EMM1 (743451), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ГЛАВА 4. Компонентный анализ.

Оценка Тренда.

Тренд - это некоторая функция времени. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

Обычно полученная траектория связывается исключительно со временем. Предполагается, что рассматривая любое явление как функцию времени, можно выразить влияние всех остальных факторов. Механизм их влияния в явном виде не учитывается. Исходя из вышесказанного под трендом понимается регрессия на время. Более общее понятие тренда весьма удобное на практике, - это детерминированная составляющая динамики развития, определяемая влиянием постоянно действующих факторов. Отклонения от тренда являются случайной составляющей.

Оценка тренда возможна на основе двух подходов:

• оценка на основе гладких функций х = f(x); (параметрические методы)

• на основе разного рода скользящих средних (непараметрические методы)

Я оценивала тренд методом вторых разностей.

X - 0.000-1.00*X(t-1); X-0.000-1.00*x(t-1)

Удаление Тренда

Иногда из некоторых временных рядов нужно удалить линейный ил медленно меняющийся тренд . Такого рода тренды наблюдаются в рядах, например, при суммировании одной или нескольких компонент, приводящим к ошибкам двух типов. Во-первых при неправильной калибровке нулевой точки каждый момент отбора данных будет возникать небольшая ошибка. После суммирования эта постоянная величина даст прямую. Такой линейный тренд может привести к большим ошибкам при определении плотности спектра мощности и в связанных с этим вычислениях . Ошибка второго типа возникает из-за возрастания в процессе суммирования мощности, соответствующей низкочастотному шуму. Как правило такой шум в данных всегда есть. При суммировании он обретает форму случайного, но медленно меняющегося тренда. Насколько быстро меняется такой тренд, до некоторой степени зависит от интервала квантования.

Наилучшим способом удаления тренда служит применение высокочастотных фильтров. Полимиальный тренд можно удалять методом наименьших квадратов. Если требуется удаление многочленов только низких порядков, то решение соответствующей системы методом обратной матрицы можно свести к непосредственному вычислению коэффициентов с использованием памяти ЭВМ.

После того как удалили тренд, то получили стационарный ряд.

На графике можно увидеть остатки после удаления тренда.

Стационарный ряд выглядит как не совсем регулярные колебания, около некоторого среднего уровня.

Стационарный случайный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, называемых гармониками.

Функция, описывающая распределение амплитуд этого процесса по различным частотам, называется спектральной плотностью. График называется спектром.

Спектр (периодическая шкала).

Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура.

Стационарная случайная функция Х(t) может быть представлена ввиде канонического разложения:

¥

X(t) = å (UkCOSWkT + VkSINWkT)

k=0

где Uk,Vk - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями, т.е.

D(Uk) = D(Vk ) = Dk.

Такое разложение называется спектральным разложением стационарного случайного процесса X = Х(t). Спектр стационарной случайной функции описывает распределение дисперсий по различным частотам.

Дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения.

Отсюда делаем вывод, что дисперсия величины Х(t) определенным образом распределена по различным частотам: одним частотам соответствует большая дисперсия, другим - меньшая дисперсия.

Функция x(w) = Dk/W называется спектральной плотностью дисперсии или спектральной плотностью стационарной случайной функци Х(t).

При анализе временных рядов применяется спектральный анализ стационарных случайных функций.

Целью спектрального анализа временных рядов является оценка спектра ряда. Спектром временного ряда, является разложение дисперсии ряда по частотам для определения существенных гармонических составляющих.

Значение спектра оценивается по формуле:

m

f (Wj ) = 1/2p {hoco+ 2 å hk ck cos Wj k }

k=1

где Wj - частоты, для которых оцениваются спектры:

Wj =p j/ ; j = 1,2,...m;

где ck - автоковариационная функция;

hk - специально подобранные веса значений ковариационной функции,

зависящие от частоты m;

hk - еще называют кореляционным окном;

m - целое число называемое точкой усечения или числом

используемых сдвигов и представляющее собой число частотных

полос, для которых оценивается спектр.

Чем больше m , тем больше точек оцениваемого спектра, а следовательно, и больше дисперсия оценки в каждой точке.

Чем меньше m, тем лучше оценка.

Величина m зависит от длины временного ряда.

На графике где изображен спектр можно проследить возрастание и убывание спектра, на графике также можно наблюдать пики т.е. отклонения от тренда.

Но также исходя из этого, можно увидеть что временной ряд не имеет периодичности, т. е. нет исходных повторяющихся особенностей ряда.

Кроме того, спектральный анализ можно еще рассмотреть путем изучения сезонных колебаний. Это бы позволило выявить периодические составляющие исследуемого ряда с целью повышения точности прогнозирования.

В данной работе удаление сезонной компоненты не представляет возможности, так как исследуемый ряд не имеет сезонности.

Характеристики

Список файлов реферата