85329 (763985), страница 2
Текст из файла (страница 2)
По количеству входящих в них цифр многозначные числа делятся на двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д.
П р и м е р ы: 22, 35 и 47 – двузначные числа; 305; 666 и 700 – трехзначные числа; 506 066 – шестизначное число” [ 5 ].
Где здесь определение чисел? Его просто нет. Ни в каком, хотя бы сколько-нибудь приблизительном или описательном виде. Как можно “изучать числа”, не зная, что это такое?
Зато в одном этом параграфе вводится сразу целый букет производных терминов: натуральные числа, счет, натуральный ряд чисел, действия над числами, запись чисел, особые знаки, краткое обозначение чисел, знаки для изображения чисел, цифры, арабские цифры, число нуль, не принадлежащее к натуральным числам и поясняемое метафорой “птицы улетели”, число, записываемое с помощью десяти цифр, цифра, понимаемая как число, число на единицу больше предыдущего, целые числа, целое число нуль, однозначные и многозначные числа, числа в виде нескольких цифр, двузначные, трехзначные и шестизначные числа. И все это практически без пояснений.
Здесь обозначен второй универсальный способ сокрытия незнания: если определение отсутствует, число неопределяемых понятий следует увеличить. Чтобы так сказать “проскочить за дымом”.
Это и есть то, что называется школьной подготовкой, определяющей понимание чисел, к которому в последующих курсах уже больше не возвращаются.
Из этого, к сожалению, не вытекает, что математики знают, что такое число.
Еще цитата:
“Часть первая.
Натуральные числа
Глава 1.
НУМЕРАЦИЯ
§ 1. Счёт
Уже в очень отдаленные времена людям приходилось считать окружающие их предметы: членов своей семьи, домашних животных, оружие, убитых или пойманных на охоте зверей и т.д.
История говорит нам, что первобытные люди умели сначала отличать только один предмет от многих; затем они стали считать до двух и до трех, а все, что было больше трех, обозначали словом “много”.
С течением времени люди овладели счетом на пальцах; если же предметов было больше, чем пальцев у человека, то наши отдаленные предки уже испытывали затруднения.
Для выполнения счета пользовались также различными простыми приспособлениями, например: зарубками на палке, пучками прутиков, камешками и различными бусами. Предметами, которые сосчитывались, было немного, поэтому и счет был не сложный.
Считая эти предметы, люди пришли к понятию числа предметов. Они поняли, что на вопрос, сколько охотник убил зверей, можно ответить, показав пять пальцев своей руки. С другой стороны, если у человека имеется пять стрел, то он тоже может показать пять пальцев.
Таким образом, хотя предметы совершенно различны (звери и стрелы), но их имеется поровну, т.е. стрел столько же, сколько и зверей. Значит, и группе зверей, и пучку стрел соответствует одно и то же число – пять.
Прошло очень много времени, прежде чем люди освоились с большими числами. Они шли от числа один, или единица, к большим числам очень медленно” [ 6 ].
О счете до трех и “много” - это из “Робинзона Крузо”. Но где здесь определение чисел? Или хотя бы более менее вразумительное их описание?
К чему эти исторические фантазии? Что они объясняют? Или без этой выдуманной “истории” числа “не объяснимы”?
И снова куча дополнительных терминов: “нумерация”, “счет”, “один предмет”, “многие”, “два”, “три”, “больше”, приспособления для счета, “пять” пальцев или стрел, “столько же”, “большие числа”. При этом ни одного определения.
Это чисто гуманитарное описание. Образуемое ворохом неопределяемых слов, каждое из которых само по себе почти ничего не значит, но в совокупности “отражающих” разные “стороны” или “грани” рассматриваемого объекта. Создающее общее впечатление или интуитивное понимание, составленное из разнородных признаков.
И на такой рыхлой базе строится основание математики. Справедливо гордящейся логической безупречностью. Это, конечно, правильно, но лишь на позднем, а не на раннем ее этапе. Как и в других старых науках, включая физику.
К этому можно добавить много других примеров, но это уже излишне. Главное состоит в том, что математики не возражают против таких пособий. Значит, считают их допустимыми и, стало быть, правильными.
