138278 (724338), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Невозможно не упомянуть здесь также о возводимой обычно к Канту идее об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики с созерцанием времени. В самом деле, у Канта читаем: “Геометрия кладет в основу чистое созерцание пространства. Арифметика создает понятия своих чисел последовательным прибавлением единиц во времени” [11, т.4, с.38]. Это место действительно провоцирует такое понимание: как геометрия связана с пространством, так арифметика со временем. Именно так воспринимает это место Шопенгауэр: “На связи частей времени основано исчисление, слова в нем служат лишь для того, чтобы отмечать отдельные шаги последовательности; следовательно, на этой связи основана и арифметика, которая учит только методическому сокращению исчисления”. “Так же на связи положения частей пространства основана вся геометрия” [36, т.1, с.104]. Шопенгауэр не слишком хорошо разбирался в математике, однако эту же идею подхватывает такой крупный математик как В.Р.Гамильтон, в 1833 г. выпустивший “an elementary essay on Algebra as the Science of pure time” [13, с.206], впрочем, вынужденный признать, что уже введение вычитания требует пространственных представлений. Интересно, что более внимательное знакомство с Кантом убеждает, что никакого противопоставления арифметики, как опирающейся исключительно на созерцание времени, и геометрии, - как опирающейся исключительно на созерцание пространства, им не производится. Никакого представления пространства, свободного от представления времени быть не может: “время есть априорное формальное условие всех явлений вообще” [11, т.3, с.73]. Не может быть и представления времени, свободного от представления пространства - выше мы уже цитировали одно из мест первой Критики, где эта мысль высказывается, кроме того, можно указать на черновые заметки Канта специально развивающие эту мысль [11, т.8, с.651]. Мы всегда имеем дело с пространственно-временным комплексом представлений, который лежит в основании, как арифметики, так и геометрии, хотя акценты и могут расставляться различно. Подлинное же различие геометрии от арифметики и алгебры в типе конструирования - остенсивном в первом случае и символическом - во втором.

На ошибочность представления об особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики - с созерцанием времени, указывал Шпенглер. Однако он полагал, что эту ошибку совершил и сам Кант. “Колоссальной по своим последствиям - писал Шпенглер - и до сего дня еще не преодоленной ошибкой Канта было то, что он совершенно схематически установил связь внешнего и внутреннего человека с многозначными и, главное, не стабильными понятиями пространства и времени и тем самым совершенно ложным образом связал геометрию и арифметику, вместо которых здесь должна быть хотя бы упомянута более глубокая противоположность математического и хронологического числа. Арифметика и геометрия обе суть счисления пространства и в высших своих областях вообще не подлежат различению. Счисление времени, интуитивно вполне понятное наивному человеку, отвечает на вопрос “когда”, а не на вопрос “что” или “сколько” “ [37, с.132]. “Каждую логическую операцию - пишет Шпенглер далее - можно нарисовать. Каждая система есть геометрический способ обращения с мыслями. Оттого время лишено места в “системе” или падает жертвой ее метода. Тем самым опровергается и повсеместно распространенное недоразумение, поверхностным образом связующее время с арифметикой, а пространство с геометрией, заблуждение, которому не должен был бы подпасть Кант, хотя едва ли следовало ожидать чего-либо иного от Шопенгауэра с его непониманием математики. Поскольку живой акт счисления как-то соотносится со временем, число и время постоянно смешивали друг с другом. Но счисление не есть число, как рисование не есть рисунок. Счисление и рисование суть становление, числа и фигуры - ставшее. Кант и другие имели в виду в одном случае живой акт (счисление), а в другом - его результат (пропорции готовых фигур). Но одно относится к сфере жизни и времени, другое - к протяженности и каузальности. То, что я счисляю, подлежит органической логике; то, что я счисляю, - неорганической. Вся математика, - популярно выражаясь, арифметика и геометрия - отвечает на вопрос “как” и “что”, стало быть, на вопрос о естественном распорядке вещей. В противоречии с этим находится вопрос о “когда” вещей, специфически исторический вопрос - вопрос о судьбе, будущем и прошлом. Все это таится в слове “летоисчисление”, которое наивный человек понимает совершенно недвусмысленно. Между арифметикой и геометрией нет никакой противоположности. Каждый род числа принадлежит во всем своем объеме к сфере протяженного и ставшего, будь то евклидова величина или аналитическая функция. А к какой из обеих сфер следовало бы отнести циклометрические функции, биноминальную теорему, римановы плоскости, теорию групп? Кантовская схема была уже опровергнута Эйлером и Д'Аламбером, прежде чем он успел ее сформулировать, и лишь неосведомленность более поздних философов по части современной им математики - в противоположность Декарту, Паскалю и Лейбницу, которые сами создавали математику своего времени из глубин собственной философии, - могла привести к тому, что дилетантские взгляды на отношение между временем и арифметикой продолжали передаваться по наследству, почти не встречая возражений. Но становление ни в чем не соприкасается с какой-либо областью математики” [37, с.282-283]. Эта обширная цитата приведена здесь не только как яркий пример протеста против связывания арифметики исключительно с созерцанием времени, а геометрии - с созерцанием пространства, но и как ярчайший пример протеста против представления о том, что время и становление вообще могут служить предметом применения математических методов. Однако хотя в главном Шпенглер, безусловно, прав, картина несколько сложнее, чем ему представляется. Обратим внимание, что среди приверженцев представления об особой связи алгебры и времени мы находим В.Р.Гамильтона, которого вряд ли можно упрекнуть в незнании современной ему математики. Это означает, что дело здесь не в дилетантизме, как полагает Шпенглер. Дело не в том, что математике и ее методам недоступны время и становление вообще, а в том, что время и становление в математике существенно иные, чем те историческое время и эмпирическое становление, о которых говорит Шпенглер. Более адекватным здесь оказывается платоническое представление о срединном характере математики (ее предмета и метода) - это и не полная свобода от времени и становления - вечное бытие эйдосов и созерцающего их ума, но и не собственно эмпирическое время и становление чувственно воспринимаемого космоса. Можно и нужно говорить о времени и становлении в математике, но помня, что это особые, математические, время и становление. Например, они не обладают уникальностью и неповторимостью исторического времени и эмпирического становления. В математике можно дважды войти в одну и ту же реку. Ее время и ее становление подобны времени и становлению кинофильма, который можно прокручивать еще и еще раз, и даже просмотреть в обратном порядке. Однако само событие, состоящее в том, что нам случилось прокрутить именно этот “математический кинофильм”, именно в это время и именно в этом месте, есть факт эмпирического и исторического порядка.

