podgotovka_k_ekzamenu_po_matematicheskom u_analizu (773568)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Подготовка к экзамену по математическому анализуОпределения:1. Предел последовательности:2. Предел функции-по Коши:- по Гейне:3. Окрестность и ε-окрестность точки x ∈ R; окрестности +∞, −∞ и ∞4. Сходящайся, ограниченная, возрастающая, убывающая, невозрастающая, неубывающая, монотонная,фундаментальая последовательности.Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — этопоследовательность, ограниченная и сверху, и снизу.Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества, длякоторой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов.

Этот элемент называетсянижней гранью данной последовательности.Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множествачлены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называетсяверхней гранью данной последовательности., всеФундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность,последовательность Коши) — это последовательность элементовметрического пространства, в которойдля любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого изследующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятияфундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.5.

Бесконечно малая и бесконечно большая функции.6. Бесконечно малые функции: одного порядка, несравнимые, эквивалентные. Порядок малости.7. Порядок роста.Пусть f(x) и g(x) — бесконечно большие при x → x0 функции. Говорят, что f(x) имеет порядок роста k посравнению с g(x), если f(x) и (g(x))^k имеют одинаковый порядок роста при x → x0.8. Приращение функции.9. Непрерывная функции в точке (эквивалентные определения).Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности точек {xn} промежуткаI , для которой limn→∞ xn = x0, выполняется равенство limn→∞ f(xn) = f(x0).10.

Непрерывная функция на интервале, на отрезке.11. Точки разрыва: устранимого, I-го рода, II-го рода.12. Наклонная асимптота.13. Производная функции в точке.14. Одностороння (левая или правая) производная функции.15. Дифференцируемая функция.16. Дифференциал первого порядка.17. Производная n-го порядка.18. Дифференциал n-ого порядка.19. Возрастающая, невозрастающая, убывающая, неубывающая, монотонная, строго монотонная функции.20. Строгоий и нестрогий локальный минимумы, максимум, экстремум.21. Стационарная и критическая точки.Точки, в которых производная функции равна нулю, назы- ваются стационарными точками этой функции.Точки, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называютсякритическими точками функ- ции (а также точками, подозрительными на экстремум).22.

Выпуклость (вверх или вниз) графика функции на промежутке, точка перегиба.Теоремы:1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности.3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела.5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве.6. Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.7.

Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций.8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.9. Сформулируйте и докажите теорему о первом замечательном пределе.10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой.11. Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную.12.

Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечно малой.13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знаком предела.14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечномалых.15.

Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разных порядков.16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывныхфункций.17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции.18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестности точки.19.Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывность функции y =sin x.20.

Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке.21. Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точек разрыва.22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.24. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности функции.25,26. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемых функций;сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемых функций.27.

Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.Теорема доказана.28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первого порядка.30. Сформулируйте и докажите теорему Ферма.31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля.32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа.33. Сформулируйте и докажите теорему Коши.34.

Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела отношения двух бесконечно малыхфункций.35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Из последнего равенства следует утверждение теоремы при x > x0. При x < x0 рассужде- ния аналогичны; если x = x0,то утверждение теоремы очевидно. Теорема доказана.37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.38. Выведите формулу Маклорена для функции y = e^x с остаточным членом в форме Лагранжа.39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в форме Лагранжа.40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в форме Лагранжа.41.

Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в форме Лагранжа.42. Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)^α с остаточным членом в форме Лагранжа.43. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемойфункции.44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемойфункции.45. Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.46.

Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции.47. Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной).48. Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной).49. Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции.50.

Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба.51. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)