Что можно извлечь из подобных текстов?
Это конечно “несерьезные” школьные книжки. В дальнейшем, однако, никак не комментируемые или уточняемые. Просто принимаемые за “базу”.
Виды чисел
Не имея определения чисел, т.е. еще не зная, что это такое, математики сразу же переходят к классификации “видов чисел”.
Есть числа натуральные, дробные, относительные, рациональные, иррациональные, комплексные, даже именованные. В сочетании с правилами их использования образуется интуитивное как бы понимание (знание) чисел.
Дроби делятся на “простые” и “десятичные”.
Простая дробь есть два числа, сопоставляемых между собой (числитель и знаменатель). Десятичная дробь есть частный случай и другая форма записи простой дроби, знаменатель которой выражен степенью числа 10.
С точки зрения логики дробь вовсе не является каким-то “новым числом”, т.к. она образована парой чисел, сопоставляемых между собой, притом в определенной последовательности (порядок сопоставления не безразличен: 2/3 не то же самое, что 3/2).
Относительное число есть тоже пара, но образованная уже числом и неравенством (т.е. не числом), сокращенно обозначаемой единой записью, выражающей координату [ 7 ]. Это тоже почему-то считается “числом особого рода”.
Рациональное и иррациональное числа есть выражение “абсолютно точного значения” координаты. Выражаемое тоже дробью, но уже “бесконечной”, в соответствии с определением “точности измерений”. Здесь тоже нет никаких “новых чисел” [ 8 ].
Комплексные числа есть пара чисел, являющихся множителями вектора, одно из которых не вызывает его угловых поворотов, другое же вызывает [ 9 ] .
Их тоже, конечно, можно назвать “числом особого рода”, но с точки зрения логики оснований для этого решительно никаких, кроме разве что экономии терминов, имеющих совершенно не совпадающий смысл.
Так в принципе можно назвать “тоже числом” что угодно, хоть “Войну и мир” Л. Толстого, тоже определяемой парой чисел, например, слов и букв.
А именованные числа есть просто результат измерения разными эталонами. Здесь тоже нет никаких “новых чисел”.
Поэтому определение чисел как наименований ИНС, касающихся наличия ИНО, является всеобщим и полным. Дающим окончательное их понимание. Никаких других чисел, кроме указанных в данном определении, не существует. В математике они называются “натуральными числами”.
Понятие чисел, будучи исходным или первичным, действительно является довольно простым. Однако же не настолько, чтобы считать, что числа и вовсе не требуют или не имеют определений.
Использование одного термина для обозначения логически разнородных понятий, конечно же, затрудняет понимание. Создавая впечатление не существующей глубины, недоступной уму обычного человека. Вызванное простым нарушением логики построения.
Система счисления
Числа являются просто наименованиями ИНС. Поэтому их изучение сводится к разработке способа присвоения наименований. Их может быть всего два – произвольное и непроизвольное присвоения. Причем применяются сразу оба. Образуя комбинированный способ, именуемый системой счисления СС.
В состав ИНС всегда может быть включен один или не один дополнительный ИНО, в свою очередь образующий некоторую ИНС. Различия ИНС, получаемых посредством такого соединения других ИНС, могут быть бесконечны.
Проблемой СС является именно это бесконечное разнообразие ИНС, требующее такого же разнообразия наименований. Теоретически нетрудно вообразить это бесконечное разнообразие. Однако его практическое осуществление невозможно, т.к. такой список не может быть окончен, не то чтобы выучен. Поэтому вся бесконечность различных ИНС должна охватываться конечным набором различных наименований. Возможности памяти тоже ограничены и могут потребовать небольшого числа различных наименований. Поэтому в письменной записи применяется всего лишь десять произвольных наименований: 0, 1, 2, …, 9, хотя их может быть и меньше, например, 0, 1, или больше десяти.
Прочие наименования являются описаниями способа получения ИНС.
Они образуются следующим образом.
Произвольные наименования используются неоднократно для обозначения разных ИНС. Эти ИНС различаются между собой не наличием ИНО, которое при совпадении произвольных наименований, по определению, одинаково, а самими ИНО.
Исходный ИНО является произвольным, все остальные не произвольны и образованы ИНС.
