85268 (763978), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(x – λ1)(x – λ2)(x – λ3)(x – λ4) = 0;
то есть
(x – 1 – √2 – √3)(x – 1 + √2 – √3)×
(x – 1 – √2 + √3)(x – 1 + √2 + √3) = 0;
после преобразований получаем
((x – 1)2 – 5 – 2√6)·((x – 1)2 – 5 + 2√6) = 0,
(x2 – 2x – 4)2 – 24 = 0,
x4 – 4x3 – 4x2 – 16x – 8 = 0.
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
(qn; rn; sn; tn) → (qn+1; rn+1; sn+1; tn+1)
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем λ1 = 1 + √2 + √3. Попробуйте это доказать!
Алгебраическое послесловие
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи — «сопряжённые числа» — с чисто алгебраической точки зрения.
Предположим, что у нас есть множество P чисел (или выражений с буквами, или ещё каких-то элементов), с которыми можно выполнять четыре действия арифметики с соблюдением обычных арифметических правил. Такое множество называется полем; поля образуют, например, рациональные и действительные числа. Если в поле P не разрешимо, скажем, уравнение x2 – d = 0, то можно расширить его, рассматривая элементы вида p + q√d, где p, q P, a √d — новый символ, который при умножении сам на себя дает d, т.е. √d·√d = d, так что
(p + q√d)·(p' + q'√d) = (pp' + qq'd) + (pq' + qp')√d.
При d = –1 расширением поля вещественных чисел получаются комплексные числа.
В новом поле P1 — «квадратичном расширении» поля P — есть интересное отображение λ = p + q√d → λ = p – q√d (своеобразная «алгебраическая симметрия»), называемое сопряжением, с такими свойствами:
Все элементы старого поля P переходят в себя;
Все равенства, содержащие арифметические операции, при этом отображении сохраняются:
| λ + μ = λ + μ; λ · μ = λ · μ; | (10) |
Это отображение является частным случаем так называемых автоморфизмов Галуа расширения P1 поля P.
В задачах 8 и 9 мы видели пример «двукратного» расширения — присоединения √2 и затем √3, — в результате которого получилось поле с бо́льшим количеством автоморфизмов Галуа: кроме тождественного отображения, их уже три
(√2 → –√2, √3 → √3;
√2 → √2, √3 → –√3;
√2 → –√2, √3 → –√3),
и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника.
Оказывается, к основному полю можно присоединять корни любого алгебраического уравнения. Автоморфизмы возникающего нового поля — предмет одной из красивейших ветвей алгебры XIX–XX века, теории Галуа, которая позволяет, в частности, исследовать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах ([13], [14]).
Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы.
Упражнения
| 1. | Что больше: √1979 + √1980 или √1978 + √1981? | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. | Докажите, что при всех положительных x
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. | Постройте график функции y = √x² – 1 и докажите, что при | x| ≥ 1
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. | В формуле √2 = 1 + 1/(√2 + 1) заменим √2, стоящий в знаменателе правой части, по той же формуле:
В этой формуле снова заменим нижний √2 на 1 + 1/(√2 + 1), и т.д. n раз. Если теперь нижний корень заменить на 1 или на 2, мы получим два рациональных числа pn, qn. Докажите, что √2 лежит между ними и lim pn = lim qn = √2. (Не встречались ли мы с этими числами в одной из задач?) | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. | Докажите, что уравнения а) x2 – 3y2 = 1, б) x2 – 3y2 = 2 имеют бесконечное множество решений в целых числах. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. | Докажите, что функция y = ln (√x² + 1 + x) — нечётная, и постройте её график. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. | а) Докажите, что для любого натурального n
б) Докажите, что последовательность
убывает и стремится к пределу. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 8. | а) Докажите, что последовательность {(2 + √3)n} сходится, и найдите её предел. б) Каковы первые 100 десятичных знаков после запятой в записи числа (√50 + 7)100? | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 9. | Докажите, что для любого натурального d, не являющегося полным квадратом, найдётся такое α, что для любых m и n
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 10. | Докажите, что при любом натуральном n число [(35 + √1157)n/2n] делится на 17, и вообще для любых натуральных k и n число [(2k + 1 + √4k² + 1)n/2n] делится на k. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 11. | Докажите, что для любого числа p>2 найдётся такое число β, что для каждого n справедлива формула (в левой части n вложенных радикалов)
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 12. | Докажите, что последовательность bm = 1 + 17m2 содержит бесконечно много квадратов целых чисел. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 13. | Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого (3 + √5)/4. | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 14. | Составьте уравнение 4-й степени с корнями ±√p ± √q и решите его, как биквадратное уравнение. Сравнивая ответ с данными корнями, докажите популярные формулы для двойных радикалов:
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 15. | Освободитесь от иррациональности в знаменателе:
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| 16. | Лягушка может прыгнуть из каждой вершины правильного треугольника ABC в любую из двух других вершин. Найдите число an способов, которым она может совершить прогулку из n прыжков, начинающуюся и заканчивающуюся в вершине A. Докажите, что существует предел lim an+1/an, и найдите его. | ||||||||||||||||||||||||||||||
Список литературы
Л. Курляндчик, А. Лисицкий. «Суммы и произведения» («Квант», 1978, № 10).
Второе решение задачи М514 («Квант», 1979, № 5, с. 26).
Р. Нивен. «Числа рациональные и иррациональные» (М., «Мир», 1966).
Д. Фукс, М. Фукс. «О наилучших приближениях» («Квант», 1971, № 6, № 11) и «Рациональные приближения и трансцендентность» («Квант», 1973, № 1).
Н. Васильев, В. Гутенмахер. «Прямые и кривые» (М., «Наука», 1978), с. 103–105.
А. Н. Маркушевич. «Ряды» (М., «Наука», 1979).
Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly (М., «Мир», 1977), с. 560–561.
Л. Курляндчик, Г. Розенблюм. «Метод бесконечного спуска» («Квант», 1978, № 1).
В. Березин. «Филлотаксис и последовательность Фибоначчи», («Квант», 1979, № 5, с. 53).
Н. Н. Воробьев. «Числа Фибоначчи» (Популярные лекции по математике, вып. 6) (М., «Наука», 1978).
А. И. Маркушевич. «Возвратные последовательности» (Популярные лекции но математике, вып. 1) (М., «Наука», 1978).
Л. И. Головина. «Линейная алгебра и некоторые её приложения» (М., «Наука», 1979).
М. М. Постников. «Теория Галуа» (М., Физматгиз, 1963).
Ван-дер-Варден. «Алгебра» (М., «Наука», 1976).
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ega-math.narod.ru/
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
