149516 (731795), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Рівняння (7) можна представити і в іншій формі, поділивши обидві частини на відповідний проміжок часу [pic]. Тоді:
[pic], (9) тобто похідна механічної енергії системи по часу дорівнює алгебраїчній сумі потужностей всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.
Рівняння (7)-(9) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системах відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно врахувати роботу (потужність) і сил інерції, які відіграють роль зовнішніх сил, тобто під [pic] слід розуміти алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил взаємодії [pic] і роботу сил інерції [pic]. Щоб підкреслити цю обстановку, перепишемо рівняння (8) у вигляді:
[pic]. (10)
Отже, ми прийшли до важливого висновку: механічна енергія системи може змінюватися під дією як зовнішніх сил, так і внутрішніх дисипативних сил (тобто під дією алгебраїчної суми робіт всіх цих сил). Звідси, безпосередньо, випливає і другий важливий висновок – закон збереження механічної енергії: в інерціальній системі відліку механічна енергія замкнутої системи частинок, в якій немає дисипативних сил, зберігається в процесі руху, тобто:
[pic]. (11)
Таку систему називають консервативною. Зауважимо, що при русі замкнутої консервативної системи зберігається саме повна механічна енергія, а кінетична і потенціальна в загальному випадку змінюються. Однак ці зміни відбуваються завжди так, що приріст однієї з них дорівнює спаду іншої, тобто [pic]. Зрозуміло, що це положення справедливе в інерціальних системах відліку.
Далі, з рівняння (8) випливає, що якщо замкнута система неконсервативна, тобто в ній присутні дисипативні сили, то механічна енергія такої системи спадає:
[pic]. (12)
Можна сказати: зменшення механічної енергії зумовлене тим, що вона витрачається на роботу проти дисипативних сил, які діють в системі. Однак таке пояснення є формальним, оскільки воно не розкриває фізичної природи дисипативних сил.
Більш глибоке осмислення цього питання привело до фундаментального висновку про існування в природі універсального закону збереження енергії: енергія ніколи не виникає і не зникає, вона може лише переходити з однієї форми в іншу, або обмінюватися між окремими частинами матерії.
При цьому поняття енергії довелось розширити введенням нових форм її – енергія електромагнітного поля, хімічна енергія, ядерна енергія та ін.
Універсальний закон збереження енергії охоплює, таким чином, і ті фізичні явища, на які закони Ньютона не поширюються, Тому він не може бути виведеним із цих законів, а повинен розглядатися як самостійний закон, який представляє собою одне із найбільш широких узагальнень дослідних фактів.
Повертаючись до рівняння (12), можна сказати: при зменшенні механічної енергії замкнутої системи завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів, які не пов’язані з видимим рухом, в цьому розумінні рівняння (7)-(9) можна розглядати як більш загальне формування закону збереження енергії, в якому вказана причина зміни механічної енергії в незамкнутій системі.
Механічна енергія може зберігатися й у незамкнутих системах, але це відбувається лише в тих випадках, коли згідно з рівнянням (8) зменшення цієї енергії за рахунок роботи проти внутрішніх дисипативних сил компенсується надходженням енергії за рахунок роботи зовнішніх сил.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.
8 Імпульс частинки.
Досвід і відповідний аналіз механічних уявлень показують, що для характеристики механічного руху тіл крім кінетичної енергії [pic] необхідно ввести ще одну величину – імпульс [pic]. Ці дві величини є основними вимірами механічного руху тіл: перша – скалярна, друга – векторна. Обидві вони відіграють центральну роль при побудові механіки.
Перейдемо до більш детального вивчення імпульсу. Перш за все запишемо основне рівняння динаміки Ньютона через імпульс:
[pic], (13) тобто похідна імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює діючій на неї силі. В частинному випадку, коли [pic], то [pic].
Зауважимо, що в неінерціальній системі відліку сила [pic] включає в себе не тільки сили взаємодії даної частинки з іншими тілами, але і сили інерції.
Рівняння (13) дозволяє знайти приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу, якщо відома залежність сили [pic] від часу. Дійсно, з (13) випливає, що елементарний приріст імпульсу частинки за проміжок часу [pic] є [pic]. Проінтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо приріст імпульсу частинки за скінченний проміжок часу [pic]:
[pic].