Эти ИНС каждый раз образованы наибольшей из предыдущих ИНС, включающей один дополнительный ИНО.
ИНС 1 рода или ИНС1 есть ИНС, образуемая ИНО 1 рода (ИНО1), который может быть произвольно выбираемым объектом. ИНС1 имеет произвольно задаваемые наименования: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС 2 рода или ИНС2 образована ИНО2, в свою очередь являющимся ИНС1 = 9ИНО1 + 1ИНО1 (“+” означает включение, “=” - тождественность) или ИНО2 = (9 + 1) ИНО1.
ИНС2 имеет те же произвольные наименования, что ИНС1: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС 3 рода (ИНС3) есть ИНС, образованная ИНО3 = (9 + 1) ИНО2. В свою очередь ИНС3 носит те же произвольно задаваемые наименования, что ИНС1, ИНС2: 0, 1, 2, 3, …, 9.
ИНС4 есть ИНС, образованная ИНО4 = (9 + 1) ИНО3, и т.д.
Таким образом, используя всего 10 исходных произвольных наименований, относящихся к разным ИНС1, ИНС2 и т.д. можно получить сколько угодно составных наименований произвольно задаваемым ИНС, различаемым между собой.
Итак, кроме произвольных наименований в пределах от 0 до 9 имеются составные наименования.
Составные наименования является описаниями способа получения ИНС.
Арифметическое действие
Одна и та же ИНС может быть получена разными способами, имея при этом разные описания.
Например, 7 + 5 или 12. В первом случае ИНС получена объединением ИНС1= 7 ИНО1 с ИНС1 = 5 ИНО1, а во втором - объединением ИНС2 = 1 ИНО2 с ИНС1 = 2 ИНО1.
В итоге одна и та же ИНС имеет разные описания, определяемые способом ее получения. Что и выражается равенством: ИНС = 7 + 5 = 12.
В зависимости от способа ее получения, любая ИНС может иметь не одно, а множество разных описаний.
Как опознать такую ИНС, имеющую разные описания, используемые в качестве наименований?
Ответ такой: из всех возможных только одно описание принимается в качестве стандартного описания. По которому только ИНС и опознается. Все прочие описания являются нестандартными. Они могут свободно использоваться для описания фактического способа получения ИНС. Однако при этом сама ИНС считается не опознанной. Для ее опознания необходимо выполнить переход от произвольного нестандартного описания, к стандартному описанию.
Такой переход от нестандартного описания к стандартному называется арифметическим действием.
Это относится к любому действию - сложению, вычитанию, умножению, делению, возведению в степень или извлечению корня. Хотя одни из них и могут формально определяться через другие, например, вычитание – как действие, обратное сложению. Но первое, которое, по мнению математика, “не может быть определено формально”, - согласно указанному определению.
Стандартное описание
Стандартное описание составляется по следующим правилам:
Произвольные наименования ИНС1, ИНС2, ИНС3 и т.д. располагаются в определенной последовательности - справа налево.
При наличии ИНС, образованной ИНО2, ИНО3 и т.д. все ИНС, образованные предыдущими ИНО должны быть указаны.
Крайняя левая ИНС не может быть равна нулю.
ИНС, образованная только одной ИНС1, может быть равна нулю.
Каждая ИНС1, ИНС2 и т.д. может использоваться в описании однократно.
Каждая ИНС1, ИНС2 и т.д. может входить в состав описания ИНС посредством только одного действия – включения, выражаемого знаком “+”.
Только лишь в этом случае обозначения всех ИНО1, ИНО2, …, образующих описание ИНС, могут быть опущены вместе со знаками их включения в состав задаваемой ИНС без нарушения ее понимания.
Нестандартные описания
Прочие описания ИНС, задающие различные способы ее получения, являются нестандартными. Они выражаются арифметическими действиями вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Или сложения, в случае, если какая-нибудь ИНС1, ИНС2 и т.д. использована в описании более одного раза.
Для опознания ИНС любое нестандартное описание должно быть приведено к стандартному описанию, выражаемому через произвольные наименования ИНС1, ИНС2 и т.д. В этом и состоит смысл арифметических действий.
Поясняющие примеры
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
