123714 (717269), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Разным значениям , т.е. разным положениям пластического шарнира, будут соответствовать разные значения предельной нагрузки q_u. Воспользуемся кинематическим экстремальным принципом. Истинному положению пластического шарнира, а, следовательно, истинной предельной нагрузке соответствует минимум выражения (а).

dq / d = 0 и 2M_u / L² 0

= 0,

[ ] ²

Приравнивая числитель нулю, получим квадратное уравнение

,

корни которого равны: _1,2 = 1 2; ₁ = 2 1 0,414, второй корень не имеет смысла. Подставляя найденное значение ₁ в выражение (а), окончательно получим: q_u = 11,66 M_u / L² .

Пример 4. Статически неопределимая однопролётная балка (Рис.7) загружена двумя силами F и 2F. Найти предельное значение F.

Балка исчерпает несущую способность при образовании двух пластических шарниров. Один из них появится в заделке, а другой под одной из сил. Возможны варианты: схема а) - пластический шарнир под силой F, схема б) - под силой 2F (Рис. 7).

Рассмотрим первый случай. Уравнение работ запишется:

2F_uBB₁ + F_uCC₁ M_u M_u ( + ) = 0; учтём: BB₁ = (2/3)CC₁;

= CC₁/ 3L; = CC₁ /L , тогда: F_u = 5M_u / 7L 0,714M_u / L.

Второй случай нам даст:

2F_uBB₁ + F_uCC₁ M_u M_u2 = 0; CC₁ = ½BB₁ ; = BB₁ / 2L

F_u = 3M_u / 5L = 0,6M_u / L .

Очевидно, что согласно кинематическому экстремальному приципу, реальной будет схема перехода в предельное состояние б), дающая наименьшее значение предельной нагрузки.

Пример 5. Один раз статически неопределимая рама загружена силой F (Рис. 8). Найти предельное значение силы.

BB₁

F B C F_u B₁ C₁

M_u M_u

L

A D

A D

L

Cхема перехода в предельное состояние

Рис. 8

Рама перейдёт в предельное состояние, когда в узлах В и С появятся пластические шарниры. Конфигурация возникшего при этом механизма будет определяться одним параметром – углом . Суммарная работа всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях запишется:

F_uBB₁ – M_u M_u = 0; = BB₁ / L

F_u = 2M_u / L.

Пример 6. Статически неопределимая двухпролётная балка загружена равномерно распределённой нагрузкой q и силой F = qL (L = 1м). Размеры поперечного сечения заданы в мм. Материал – Ст.3 следует диаграмме Прандтля: _y = 240 МПа; коэффициент запаса по текучести n _y = 1,5; допускаемое напряжение _adm = _y /n_y = 160 МПа. Выполнить следующе:

1. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для упругой стадии работы балки.

2. Определить для заданного сечения балки, исходя из упругой работы, допускаемую интенсивность нагрузки q_adm.

3. Найти предельный момент M_u для заданного сечения.

4. Исходя из расчёта по методу предельного равновесия, найти предельную нагрузку q_u. Найти нагрузку q^u_amd, которую можно допустить, основываясь на методе предельного равновесия. Коэффициент запаса по текучести оставить прежним.

1) Раскроем статическую неопределимость. Используем для этого способ ''уравнения трёх моментов''. Разрежем балку над опорой 2 и поместим туда шарнир (Рис. 9). Основная система будет представлять собой две однопролётные балки, эпюры моментов для которых показаны на Рис. 9а. Уравнение трёх моментов для опоры 2 запишется:

2M₂ ( 3L + 2L ) = 6 [( (2/3)(qL²/2)2LL + ½(2qL²/3)2L(4L/3) +

+ ½(2qL²/3)L(7L/3))/(3L) – ½(qL²)2LL/(2L)];

откуда найдём опорный момент: M₂ = qL² /6 0,1667qL² .

Эпюра опорного момента показана на Рис. 9б. Складывая эпюру опорных моментов с эпюрой моментов в основной системе (Рис. 9а), получим эпюру моментов для статически неопределимой балки (Рис.9в). Найдём максимальное значение момента в левом пролёте, для чего загрузим пролёт 1 – 2, помимо заданной нагрузки, найденным опорным моментом М₂ (Рис. 10).

q

0 ,1667qL²

R ₁ z R₂

2L L

Рис. 10

Найдём левую опорную реакцию: R₁ = 4qL/3 – 0,1667qL²/3L 1,2778qL

Изгибающий момент в произвольном сечении с координатой z определится: M = 1,2778qL – qz² /2; условия экстремума: dM/dz = 0

z = 1,2778L , max M = 0,8164qL² .

2) Определим нагрузку, которую можно допустить на балку, основываясь на упругом расчёте. Вначале найдём геометрические характеристики заданного сечения (Рис. 11). Площадь поперечного сечения: А = А₁ + А₂ = 10 + 12 = 22 см². Определим положение центра тяжести сечения.

Найдём статический момент площади поперечного сечения относительно оси x₂: S_x2 = A₁b = 104 = 40 см³. Координата центра тяжести определится: b₂ = S_x2 /A = 40 / 22 1,82см.

М омент инерции сечения:

A₁ I_x = I_x1 + A₁b₁² + I_x2 + A₂b₂² =

x₁ = 52³/12 + 102,18² + 26³/12 +

b₁ + 121,82² = 126,5 см⁴ .

b o x

b₂ Момент сопротивления сечения:

A ₂ y_max x₂

W_x = I_x /y_max = 126,5 / 4,82 = 26,2 см³.