Якщо сила [pic], то вектор [pic] можна винести з-під інтеграла і тоді [pic]. Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом сили. Таким чином, приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той же час.
Імпульс системи.
Розглянемо довільну систему частинок. Введемо поняття імпульсу системи як векторну суму імпульсів її окремих частинок:
[pic], (14) де [pic] – імпульс [pic]-тої частинки. Зазначимо, що імпульс системи – величина адитивна, тобто імпульс системи дорівнює сумі імпульсів її окремих частин незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.
Знайдемо фізичну величину, яка визначає зміну імпульсу системи. Для цього продиференціюємо рівняння (14) по часу:
[pic], але [pic], де [pic] – сила, що діє на матеріальну точку. Тоді:
[pic], де [pic] - сили, що діють на [pic]-ту частинку збоку інших частинок системи (внутрішні сили); [pic] – сила, що діє на цю ж частинку збоку інших тіл, які не входять в розглядувану систему (зовнішні сили). Підставивши останній вираз в попередній, отримаємо:
[pic].
Подвійна сума справа – це сума всіх внутрішніх сил. Відповідно до третього закону Ньютона сили взаємодії між частинками системи попарно однакові по модулю і протилежні за напрямком. Тому результуюча сила в кожній парі взаємодії дорівнює нулю, а тому дорівнює нулю і векторна сума всіх внутрішніх сил. В результаті рівняння прийме вигляд:
[pic], (15) де [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил, [pic].
Рівняння (15) означає: похідна імпульсу системи по часу дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на частинки системи.
Із рівняння (15) випливає, що приріст імпульсу системи за скінчений проміжок часу [pic] буде:
[pic], (16) тобто приріст імпульсу системи дорівнює імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил.
Рівняння (15) і (16) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системі відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно враховувати і дію сил інерції, що відіграють роль зовнішніх сил.
Закон збереження імпульсу.
Застосування другого та третього законів динаміки до системи, яка складається із декількох взаємодіючих тіл, приводить до дуже важливих висновків, з яких випливає закон збереження імпульсу.
Розглянемо систему, яка складається з [pic] частинок (матеріальних точок). Позначимо через [pic] силу, з якою [pic]-та частинка діє на [pic]- ту (перший індекс вказує на номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, взаємодією якої обумовлена ця сила). Символом [pic] позначимо результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на [pic]-ту частинку. Напишемо рівняння руху всіх [pic] частинок:
[pic],
[pic],
...
[pic] [pic],
...
[pic] [pic],
([pic] – імпульс [pic]-тої частинки).
Додамо всі ці рівняння. Зліва отримаємо похідну по часу від сумарного імпульсу системи:
[pic].
Справа відмінною від нуля буде лише сума зовнішніх сил [pic]. Дійсно, суму зовнішніх сил можна представити у вигляді:
[pic].
Згідно з третім законом Ньютона кожна із дужок буде дорівнювати нулю. Відповідно, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю:
[pic].
Тоді отримаємо:
[pic].
Таким чином, похідна по часу від сумарного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, які діють на тіла системи.
Якщо система замкнута, зовнішні сили відсутні і права частина останнього рівняння дорівнює нулю. Тому відповідно [pic], а звідси випливає, що [pic].
Таким чином, ми прийшли до важливого висновку, а саме – закону збереження імпульсу: в інерціальній системі відліку імпульс замкнутої системи частинок залишається постійним, тобто не змінюється з часом.
При цьому імпульси окремих частинок замкнутої системи можуть змінюватися. Однак ці зміни завжди відбуваються так, що приріст імпульсу однієї частини системи дорівнює спаданню імпульсу частини системи, що залишилась. Іншими словами, окремі частини замкнутої системи можуть лише обмінюватися імпульсами. Спостерігаючи в деякій системі приріст імпульсу, ми можемо стверджувати, що цей приріст відбувся за рахунок спаду імпульсу в оточуючих тілах.
В цьому розумінні рівняння (15) і (16) слід розглядати як більш загальне формулювання закону збереження імпульсу, в якому вказана причина зміни імпульсу в незамкнутій системі – дія інших тіл (зовнішніх сил). Вище сказане, зрозуміло, справедливе по відношенню до інерціальних систем відліку.
