22377-1 (718323), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Брауэр: реальность - это сознание индивида, это образы, мыслеформы, восходящие от внутренней сферы к внешнему миру. Это субъективная реальность. Существует ли объективная реальность, единая для всех индивидов, - открытый вопрос.

Гильберт: существует объективная реальность, данная нам наглядно, в качестве чувственных переживаний до какого то ни было мышления. Единство мира проявляется в математике как универсальном языке, раскрывающем сущность мира.

Как мы знаем, в споре не оказалось победителя. Интуиционистская и теоретико-множественная математики дополняют друг друга.

Гильберт и Брауэр работали в различных областях. Гильберт ясен, последователен, логичен. Более склонен к формальному мышлению, что особенно видно на теории доказательств. Он платонист и кантианец. Его стиль можно назвать формально-платонистским. Это господствующий стиль, т.к. абсолютное большинство математиков - платонисты.

Брауэр же пытался оторваться от платонизма, порвать с античной традицией математиков оперировать идеальными объектами подобно материальным предметам. Отсюда впечатление противоречивости. Хотя с точки зрения классически мыслящего ученого он действительно противоречив: работал и теоретико-множественными методами (в топологии), и интуиционистскими, создавая принципиально новую неплатонистскую математику.

Определенными сдвигами в неплатонистском направлении стали также конструктивизм, теория категорий, некоторые теории в логике. Действительно, если радикализировать позицию Брауэра, высказать её ещё яснее убрать из его философско-математических высказываний натуральные числа, то останется только алгоритм. Тогда не важно ЧТО преобразуется, а важно КАК (само преобразование). По идейному подходу это близко к теории алгорифмов, -исчислению А.Черча, теории категорий. В одном из направлений конструктивизма - теории алгорифмов А.А.Маркова (мл.) главное - само преобразование, но алгорифм понимается платонистски. Однако уже -исчисление, метафорически выражаясь, логика без переменных. Теорию категорий Ю.И.Манин назвал социологическим подходом, т.е. это как бы структуры без элементов, на что первым обратил внимание Ф.У.Ловер.

В чём состоит неплатонистский стиль мышления?

в преодолении мышления целостными "недвижными" понятиями, подобными языковым формам или материальным вещам, и утверждении мышления движущимися образами, становящимися мыслеформами, следовательно, переходными, дробными объектами - фракталами; оперирование ими требует и неплатонистской логики - мышления как бы дробными понятиями, суждениями, умозаключениями;

в отказе от классической тройки: элемент, структура, система, и утверждении системы без элементов, но со структурой (законом);

в отказе от субъект-объектного расщепления бытия, признании его ограниченности и в утверждении единого бытия, в котором слиты объект и субъект.

Подобно тому, как в начале ХХ века в естествознании возникла неклассическая наука, а к концу века - постнеклассическая, также возникла неклассическая математика (интуиционизм), а позже стала развиваться постнеклассическая (например, фрактальная геометрия). Их отличие - в сдвиге к картине мира, в которой в математическое знание включён идеальный мыслящий субъект, в отказе от жёсткой структурности (как в теоретико-множественной картине). Есть классы и структура, но нет элементов. Это предполагает предельно высокий уровень абстрактности (отсюда у конкретно мыслящих математиков возникает ощущение пустоты категорных форм).

Неплатонизм предполагает мышление самоподобными объектами - фракталами. Их странность в том, что невозможно выделить части (они совпадают с целым) - у них нет структуры как связи элементов. В то же время есть закон. Например, это формула Б.Мандельброта: Zn+1 = Zn2 + C.

Таким образом, интуиционизм, метаматематика, фрактальная геометрия образуют зачатки неплатонистской математики - области свободно становящихся объектов, относительно которой возникает ощущение, что в ней НЕТ классических (теоретико-множественных) понятий, или их может не быть - они уходят на второй план. В то же время и здесь ЕСТЬ неизменные идеальные объекты, например, алгоритм, фрактал (как формула, организующая его, или соответствующая геометрическая картинка, мыслимая как завершённое целое) - но это при платонистской интерпретации, тогда исчезает специфика неплатонизма, его шарм, брауэровский привкус.

Мы получаем противоположности, отрицающие друг друга (НЕТ и ЕСТЬ) - с точки зрения двузначной логики.

Учёному же, стремящемуся к мудрости (философу), необходимо преодолеть ограниченность двузначности - подняться над противоположностями и, следовательно, искать МЕЖДУ "существует" и "не существует", то есть, в области становления - именно здесь область роста постнеклассической математики.

