u = ⎝ 2 cos ⎠4 sin ⎛⎞0r̃v = ⎝ −2 sin ⎠4 cos ⎛⎞20⎝2 cos −2 sin ⎠4 sin 4 cos ⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ −82 cos ⎠−42 sin Îñîáàÿ òî÷êà:(0, 0, 0), = 0, ∀ ∈ R2 ( 2 , −2, 0) :1Ñîñòàâèòü⎧22⎪⎨ = 2 cos = −2 (2)⎪⎩4 sin = 0→ = ±1. = (2) : 2 * cos = −2=2.

= −(2) : −2 * cos = −2⎡ ={︃0 = ,⎢⎢ =⎢{︃⎢⎣ = −,=0 òî÷êå2 :⎛⎞2r̃u = ⎝ −2 ⎠0⎛⎞0r̃v = ⎝ 0 ⎠−4⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ 8 2 ⎠0 = {8 * + 8 2 * = −8 3 }Ответ:Îñîáûå òî÷êè:(0, ), ∀ ∈ R. Òî÷êà 1 - îñîáàÿ2 : = {8 * + 8 2 * = −8 3 }Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé â òî÷êåЗадача 2.Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü âèäà ïîâåðõíîñòè îò îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ (, ). Ñîñòàâèòüóðàâíåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé.Ïîñòðîèòü ïîâåðõíîñòü è êîîðäèíàòíóþ ñåòü íà íåé.Решение:∙ = 0 : {20 , 20 cos , 40 sin }Ýëëèïñ∙ = 0 : {2 , 2 cos 0 , 4 sin 0 }Ïàðàáîëà2Задача 3.Âû÷èñëèòü ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.

Âû÷èñëèòü óãîë ìåæäó êðèâûìè = 2è=â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ.Решение:⎧2⎪⎨ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin 2 = 2 + 2 + 23⎛⎞2r̃u = ⎝ 2 cos ⎠4 sin ⎛⎞0r̃v = ⎝ −2 sin ⎠4 cos = |⃗ |2 = 42 + 4 cos2 + 16 sin2 = 4(2 + 3 sin2 + 1) = ⃗⃗ = −4 cos sin + 16 sin cos = 12 cos sin = 6 sin 2 = |⃗ |2 = 42 sin2 + 162 cos2 = 42 (3 cos2 + 1)2 = 4(2 + 3 sin2 + 1)2 + 12 sin 2 + 42 (3 cos2 + 1) 2(︂)︂ G= (︂Gp =1 : { = }; 2 : { = 2 }1 : ˙ = ˙ = 12 : ˙ = 2; ˙ = 11 (0, 0) è 2 (1, 0) - òî÷êè1 - îñîáàÿ.4(2 + 3 sin2 + 1)6 sin 226 sin 24 (3 cos2 + 1)ïåðåñå÷åíèÿ2 : (︂)︂4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 2 =6 sin 24(3 cos2 1 + 1)4)︂(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 20⃗⃗ * = 1 1= 6 sin 2 + 4(3 cos2 1 + 1)26 sin 24(3 cos 1 + 1)1(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 21⃗⃗ * = 1 1= 4+12 sin2 1+4+12 sin 2+12 cos2 1+26 sin 24(3 cos 1 + 1)14 = 24 + 12 sin 2(︂)︂ (︂ )︂(︀)︀ 4(1 + 3 sin2 1 + 1)6 sin 20⃗⃗ * = 0 1= 4(3 cos2 1 + 1)26 sin 24(3 cos 1 + 1)1cos() =√6 sin 2+4(3 cos2 1+1)√24+12 sin 24(3 cos2 1+1)≈ 0, 819 ≈ 35∘Ответ:2 = 4(2 + 3 sin2 + 1)2 + 12 sin 2 + 42 (3 cos2 + 1) 2 òî÷êå2 (1, 1) : = 35∘Задача 4.Âû÷èñëèòü âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.