13. Следует заметить, что роль слова в математическом мышлении, да и в мышлении вообще, куда более заметна, чем это представлено в настоящем выступлении. Сосредоточив внимание на эстетическом аспекте математики, мы говорили преимущественно о созерцании и образе, оставив в тени неразрывно связанные с ними язык и понятие. Дело здесь не в недооценке последних, а в определенном угле зрения избранном в данной работе. В действительности я полагаю, что не только переход от геометрического к квазигеометрическому конструированию предполагает языковое посредничество, но и всякая геометрическая конструкция, да и всякий отчетливый образ вообще, невозможен вне опыта обговаривания, вне языковой обработки созерцательного фона. Созерцание и язык, образ и понятие не могут существовать друг без друга, их можно уподобить двум сторонам одной монеты [33, с.14-27; 21]. Образ и понятие неразрывно связаны не только в процессе генезиса, но и в процессе коммуникации. Приведем простой пример. Предположим, мы видим человека рисующего нечто. Просто глядя на то, что он рисует мы не имеем никакой возможности выяснить, что перед нами - художественно творчество или математическая деятельность, является ли то, что мы видим орнаментом или геометрическим чертежом. Способны ли мы вне опыта обговаривания отличить архитектурное сооружение от стереометрической модели? Ребенок, который растет в семье математиков, как правило, довольно рано начинает проявлять интерес к тем “закорючкам”, которыми его родители в изобилии покрывают бумажные листы. Он пробует подражать им, возможно не без некоторого успеха. Предположим, он собственноручно воспроизвел на листе бумаги цепочку формул. Является ли его деятельность математической? - Конечно, нет. Очень вероятно, что для ребенка эта цепочка формул обладает по преимуществу эстетической ценностью, но - это не математическая эстетика. Так же не является математикой игра в пятнашки, в крестики-нолики, в шахматы. Да и построение конечных цепочек знаков по определенным правилам (пусть даже позаимствованным из метаматематики!) станет математикой только в контексте связи этих правил с содержательной математической теорией, или с рассуждениями, выясняющими особенности пространственно-временной организации соответствующей системы знаков (проблемы эквивалентности, разрешимости, аксиоматического построения и т.п.). Подобным же образом предметом математического изучения могут быть сделаны и пятнашки, крестики-нолики или шахматы. Другими словами, математичность (или нематематичность) некоторой графики определяется не ей самой, а тем смысловым контекстом, который связывает ее с изучением пространственно-временных отношений, создать же этот контекст можно лишь словом.

14. Такая позиция диаметрально противоположна панарифметизму, представленному, например, работой Ауреля-Эдмунда Фосса (A.Voss) “О сущности математики” (1908). В этой работе читаем: “... разделим всю совокупность математических изысканий на чистую математику и области ее приложения. К последним мы относим геометрию и механику, понимая их в самом широком смысле. Чистая же математика есть наука о числах; а числа суть созданные нами знаки для упорядочивающей деятельности нашего рассудка, которые допускают сочетания друг с другом по определенным общим правилам. В учении о числах мы усматриваем поэтому подлинную сущность математики, а изъяснение того, как все другие представления, содержащиеся в понятии величины, могут быть подчинены понятию числа, составляет в пределах чистой математики переход к областям ее приложения” [32, с.17]. Если мы в настоящем докладе стремились подобраться к тайне математики через распространение на всю математику идеи геометрического построения, то Фосс делает то же самое в отношении идеи числа. Если мы смотрели на математику sub specie artis, то Фосс - с точки зрения внутриматематической тенденции к арифметизации математики, характерной для последней трети XIX века, в особенности для Берлинской школы К.Вейерштрасса.

15. Так, например, высказывание Новалиса “кривая линия есть победа свободной природы над правилом” [19, с.146], с его антиплатоническим пафосом, может быть должным образом понято лишь в контексте особой, онтологически выделенной, роли, отводимой платониками окружности и прямой (отброшенной еще в “Геометрии” Декарта!), а также платонического учения о материи.

Характеристики

Список файлов реферата