Эта область заполнена одними лишь монстрами - странными объектами, подобно кентавру совмещающими в себе взаимоисключающие свойства, например, наличие структуры при отсутствии элементов, неподвижность и вечное движение, живость и мертвенность - как фракталы, а также непрерывность при недифференцируемости, конечность площади при бесконечности периметра - как давно открытые некоторые функции и фигуры. Причём исторически первый монстр - это иррациональные числа (VI в. до РХ). В гармонической картине мира древних греков этих чисел как бы нет, и в то же время они налицо - как диагональ квадрата.

На единичном отрезке прямой рациональные числа (вида m/n) образуют множество меры 0 (их почти нет), а иррациональные - меры 1 (это почти все числа). Подобным же образом почти всё, что есть во всей математике как мире всех возможных миров - это монстры, а прекрасные гармоничные непротиворечивые понятия образуют множество меры 0. Это наилучший из всех возможных миров. Это наш мир, поскольку человеческий род в принципе прекрасен и может устойчиво существовать (жить) лишь в окружении прекрасного. Так монадология Лейбница и антропный принцип сходятся в хаосе - промежуточной области вечного становления, между "да" и "нет". Хаос здесь уступает своей творящей стороной.

Таким образом, сравнивая Гильберта и Брауэра, мы видим, что неплатонистский стиль последнего отрицает оперирование "ставшими", неподвижными формами и ведет к математике "абсолютно текучего", в котором нет целых понятий, но (гипотетически) возможны фрактальные - дробные понятия, суждения, умозаключения. Философией, наиболее близкой к такой - синергетической трактовке Брауэра, является даосизм как учение о становящемся, но никогда не ставшем бытии.

Стиль Брауэра (как основателя интуиционизма) можно назвать интуиционистско-неплатонистским, (предшествующим синергетическому стилю мышления). Жизнь=математика=музыка=искусство - все слилось в его противоречивой, мятущейся и мятежной душе отрицателя основ, стремящегося к Единому, понимаемому в духе восточной философии. Известные слова Бюффона "Человек - это стиль" (как в быту, так и в науке) относятся ко всем описанным ученым. В частности, манера поведения, особенности личной жизни Брауэра коррелируют с его поисками неплатонизма в математике.

Подобные пары математиков, дискутировавших или параллельно совершавших одни и те же открытия и отличавшиеся стилями, неоднократно встречаются в истории науки, на что обращает внимание И.М.Яглом 8 . Он обращает внимание на универсальность двух типов мышления: левополушарного и правополушарного, арифметико-алгебраического и геометрического. Именно этим отличаются Пифагор и Фалес (как создатели теоретической математики), Аристотель и Платон (разработчики философии математики, один - создатель логики, второй - его учитель, мысливший яркими картинками), Я.Бойаи и Н.И.Лобачевский (создатели неевклидовых геометрий), Г.Грасман и У.Р.Гамильтон (внешняя алгебра и кватернионы), К.Вейерштрасс и Б.Риман (алгебраическая теория функций и геометрическое направление теории аналитических функций), С.Ли и Ф.Клейн (теория групп) и другие.

Лево- и правополушарный типы мышления обусловлены спецификой физиологии человеческого мозга, лежат в основе и соответствующих стилей. Если согласиться с Бюффоном, что стиль несёт в себе индивидуально-личностный привкус, то:

стиль = тип + индивидуальность.

Таким образом, среди гигантского количества стилей можно выделить главные и классифицировать их по парам противоположностей:

содержательный - формальный (близкое деление: конкретный - абстрактный);

дискретный - непрерывный (близкое деление: арифметико-алгебраический - геометрический);

платонистский - неплатонистский (исторически-преходящее деление: теоретико-множественный - интуиционистский), как мышление дискретными целостными понятиями и мышление переходными, дробными, фрактальными мыслеобразами.

XX век впервые после великих греков через интуиционизм, конструктивизм, метаматематику, теорию категорий, фрактальную геометрию обозначил отход от господствовавшего тысячелетия платонистского стиля.

Список литературы

1. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XX столетии. М.-Л., 1937. ч. 1. -432 с.

2. Вейль Г. Математическое мышление. -М., 1989. -400 с.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. -М.-Л., 1948. -491 с.

4. Рид К. Гильберт. -М., 1977. -307 с.

5. Гейтинг А. Интуиционизм. -М., 1965. -200 с.

6. Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. -М., 1984. -224 с.

7. Манин Ю.Н. Лекции по алгебраической геометрии. -М., 1970. -ч.1. Аффинные схемы. -133 с.

8. Яглом И.М. Почему высшую математику открыли одновременно Ньютон и Лейбниц? // Число и мысль. Вып. 6. М; 1983. С. 99-125.

9. Войцехомич В. Э. Господствующие стили математического мышления

Характеристики

Список файлов реферата