Рис. 11

Допускаемую нагрузку можно найти, приравняв максимальные напряжения в балке допускаемым:

_max = max M / W_x = _adm 0,8164q_admL² / W_x = _adm

q_adm = ( _admW_x ) / ( 0,8164L² ) = ( 16010⁶ Па 26,2 10 ^{– 6} м³/

( 0.8164 1м² ) = 5135 Н / м = 5,135 кН / м .

3) Положение нейтральной оси в предельном состоянии найдём, приравняв площади сжатой и растянутой зон (Рис. 12):

1 0 + ( 6 – y ) 2 = 2 y y = 5,5см.

А ^-

x₀ Пластический момент сопротивления:

y W_пл = S_xo^- + S_xo⁺ =

= 10 1,5 + ½ 0,5² 2 + ½ 5,5² 2 =

A⁺ = 45,5см ³.

Рис. 12

Предельный момент для сечения:

M_u = _yW_пл = 240 10⁶ Па 45,5 10 ^{– 6}м ³ = 10920 Н м = 10,92 кН м

4) Балка перейдёт в предельное состояние тогда, когда в ней образуются два пластических шарнира. Один из них появится в правом пролёте, под силой. Положение второго, который возникнет в левом пролёте, под нагрузкой, нам пока неизвестно. Зададим его безразмерной координатой (0 2). Механизм перехода в предельное состояние показан на Рис. 13.

Запишем уравнение работ внешних и внутренних сил на перемещениях, возникших в механизме. Работа распределённой нагрузки будет равна произведению интенсивности нагрузки на площадь фигуры, образованной осью балки в первоначальном состоянии, отрезком СС₁ и отрезками, лежащими под нагрузкой и совпадающими со звеньями механизма.

½ q_u [ BB₁L + BB₁L(3 ) – CC₁L ] + q_uL DD₁ – M_u() M_u = 0.

входящие в уравнение отрезки и углы выразятся через ВВ₁:

CC₁ = DD₁ = BB₁ / (3 ); = BB₁ / (L); = BB₁ / ((3)L).

Подставив это в уравнение работ, и решив его относительно предельной нагрузки, имеем:

2M_u ( 3 + 2 )

q_u = .

L² ( 10 – 3 )

Истинному положению пластического шарнира в левом пролёте соответствует минимум предельной нагрузки (см. пример 3): dq_u / d = 0 .

Приравнивая в полученном выражении для производной числитель нулю, получим квадратное уравнение ² + 3 5 = 0, решив которое найдём корни: ₁ = 1,1926 и ₂ = 4,1926 (не имеет смысла). Подставив первый корень в выражение для q_u, получим истинное значение предельной нагрузки для балки:

q_u = 1,406 M_u / L² = 1,40610,92 кНм / 1м² = 15,35 кН / м.

Если принять такой же коэффициент запаса по текучести, что и при упругом расчёте, то, исходя из расчёта по предельным нагрузкам, на балку может быть допущена нагрузка:

q_adm^u = q_u / n_y = ( 15,35 кН / м ) / 1,5 = 10,23 кН / м .

Обратим внимание на то, что это значительно больше, чем даёт упругий расчёт. Отношение значений нагрузок по двум методам расчёта равняется: q_adm^u / q_adm = 10,23 / 5,135 = 1,99. Т.е. расчёт по методу предельного равновесия позволяет в данном случае увеличить нагрузку на балку в два раза.

Интересно отметить и тот факт, что пластический шарнир появился не в том месте, где в упругой стадии был максимальный изгибающий момент ( = 1,2778). Это обстоятельство говорит о том, что за пределами упругости происходят перераспределения усилий.

Заключение

Как уже отмечалось в п.2, кинематический метод всегда даёт верхнюю оценку предельной нагрузки, имея которую, мы не знаем, насколько она превышает истинную. По этой причине в расчёт приходится вводить дополнительный запас прочности. Помимо кинематического метода, существует статический метод определения предельных нагрузок. Он состоит в том, что рассматриваются статически возможные состояния и любая нагрузка, соответствующая произвольному статически возможному состоянию системы, меньше предельной нагрузки. Статический метод всегда даёт нижнюю оценку предельной нагрузки. Если бы мы могли решить задачу одновременно и кинематическим и статическим методами, то получили бы двухстороннюю оценку, что решило бы проблему. Однако нахождение статических решений в большинстве случаев весьма сложно, и точная оценка возможна для немногих задач.

Необходимым условием использования метода предельного равновесия является достаточная пластичность материала. Кроме того нагрузка должна быть статической или близкой к ней. Нельзя использовать этот метод при изменяющихся во времени напряжениях, т.к. в этом случае решающим фактором будет усталостная прочность. Эти обстоятельства сужают базу применения метода в машиностроительной практике. И, тем не менее, преимущество метода, заключающееся в значительной экономии материала, столь очевидно, что метод предельного равновесия надо использовать всегда, когда это возможно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М. : Наука. – 1986. – 512 с.

2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение. – 1968. – 400 с.

3. Ржаницын А.Р. Строительная механика. – М.: Высшая школа. – 1991. – 440 с.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. 1979. – 744 с.

5. Лешковцев В.Г., Покровский А.М., Зарубин С.В. Расчет предельных нагрузок в стержневых системах. – М.: МГТУ. – 1993. – 36 с.

6. Гречанинов И.П., Рынковенко О.В. Расчеты за пределами упругости. – М.: МВТУ. – 1986. – 12 с.

Характеристики

Список файлов реферата