Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 27.12.2000

Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных»

Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби , находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид:

Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.

Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты

тоже будут константы, поскольку

Выражая из уравнения координаты в виде функций от , мы и получим закон движения:

Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.

Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:

1. составить функцию Гамильтона;

2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;

3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;

4. Составить систему s уравнений , и получить закон движения ;

5. По необходимости найти закон изменения импульсов: . Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам , а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

Примеры решения задач

На прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки в поле?

№9.22 [3] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки.

Решение:

1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в декартовых координатах примет вид:

2. Соответственно уравнение Г.-Я.:

3. Все переменные в этом уравнении разделяются. Здесь . Разделение переменных позволяет нам представить действие в виде суммы:

Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого слагаемого в квадратных скобках уравнения . Слагаемое может меняться, а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое есть константа.

Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.:

Заметим, что в выражении полного интеграла уже содержится три константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в действие только аддитивным образом и не играет существенной роли. Соответственно функция не должна содержать более констант. Полученная при интегрировании этой части действия константа будет выражаться через уже имеющиеся три. Поэтому вид функции определим, подставив действие в виде в уравнение Г.-Я. :

Интегрирование последнего уравнения приводит к функции:

Окончательно полный интеграл:

4. Отсюда на основании теоремы Якоби:

Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения.

Далее найдем, что компоненты – сохраняются:

В частности, при нулевых значениях движение происходит по прямой вдоль оси Oz.

Найдем также компоненту , как функцию координат:

№9.24 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и закон его движения в квадратуре.

Решение:

1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями.

1. Записать вид функции Гамильтона в полярных координатах:

Но поскольку длина стержня мат. маятника – величина постоянная, то , а функция Гамильтона примет вид:

2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона, который будет совпадать с представлением . Предлагается учащимся убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания.

2. Запишем уравнение Г.-Я.:

3. И время t и координата  – разделяются. Следовательно, полный интеграл имеет вид:

Подставляя его в уравнение Г.-Я. получим вид функции :

На основании теоремы Якоби найдем закон движения маятника:

или

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.

6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

4

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов реферата