Імпульс може зберігатися і в незамкненій системі при умові, що результуюча всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. Це безпосередньо витікає з рівнянь (15) і (16). У практичному відношенні збереження імпульсу в цих випадках являє особливий інтерес, тому що дає можливість отримувати досить простим шляхом ряд свідчень про поведінку системи, не заглиблюючись в детальний розгляд процесу.
У незамкнутій систему може зберігатися не сам імпульс, а його проекція [pic] на деякий напрям [pic]. Це буває тоді, коли проекція результуючої зовнішньої сили [pic] на напрямок [pic] дорівнює нулю, тобто вектор [pic] перпендикулярний йому. Дійсно, спроектувавши рівняння (15), отримаємо:
[pic], звідки випливає, що якщо [pic], то [pic].
В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, тобто однаковість властивостей простору в усіх точках. Паралельне перенесення замкнутої системи з одного місця в інше без зміни взаємного розташування і швидкостей частинок не змінює механічних властивостей системи. Поведінка системи на новому місці буде такою ж, якою вона була на минулому місці.
Роздуми, які привели нас до закону збереження імпульсу, цілком спиралися на справедливість законів Ньютона. Вважалося, що матеріальні точки замкнутої системи взаємодіють між собою попарно і ця взаємодія підкоряється третьому закону Ньютона.
А що відбувається у випадку систем, які не підкоряються законам Ньютона, наприклад в системах з електромагнітним випромінюванням?
Відповідь на це запитання дає досвід, який показує, що закон збереження імпульсу виявляється справедливим і для таких систем. Однак в цих випадках в загальному балансі імпульсу необхідно враховувати не лише імпульси частинок, але й імпульс, яким володіє саме поле випромінювання.
Таким чином, досвід показує, що закон збереження імпульсу являє собою фундаментальний закон природи, який не знає жодних винятків. Але в такому широкому розумінні він вже не є наслідком законів Ньютона, а повинен розглядатися як самостійний загальний принцип, що є узагальненням фактів.
ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ
12 Момент імпульсу частинки.
Аналіз поведінки систем показує, що крім енергії та імпульсу існує ще одна механічна величина, з якою також пов’язаний закон збереження – це момент імпульсу . що це за величина і які її властивості? |[pic] |[pic] | |Рис. 1 |Рис. 2 |
Візьмемо спочатку одну частинку. Нехай [pic][pic] – радіус-вектор, який характеризує її положення відносно деякої точки [pic] вибраної системи відліку, а [pic] – її імпульс в цій системі (рис. 1). Момент імпульсу [pic] матеріальної точки відносно деякої точки [pic] називається векторний добуток радіус-вектора [pic] на її імпульс [pic]:
[pic]. (17)
Модуль цієї величини, що дорівнює [pic], можна представити у вигляді добутку плеча [pic] імпульсу на модуль вектора [pic]:
[pic].
Частинка володіє моментом імпульсу незалежно від форми траєкторії, по якій вона рухається. Розглянемо два випадки. |[pic] | |Рис. 3 |
Частинка рухається вздовж прямолінійної траєкторії (рис. 3). Модуль моменту імпульсу [pic] може змінюватися тільки за рахунок зміни модуля швидкості. |[pic] | |Рис. 4 |
Частинка рухається по колу радіуса [pic] (рис. 4). Модуль моменту імпульсу відносно центру кола дорівнює [pic] і так само, як і в попередньому випадку, може змінюватися лише за рахунок зміни модуля швидкості. Не дивлячись на неперервну зміну напряму вектора [pic], напрям вектора [pic] залишається постійним.
Рівняння моментів.
З’ясуємо яка механічна величина відповідає за зміну вектора [pic] в даній системі відліку. Для цього продиференціюємо рівняння (17) по часу:
[pic].
Оскільки точка [pic] є нерухомою, то вектор [pic] дорівнює швидкості [pic] частинки, тобто співпадає за напрямком з вектором [pic], тому:
[pic].
Далі, згідно з другим законом Ньютона, [pic], де [pic] – рівнодійна всіх сил, які прикладені до частинки. Відповідно:
[pic].
Величину, що стоїть в правій частині цього рівняння, називають моментом сили [pic] відносно точки [pic] (рис. 2). Позначивши його буквою [pic], запишемо:
[pic].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