Îïðåäåëèòü òèïû òî÷åê ïîâåðõíîñòè.Решение:⎛r̃uu⎞2=⎝ 0 ⎠0⎛r̃vv⎞0= ⎝ −2 cos ⎠−4 sin ⎛r̃uv⎞0= ⎝ −2 sin ⎠4 cos ⎛⎞8r̃u × r̃v = ⎝ −82 cos ⎠−42 sin 5√√√642 + 644 cos2 + 164 sin2 = 2 2|| 32 cos 2 + 52 + 8⎛⎞81⎝−82 cos ⎠= 2√2||√32 cos⃗ = |⃗⃗ ×⃗×⃗ |2+52 +8−42 sin ⎛⎞8√(︀)︀4 212⎝⎠√ 16√√200−8cos=,= = ⃗ *⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +82 2|| 32 cos 2+52 +832 cos 2+52 +82−4 sin ïðè óñëîâèè, ÷òî > 0⎛⎞8(︀)︀10 −2 cos −4 sin ⎝−82 cos ⎠ = = ⃗ * ⃗ = ⃗ * ⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +8−42 sin √ 234 2√ 16√= √32 cos, ïðè óñëîâèè, ÷òî > 02 2|| 32 cos 2+52 +82+52 +8⎛⎞8(︀)︀2 cos sin −162 cos sin 1√0 −2 sin 4 cos ⎝−82 cos ⎠ = 162√2|| = ⃗ *⃗ = 2√2||√32 cos2+52 +832 cos 2+52 +82−4 sin |⃗ × ⃗ | = =0B=√√4 232 cos 2+52 +8det B > 0 ⇒ =√(︂)︂1 00 2ýëëèïòè÷åñêèå òî÷êè.√4 2232 cos 2+52 +8+√√4 22 232 cos 2+52 +8=√√4 2(232 cos 2+52 +8+ 2 2 )Ответ: =√√4 2(232 cos 2+52 +8+ 2 2 )Òî÷êè ýëëèïòè÷åñêèå.Задача 5.Íàéòè ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû â òî÷êàõãàóññîâó êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ1 , 2 .Решение:1- îñîáàÿ òî÷êà.[︃=2 ( 2 , −2, 0) ⇒=61 , 2 .Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ èB=√√ 4 23 2 +5 2 +8(︂)︂1 0=0 2√ 2 2 +1(︂1 00 2)︂(︂ 2)︂4( + 1)0G=016 2 2 det G − ( + − 2 ) + det B = 02+ 16 2 √22 +1 ) +64 2 ( 2 + 1) 2 − (4( 2 + 1) √2 2 +1=(8 2 ( 2 +1)+32 2 )2 2 +11,2 =4 2 2 +1=0222− 4 42 +1 64 ( + 1) ≈ 27066356±1656866*21 ≈ 0, 0142 ≈ 0, 04Ñðåäíÿÿ êðèâèçíà:= +−2 2 det G2+16 2 √ 22 +1 +1128 2 ( 2 +1)4( 2 +1) √22=≈ 0, 027Ãàóññîâà êðèâèçíà:=det Bdet G=4 2 2 +164 2 ( 2 +1)≈ 0, 00056Ïðîâåðêà:=1 +22= 0, 027- âåðíî.

= 1 * 2 = 0, 00056- âåðíî.Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ:(︂ )︂1=0(︂ )︂0=1Задача 6.Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ëèíèé êðèâèçíû, àññèïòîòè÷åñêèõ ëèíèé è ãåîäåçè÷åñêèõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîéïîâåðõíîñòè. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé.Решение:71) Àññèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè: íåò, òàê êàê òî÷êè ýëëèïòè÷åñêèå.2) Ëèíèè êðèâèçíû:⃒ 2⃒⃒˙ −˙ ˙ ˙ 2 ⃒⃒⃒⃒ ⃒=0⃒⃒⃒ ⃒B=√4 2√32 cos 2+52 +8(︂)︂1 00 2⃒⃒⃒⃒˙ 2−˙ ˙˙ 2⃒ 2⃒⃒4( + 3 sin2 + 1) 6 sin 2 42 (3 cos2 + 1)⃒ = 0√√ 2⃒⃒4 2⃒ √ 2 4 2 2⃒√0223 cos 2+5 +83 cos 2+5 +8√32√4 2(˙ 2 (63cos 2+52 +82sin 2) + ˙ (4(˙+ 3 sin2 + 1) − 42 (3 cos2 + 1)) + ˙ 2 (−6 sin 2)) = 02˙ 2 (63 sin 2) + 4˙ (3(sin˙ − 2 cos ) + 1) − 6˙ 2 sin 2 = 03) Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè:⃗˙ ⃗¨ ⃗ = 0⎛⎞2˙⃗˙ = ⎝2˙ cos − 2˙ sin ⎠4˙ sin + 4˙ cos ⎛⎞2˙ 2 + 2¨ cos − 2˙ ˙ sin − 2˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ⎠ =⃗¨ = ⎝ 2¨4¨ sin + 4˙ ˙ cos + 4˙ ˙ cos + 4¨ cos − 4˙ 2 sin ⎛⎞2˙ 2 + 2¨⎝2¨ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ⎠4¨ sin + 8˙ ˙ cos + 4¨ cos − 4˙ 2 sin ⎞⎛81⎝−82 cos ⎠⃗ = 2√2√32 cos2+52 +8−42 sin 1⃗˙ ⃗¨ ⃗ = 2√2√32 cos(2((2¨˙ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos )(−42 sin ) −2+52 +8(4¨ sin +8˙ ˙ cos +4¨ cos −4˙ 2 sin )(−82 cos ))−(2˙ cos −2˙ sin )((−42 sin )(2˙ 2 +2¨)−8(4¨ sin +8˙ ˙ cos +4¨ cos −4˙ 2 sin ))+(4˙ sin +4˙ cos )((2˙ 2 +2¨)(−82 cos )−8(2¨ cos − 4˙ ˙ sin − 2¨ sin − 2˙ 2 cos ))) = 022 2−˙ 3 48 cos sin + ˙ 2 16(˙(1 − 13 cos2 ) + 8) + ˙ ˙ 2 804 sin cos − ¨16˙( (1 + 3 cos2 ) +4) + ¨˙ 642 + ¨˙ 16 cos (4 − 32 sin2 − 9 sin ) + ˙ 3 643 = 0Задача 7.Âû÷èñëèòü êðèâèçíó êðèâîé:=â òî÷êàõÔðåíå.81 , 2 . îäíîé èç òî÷åê ïîñòðîèòü ðåïåðРешение:⎧2⎪⎨ = = 2 cos ⎪⎩ = 4 sin ⎧2⎪⎨⃗ = 2 cos ⎪⎩4 sin ⎛⎞2⃗˙ = ⎝2 cos − 2 sin ⎠4 sin + 4 cos ⎛⎞2⃗¨ = ⎝−4 sin − 2 cos ⎠8 cos − 4 sin √︀|⃗˙ | = 2 2 + (cos − sin )2 + 4(sin + cos )2⎛⎞8(2 + 1)⃗˙ × ⃗¨ = ⎝ 8((2 + 1) sin − cos ) ⎠−4((2 + 1) cos + sin )√︀|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4(2 + 1)2 + ((2 + 1) cos + sin )2 + 4( cos − (2 + 1) sin )2=|⃗˙ ×⃗¨|˙3|⃗|1)⎧ 1 (0, 0, 0):2⎪⎨ = 02 cos = 0⎪⎩4 sin = 0⇒=0cos = 1, sin = 0√√|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4 + 1 = 4 5|⃗˙ | = 2=2)√4 58√=522 ( 2 , −2, 0)⎧22⎪⎨ = ⇒=2 cos = −2⎪⎩4 sin = 0√︀√︀|⃗˙ × ⃗¨| = 4 4( 2 + 1)2 + ( 2 + 1)2 + 4 2 = 4 5( 2 + 1)2 + 4 29√|⃗˙ | = 2 5 2 + 1√2 5( 2 +1)2 +4 2√ = 52 +1(22 +1) ≈ 0, 34Ðåïåð Ôðåíå â òî÷êå⃗ =1 (0, 0, 0) :⃗˙|⃗˙ |⎛ ⎞0˙⃗ = ⎝2⎠0⎛ ⎞ ⎛ ⎞00⃗ = 12 ⎝2⎠ = ⎝1⎠00⃗ =⃗˙ ×⃗¨|⃗˙ ×⃗¨|⎛⎞16⃗˙ × ⃗¨ = ⎝ 0 ⎠−4⎛ ⎞161 ⎝⃗√0 ⎠==4 5−4⃗ = ⃗ × ⃗⃗⃗ = ⎝ 0⎛√45⎛⎞4√1 ⎝ 0 ⎠5−1⎞⃗⃗10 ⎠=0 − √15⎛ ⎞1√1 ⎝0⎠5410.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания