CBRR1557 (716719), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Численный метод предназначен для решения не-

линейных дифференциальных уравнений.

Берется из апприорных (начальных условий) ,

подставляется в правую часть уравнения (5) и

т.д. Это называется реккурентностью.

Качественная теория решения нелинейных диффе-

ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе-

мам)

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который

дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де-

лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-

ференциальных уравнений, она используется для решения не-

линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-

зового портрета (некоторый графический материал, по ко-

торому можно анализировать траекторию движения динамичес-

кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из

решений).

На примере X и Y :

y (1) , где

f(x,y) - некоторая нели-

a dy нейная функция

- нелинейная

функция

x

Найти решение означает - найти y=j(x) (2),

которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на

плоскости.

Метод изоклин

Если f(x,y)=const, то , а , на кривой

f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,

такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const)

Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-

ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,

т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

y Пример1: ;

y

- решение диф. - изоклина

уравнения

x

x

Пример 2: ,

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -

-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

­ - изоклина

¬ решение

- Уравнение Вандер Поля

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-

ременная

= const - параметр

- вторая фазовая переменная

Учитывая это имеем :

(1)’ пусть = 0

(1)’’

- изоклина

- фазовый портрет

- Решение дифференциаль-

ного уравнения Вандер

Поля - окружность

(при = 0)

Если на входы X и Y осцилографа подать две синусоиды, то

получим окружность (фигура Лиссажу), следовательно окруж-

ность дает решения синусоидального колебания.

x Y

t t

Пусть ¹ 0 (см. ур-е (1)’) фазовый портрет будет 2х ти-

п ов :

Y X(t)

X

t

Выводы :

1) Динамические системы радиоавтоматики описыва-

ются дифференциальными уравнениями 1, 2 и бо-

лее высокого порядка ( например: колебатель-

ная система(солнечная система, автогенератор,

полет космического аппарата в поле притяже-

ния земли) описывается диф. уравнением 2-го

порядка и выше.

2) Линейные динамические системы описываются ли-

нейными диф. уравнениями. Линейная динамичес-

кая система составленная из R,L,C - цепочек и

активных элементов (транзисторов и т.д.).

Любая линейная система путем преобразования

Лапласа может быть представлена в виде пере-

даточной функции.(Диф. уравнение преобразует-

ся по Лапласу). Передаточная функция записы-

вается для удобства в комплексном виде, на

мнимой оси p=jw можно найти АЧХ и ФЧХ линей-

ной системы. Передаточная функция дает инфор-

мацию об устойчивости системы.

3) Нелинейные динамические системы описываются

нелинейными диф. уравнениями, в этих системах

обязательно есть нелинейность вида (

и др.), общих решений и анализа через переда-

точную функцию как правило не существует, по-

этому есть два метода :

а) численный метод (Эйлера и др.) (восстановле-

ние по точкам)

б) решение диф. уравнений методом фазового порт-

рета (качественная теория). (Это наглядный

путь выяснения поведения нелинейной системы)

Стохастические системы

Стохастика - случайность.

Определение: Динамическая система называется стохастичес-

кой , если она описывается дифференциальным

или разностным уравнением, в правую часть

которого входит случайный процесс.

Такую систему можно представить в виде линейного или не-

линейного четырехполюсника, на вход которого подается шум

Стохастическая

x (t) система X(t)

x(t)- шум

X(t)- выходной процесс

Составление модели любой динамической системы должно

в реальных условиях(например движение самолета или раке-

ты) составляться с помощью предварительных экспериментов

над движением реальной системы. (Как правило это диффе-

ренциальные или разностные уравнения) и в эти уравнения

вставляется некоторый шум, который является случайным

процессом.

Для дальнейшего составления модели используется иден-

тификация модели на основании эксперимента или экспери-

ментальных данных.

Идентификацией называется оценка коэффициентов разност-

ного уравнения и оценка параметров шума:

дисперсии, мат. ожидания, ковариации и др.

Идентификация служит для того, чтобы реальный процесс и

модель были близки.Получив модель мы имеем возможность,

используя эту модель, получить близкую к реальной карти-

не ситуацию движения системы и создать управление ситуа-

цией по нашей модели.

Вывод: Модель нужна, чтобы на ЭВМ научиться проектировать

управляемые динамические системы для любых такти-

ческих ситуаций, известных из практики.

Правильно созданная модель - это максимум успеха в проек-

тировании эффективной систе-

мы. После создания и отработки модели стохастической ди-

намической системы создается аппаратура по этой модели,

которая проверяется на динамическом стенде.

Динамический стенд - 2й этап моделирования реальной ситу-

ации уже с аппаратурой.

3й этап состоит в проверке аппаратуры на полигоне.( На

борту транспортного или военного средства).

Моделирование случайных процессов с дискретным временем

(1) - выборка случайного процесса с дискретным

временем.

X(t) Процесс (1) в общем виде очень

трудно анализировать, этот про-

цесс, как правило, получен из

эксперимента. Этот реальный

процесс обычно аппроксимируется

другим процессом, который поз-

волит нам математически созда-

t вать модели, близкие к реально-

му процессу.

Такое создание моделей называется - аппроксимацией.

Сам аппроксимирующий процесс называется агрегат.

Марковская аппроксимация случайных процессов

Марковским процессом называется такой процесс, у которого

многомерная плотность вероятности

факторизуется в следующем виде : . Некоторые

значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это

многомерная плотность вероятности

Двумерная плотность Многомерная ФПВ несет всю ин-

вероятности формацию о случчайном процес-

W(x,y) се. Больше информации не су-

ществует.

Однако использовать эту мно-

гомерную ФПВ чрезвычайно сло-

жно на практике, поэтому час-

то прибегают к некоторым ап-

проксимациям процесса :

Y

X

Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты

процесса в моменты времени , чтобы все были

независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую-

щим образом: - факторизация.

Однако при такой факторизации может потеряться информа-

ция о случайном процессе. Есть потеря информации для

произвольных отсчетов (кореллированность процесса).

Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ

аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ

факторизуется так :

(2) , где - ус-

ловная плотность вероятности.

Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес-

кие выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выпол-

няется условие (2)

Оказывается, существует очень много генераторов марковс-

ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

Процессы авторегрессии

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского

процесса.

1. Односвязная регрессия

(3)

- задано.

- от генератора белого шума

- корреляция.

Если а<1, то ®0 имеем

устойчивый процесс.

a<1

Е сли а>1 - неустой-

ч ивый процесс 1 2 3 4 n

®¥ (P=1)

x(t) ¬a=0.9

a³1

¬a=0.3

1 2 3 4 5 n t

а=1 - модель взрыва. Если - гауссовский случайный про-

цесс, то легко доказать, что многомерная ФПВ факторизует-

ся.

а - коэффициент регрессии.

Если 0

корреляций между и .

Если процесс изменяется очень медленно, то он сильно кор-

релирован. Коррелированными процессами очень легко управ-

лять и они очень легко анализируются и прогнозируются.

Генератор марковского процесса, реализующий авторегрессию

1-го порядка

(1)

Генератор

- марковский случайный процесс

- генератор случайных чисел (в ЭВМ)

i = 0,1,2...n

Утверждение (1) : процесс (1) является марковским.

Доказательство: Пусть заданная величина. Процедура (1) называется реккурсивной или иттеративной, рекурент-

ной.

(2)

Пусть ~ , где 0-среднее, - дисперсия.

В формуле (2) разность имеет гауссовкий процесс распре-

деления или :

(3)

(4)

(3) получено из (4) и (2) заменив на . Поскольку

- независимые по условию, то имеем :

Утверждение доказано. Процесс (1) является марковским.

Структурная схема генератора марковского процесса

реализация рекурсии

a |¾¾| рис. 1

T

|¾¾| - линия задержки.

Это структурная схема 4х полюсника, которая реализует

генерацию марковского случайного процесса . Это генера-

тор с внешним возбуждением, который возбуждается с по-

мощью независимого гауссовского процесса .

Сетка дискретного времени:

|¾¾|¾¾|¾¾|¾¾® t

T

Утверждение (2)

На выходе 4х полюсника процесс ,i=1,2...n - коррелиро-

ван, с коэффициентом корреляции ‘a’.

Доказательство: Из (1) имеем , берем мат-

ожидание, ,

, - коэффициент корреляции.

Утверждение доказано.

Вывод: На вход схемы рис.1 идет некоррелированный слу-

чайный процесс , а следовательно независимый.

(если процесс гауссовский и некоррелированный, то

он независимый, для других процессов это неверно)

В природе наиболее часто встречается гауссовский

случайный процесс. На выходе схемы - зависимый

коррелированный марковский процесс, у которого

плотность факторизуется по условным плотностям.

- не факторизуется

- факторизуется

Процесс (1) называется односвязный марковский

процесс.

Замечание: Процесс (1) получен при дискретизации непре-

рывного линейного диф. уравнения 1-го порядка.

без учета стохастической правой час-

ти

На сетке дискретного времени имеем :

; - получаем обычную ( не

стохастическую) авторегрессию.

Tc+1=a

Авторегрессия 2-го порядка - двухсвязный процесс

(1)

Коэффициенты называются коэффициентами регрес-

сии. Уравнение (1) без стохастической правой части легко

получается из диф. уравнения 2-го порядка. Уравнение (1)

реализует генератор марковского процесса, который называ-

ется двухсвязным в зависимости от входного процесса .

генератор

марковского рис.2

двухсвязного

процесса

На вход генератора действует белый шум. На выходе - двух

связный марковский процесс.

g(f)

белый шум

0 f f

В зависимости от коэффициентов ны выходе будут раз-

личные процессы. Процесс (1) получается из линейного диф.

уравнения 2-го порядка, если это диф. уравнение рассмат-

ривать на временной сетке (дискретна во времени).

Известно, что диф. уравнение 2-го порядка имеет реше-

ние в виде комплексной экспоненты, если корни характерис-

тического уравнения комплексные, аналогично для некоторых

значений коэффициентов , процесс авторегрессии будет

иметь вид стохастической синусоиды.

Генератор двухсвязного марковского процесса

|¾¾| |¾¾|

T - период дискретизации

Изменение по синусоиде называется синусоидальный тренд.

Марковский процесс 2-го порядка более богатый, чем 1-го,

с помощью него можно моделировать более сложные процессы.

Авторегрессия m-го порядка

(2)

- возбуждающий белый шум.

Процесс (2) получен из диф. уравнения m-го порядка путем

дискретизации. Это марковский процесс с дискретным време-

нем.

Этот процесс значительно более информативен, чем ра-

нее рассмотренные, ибо он может моделировать сложномоду-

лированные случайные процессы. Он может модулировать АМ,

ЧМ, ФМ путем подбора , а также подбором мож-

но идентифицировать очень многие случайные процессы ре-

ально существующие на практике, например : хорошо моду-

лируется движение летательнвх аппаратов при маневре (рег-

рессия m=6¸16), речь, полет космического корабля, посадка

на планету.Стохастическая модель удобна потому, что она адекватна реальным ситуациям.

Генератор m-связного марковского процесса

|¾¾| ...... |¾¾| |¾¾|

Разностные модели на примере модели 2-го порядка

(3) - разностная модель 2-го порядка

- приращение, характеризует скорость изменения

процесса

Модель с приращением удобна в том

плане, что не требуется заранее

знать коэффициенты регрессии.

Разностные модели 3-го порядка

(4)

- 1-я разность

- 2-я разность

1-я разность характеризует скорость изменения случайного

процесса.

2-я разность характеризует ускорение.

Модель (3) и (4) очень широко иcпользуется на практи-

ке, т.к. здесь почти нет коэффициентов, которые нужно

идентифицировать ( а и ), они легко подбираются на ЭВМ

по методу наименьших квадратов. Для этого надо иметь ре-

альный процесс отсчетов , модель (4) и нужно воспользо-

ваться следующей формулой МНК/метод наименьших квадратов/

min где, - модель,

- реальный процесс

Суть МНК состоит в следующем :

Есть m-отсчетов реального процесса, есть m-отсчетов

модели, составляется сумма квадратов и подбираются пара-

метры (а, ) так, чтобы минимизировать эту сумму (делает-

ся это на ЭВМ)(метод перебора) но в авторегрессии m-го

порядка. Сделать это очень сложно.

Модели скользящего среднего

Пусть - независимая случайная величина, с произвольным распределением (очень часто гауссовское распределение)

М =0 ; М = ; (процесс не коррелирован)

Тогда процесс

(1)

называется процессом скользящего среднего. Этот

процесс сформирован полностью из шума (из белого шума)

путем сдвига и весового суммирования.

( - весовые коэффициенты). Сумма (1) генерирует

процесс . Процесс - коррелированный марковский

процесс.

Генератор скользящего среднего для формулы (1)

a

i

x

: i

:

Модель авторегрессии и скользящего среднего

авторегрессия скользящее среднее

генератор генератор

случайного сигнала авторегресии

Здесь - белый шум;

- марковский(модельный)процесс, n=1,2....

Между генераторами процесс коррелирован.

Многомерная марковская модель

(1) , где

; ;

Это самая распространенная модель

(2)

В модели (1) шумы характеризуются матрицей ковариации в

отличие от авторегрессии, под которой понимается следую-

щее:

; ;

- столбец

- строка

Элементы матрицы состоят из корреляции внутри столбика

шума. Столбики между собой коррелированы.

Модель нелинейной регрессии

(3)

(4)

В формулах (3)(матричная форма записи),и (4)(скалярная

форма записи) индексы при ‘Х’ это не степени, а номера в

формуле столбика.

(3) и (4) - самая информативная модель , все предыдущие

модели получаются как частный случай из этой модели. Нап-

ример модель речи линейная и нелинейная, но нелинейная

более точная.

Глава 4

Динамические системы наблюдаемые на фоне

шумов

Одномерные динамические системы и фильтр Калмана

(1) ;

Шумы - называются шумами наблюдения (для активных по-

мех). Задачу фильтрации будем решать методом наименьших

квадратов. Задача фильрации требует уменьшить .

Вводим эмпирический риск :

(2)

- Это есть классическая запись метода наименьших квадра-

тов . Эмпирический риск назван так потому, что в риск

входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется

минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние

шумов.

Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда

невозможно было бы записать риск . Необходимо

так выбрать , чтобы получить минимум по всей траектории.

Эти будем обозначать : - оптимальная траектория

Она получается путем дифференцирования , i=1,2...n

Проделав математические операции получаем одномерный

фильтр Калмана.

(3) ; - задано

n=1,2...

Комментарий к формуле (3) :

Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шу-

мы гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.

(4)

n ® ¥

Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.

Если шумы не являются гауссовскими, то такая оценка

является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выпол-

няется когда n ® ¥ .

Формула (4) является критерием минимума среднеквадрати-

ческой ошибки.

Фильтр Калмана дает оценку процесса истинного процесса

для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4),

т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.

Замечание 1 : Оптимальность означает, что не существует

другого фильтра, который мог бы дать такие

же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные

фильтры дают большую ошибку)

Замечание 2 : Фильтр Калмана, в отличие от согласованного

фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим

образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает

максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает

сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма

сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал,

что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаруже-

ния сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.

Замечание 3 : Фильтр Калмана записывается во временной

области, а не в частотной, как фильтр Вин-

нера.

Фильтр Виннера - реализован в частотной области.

(5)

K(w) - оптимальная функция передачи, которая мини-

мизирует среднеквадратическую ошибку.

y(t) - Оценка оптимальна. Она минимизирует СКО.

- энергетический спектр (распределение энергии

случайного процесса).

- энергетический спектр помехи.

Фильтр Калмана и Виннера дают

- одинаковое качество фильтрации,

однако фильтр Калмана проще ре-

ализуется на ЭВМ. Поэтому его и

АЧХ (пунктир) используют.

-

режекция

помехи

Анализ фильтра Калмана

Фильтр

Калмана

;

x(t)- ненаблюдаемый случайный процесс

y(t)- наблюдаемый случайный процесс

y(t) На входе фильтр Калма-

на использует наблюде-

ния и начальные усло-

вия. На выходе фильтра

x(t) получается исходный

процесс x(t).

Фильтрация медленных процессов

x(t)

При а=0.999,

,

есть медленный процесс, тогда

, это следует из формулы

(3).В этом случае -

t - экстраполяция (прогноз),т.е.

прошлая и текущая оценки поч-

ти одинаковы. В таком фильтре Калмана почти полностью иг-

норируются наблюдения. При оценке ситуации фильтр Калмана

не доверяет наблюдениям, а доверяет лишь прошлой оценке.

Это годится для процессов, которые можно легко предска-

зать.

Фильтрация быстрых процессов

- большая величина (>1); .

x(t)

динамическая ошибка

t

Тогда , в этом случае (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

Вывод : Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой и

истинным значением процесса.

- =динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка входит в фильтр Калмана и выполняет роль

корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

Многомерный фильтр Калмана

(1) , где - текущее время, -

- вектор (столбики)

A - матрица k´k, H - матрица m´k.

- вектор, - шум наблюдения

; - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.

Многомерный фильтр Калмана для модели (1) :

,

где - вес, - невязка.

; где - единичная матрица

= Г ; Начальные условия задаются из аппри-

Г ; орных условий . - транспони-

рованная матрица (сопряженная).

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат :

Если известны точно все 9 коор-

Z динат (см.ниже), то можно точ-

л.а. но навести ракету. Для определе-

ния всех координат существуют

р X траекторные фильтры, которые

строятся на базе фильтра Калмана.

Y

Траекторный фильтр 2-го порядка

(1) ; a<1

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -

- наблюдение.

Составим многомерный фильтр Калмана , для этого по мо-

дели (1) составим многомерную модель.

;

(2) ;

; ; H=[1,0]

Из формулы (2) имеем :

; ;

; ;

Траекторный фильтр 3-го порядка

(4) , первые две строки - модель,

последняя строка - наблюдения

; ; ; ;

H = [1,0,0] ;

; ;

Теория нелинейной фильтрации

Здесь нелинейные модели записываются в виде :

(1) ; здесь : верхняя функция - нелиней-

ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.

Функция генерирует на любом интервале неко-

торый случайный процесс . Это есть модель неко-

торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-

дущие модели.

Уравнение наблюдений : наблюдается не сама , а не-

которая функция j( );наблюдения ведутся на фоне шумов

- шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку , такую, чтобы :

(2)

Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической

ошибки.

2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в

фильтре Калмана.

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть

лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -

- линеаризуются.

Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,

линейная часть (1-я, 2-го

члена). ( j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые про-

изводные).

Разложение в ряд Тейлора в точке

где - оценка, которую мы еще не знаем, но собираем-

ся находить.

Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим

линейную систему :

(2)

Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.

и имеют произвольное распределение.

Будем использовать метод наименьших квадратов для на-

хождения оценок .

; ;

Выпишем эмпирический риск :

r - функционал.

После линеаризации :

производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции

получаем :

(3)

; - задано

Выводы :

1. В связи с тем, что начальная точка разложения

в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-

ке , то несмотря на линеаризацию, урав-

нение (3) получилось как нелинейное и оно по-

хоже на уравнение (1) модели.

2. В отличие от фильтра Калмана, в , при рек-

курентном его вычислении входит - оценка

‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно

вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-

мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-

вует так называемая обратная связь.

Пример нелинейной фильтрации :

;

T - период колебания

t - период дискретизации

t - текущее время

- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

процесс наблюдается на фоне шума

- дискретная частота;

(4)

t

Т

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате

б ыла минимальной.

. Из (3) получаем :

(5)

Перемножим и пренебрежем 2й гармоникой :

(6) - ФАПЧ

(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(раз-

ностное уравнение)

Структурная схема ФАП

- на вход

вх

¬



a

синтезатор t

опоры

­

На вход поступает аддитивная смесь.

Принцип работы ФАП

Измеритель фазы является следящей системой с отрицатель-

ной обратной связью. Опорное колебание с фа-

зой - экстраполированная фаза. º . Чем точнее

экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точ-

нее будет оценка.

Глава 5

Оптимальное управление дискретными динами-

ческими системами

Существует два типа детерминированных управляемых процес-

сов (детерминированных систем)

(1) - детерминированная система

- управление (некоторая функция от дискретного

времени, которая входит в разностное уравнение

динамической системы)

Стохастическая управляемая система

(2) , где - шум(может быть белым

),

а может быть и небелым, например, описываться сколь-

зящим средним ( ).

Критерий оптимального управления

Пусть модель (1) или (2) генерирует случайный процесс :

- управляемый процесс с дискретным

временем, т.е. процесс должен развиваться таким образом,

чтобы минимизировать некоторую функцию риска, тогда уп-

равление называется оптимальным.

Математически это выглядит так :

,

где f(×) - выпуклая функция

При движении ракеты по некоторой траектории из точки А в

точку В траектория должна быть такой, чтобы минимизиро-

вать энергетические затраты на управление.

Пример 2 :

Существует некоторая эталонная траектория.

Необходимо привести движение про-

цесса к эталону за минимальное

время. Это называется оптимизация

x(t)-эталон по быстродействию. Существует мно-

жество способов аналитического на-

хождения оптимальной функции упра-

x(t) вления.

Метод динамического программирования

Имеется детерминированная система :

(1)

Принцип Бэлмана - состоит в том, что оптимальное управ-

ление ищется с конца в начало (из будущего в прошлое).

Задача решается в обратном направлении.

(2)

Аналитическое решение задачи по Бэлману

Предположим, что мы отправились из и прошли траекторию:

. И предположим, что за ‘k’ шагов управление вы-

брали. Принцип динамического программирования основывает-

ся на том, что любой кусок траектории оптимального управ-

ления является оптимальным.

(3)

Траектория от (k+1) до ‘n’ называется хвостом.

N - последняя точка в управлении

С учетом (3) запишем :

(4)

Допустим, что начиная от шага (k+1) до ‘n’ в формуле (4)

оптимальное управление уже выбрано.

(5)

k=N,N-1,...,1

( 6)

Формула (6) называется уравнением Бэлмана (уравне-

ние динамического программирования)

Выводы: (из уравнения (6))

Уравнение (6) позволяет в реккурентной форме вы-

вычислить управление, шаг за шагом, от точки N

до 1 (из будущего в прошлое) получить минимиза-

цию (6) на каждом шаге. Получить . Значе-

ния управления фактически получаются методом пе-

ребора. Оптимальная траектория ) неиз-

вестна до самого последнего шага.

Если задача имеет большую размерность, то

сложность при вычислении очень большая. Если

вводить динамические системы (т.е. модели), то

можно значительно упростить метод нахождения оп-

тимального управления. Т.е. получить управление

в замкнутом виде (в виде некоторой формулы).

Синтез оптимального управления для марковских динамичес-

ких систем.

(1) ; ; ; где -

- управление; - шум динамической системы.

Управление должно менять - траекторию, и изменять ее так, чтобы минимизировать средний критерий качества,

причем управляется динамическая система не по всем коор-

динатам.

- управляемый случайный процесс.

Динамическая система, сама как таковая, не наблюдается, а

наблюдается j( )(нелинейно преобразованная фазовая пере-

менная) с шумом. В этом случае говорят, что динамическая система ненаблюдаема напрямую. Для того, чтобы сделать ее

наблюдаемой необходимо использовать теорию нелинейной

фильтрации (см. предыдущие лекции).

В этом случае получаем оценку нелинейной динамической

системы в условиях линеаризации по Тейлору :

(2)

Синтез оптимального управления используя (2) проведем применив квадратичный критерий качества, причем управле-

ние динамической системой будем вести к некоторому этало-

ну, т.е. задано : , i=1,2...n

Критерий оптимизации

(3) ;

где || - норма, .

Риск складывается из двух слагаемых :

1-е слагаемое : Это есть квадрат отклонения траектории от

эталона. Оно должно быть минимизировано с

учетом формулы (2).

2-е слагаемое : Это есть сумма с квадратом самого управ-

ления (некоторая сила) должны быть мини-

мизированны (так должно быть всегда)

Минимизация (3) - это достаточно сложная задача вариаци-

онного исчисления (просто взять здесь производную по ‘u’

не удается).

Для минимизации (3) используем уравнение Бэлмана :

( 4)

В формуле (4) минимизируя шаг за шагом получим :

(5) ; где - матрица

Выводы : (к формуле (5))

Оптимальное управление (5) реализуется с ис-

пользованием линейной оценки динамической сис-

темы, и это управление вставляется в формулу :

Если упростить критерий и привести его к виду (3’):

( 3’)

то минимизация дает оптимальное управление эталона:

(6)

Оптимальное управление пропорционально разности меж-

ду экстраполированной оценкой и эталоном, т.о. полу-

чим :

(7)

Оценка (7) подставляется в (6). Со временем, при ми-

нимизации в этом случае сама оценка устремляется к

эталону.

Пример синтеза динамической системы управления частотой

генератора

Общая постановка :

Пусть имеется некоторая эталонная траектория

(1) , где - шум

Если эталон защищен, то его фильтруют.

Имеется управляемая динамическая система :

Управляемая динамическая система - фаза генератора или

траектория, которая должна подстроиться под эталон.

(2) ; шума часто нет, поэтому

им пренебрегают. Пусть

(3)

Рассмотрим более сложную модель фазы рассматриваемого ге-

нератора.

(4)

Считаем, что в (1),(3) уход фазы очень медленный,т.е.

. Используя нелинейную функцию оценка эталона:

(4’)

В (4) решение уравнения относительно имеет вид :

(5) ; с<1.

Выше было доказано, используя уравнение Бэлмана,

что :

(6)

Структурная схема реализации оптимального управления под-

стройки частоты к эталону

(4’) (5’)

шум

э талонный нелиненый Решающее Подстраи-

г енератор фильтр устройство ваемый ге- вых

Т Т нератор

a c

устройство

+ - управления

На выходе - частота подстраиваемого генератора.

Подстраиваемый генератор имеет следующий вид:

- изменяется по закону (4), управляющая функция воз-

действует /вырабатывающаяся на прошлом шаге (i-1)/ она

должна подстраивать генератор так, чтобы она стремилась

к эталону.

Для этого : имеется устройство управления, которое воз-

действует на контур подстраиваемого генератора так, чтобы

(путем воздействия на варикап) ; a = с, тогда .

Управляемая система с обратной связью: если есть откло-

нение фазы на , (т.е. отклонение частоты) ( ),

тогда решающее усторойство дает оценку . Это приведет к

тому, что отклонится, напряжение подается на устрой-

ство управления, которое ликвидирует приращение. (правое

кольцо называется - кольцо ФАПЧ).

Глава 6

Управление нелинейными динамическими систе-

мами с помощью отрицательной обратной связи

Постановка задачи

Определение : Следящим измерителем называется система,

осуществляющая оценку некоторого параметра

(который является случайным процессом) в

следящем режиме.

Параметр может иметь следующий физический смысл :

а) Угловые координаты некоторого летательного аппарата,

которые изменяются во времени.

б) Изменение во времени доплеровской частоты.

в) Дальность до объекта.

Пример : летательный аппарат

D(t) - дальность

z (t) - угол азимута

- доплеровская частота

D

X Все эти 3 параметра входят в

y некоторый сигнал.

Y y - угол места

;

Доплеровская частота : Любая движущаяся система, облучае-

мая электромагнитной энергией, из-

лучает эту энергию.

; где - радиальная скорость.

Структурная схема следящего измерителя

y(t)=S(t,q(t))+h(t))

+ D(t) Фильтр

Дискриминатор экстраполя-

тор

-

рис.1

Синтезатор

опоры (блок 3)

D(t) - невязка.

- оценка.

Эта схема была построена в 30х годах инженерами-учеными.

Однако сначала 60х годов оказалось, что ее можно синтези-

ровать, используя теорию нелинейной фильтрации.

На рис.1 представлена схема следящего измерителя, где

управление осуществляется с использованием ООС. Эта

структура состоит из 3х блоков.

1й блок: - дискриминатор. На вход его подается смесь сиг-

нала S(t,q(t))+h(t) (аддитивная смесь), где

q(t) - меняющийся парметр. Нужно получить его оценку .

На другой вход дискриминатора подается копия сигнала S(t,q(t)), которая должна повторять сигнал, спрятанный в

шумах. Это достигается путем экстраполяции (предсказание) случайного процесса. На входе дискриминатора образуется

невязка : - это есть невязка нелинейной

фильтрации.

2й блок: - фильтр экстраполятор (блок фильтрации). На его

вход поступает невязка. 2й блок формирует те-

кущую оценку случайного процесса q(t). Это окончательный

нелинейный фильтр - расширенный фильтр Калмана. В этом же

блоке формируется оценка экстраполяции (см. далее) и эта

оценка подается на синтезатор опоры.

3й блок: - формирует копию сигнала. Оценка q(t) формиру-

ется по следующему критерию :

- критерий среднеквадратической ошибки.

Оптимальная оценка по критерию минимума среднеквадрати-

ческой ошибки получается с помощью только лишь нелиней-

ной фильтрации.

Замечание : Фильтрация нелинейна потому, что невязка фор-

мируется нелинейно ( оцениваемый параметр

q(t) входит в сигнал нелинейно), S(t,q(t)) -

нелинейно.

Принцип экстраполяции для задач синтеза следящих измери-

телей управляемых с помощью ООС

Следящий измеритель отслеживает некоторый (многомерный)

параметр , причем имеются наблюдения :

(1) , где - некоторая нелинейная

функция

В радиоавтоматике,в непрерывном времени это выглядит так:

, где ; 0

А -амплитуда гармонического колебания, которая, например,

несет информацию об угловом положении цели.

Т - время наблюдения

t - время запаздывания, несет информацию о временном по-

ложении сигнала

t Т

t

- доплеровская частота.

y(t)- модуляция сигнала (известна заранее)

j(t)- некоторая начальная фаза сигнала, которая несет ин-

формацию об угловом положении цели. Либо j(t)- ме-

шающий параметр.

Система слежения за q(t) - следящий измеритель. Общий

вид записи см. (1).

Решение проблемы синтеза следящего измерителя :

Пусть q(t) .Рассмотрим q(t) на дискретной сетке ® ,

где , Dt - интервал дискретизации.

(2) ; g<1

(3) - 3х мерный вектор,

- фазовая координата

- приращение скорости

- ускорение (второе приращение)

Используя (3) модель (2) преобразуется :

(4)

h=|1 0 0| - вектор 3´3 ,

А - матрица 3´3, такая, что получается модель (2).

Используя модель (4) видим, что верхнее уравнение линей-

ное, а нижнее уравнение нелинейное. Используя теорию не-

линеной фильтрации получим оценку :

(5)

(5) - уравнение нелинейной фильтрации.

Структурная схема, которая реализует алгоритм следящего

измерителя ( ) выглядит так :

дискриминатор фильтр экстраполятор

+ S

А

Dt

синтезатор

опоры

Экстраполяция.a,b,g - фильтры

Реализация нелинейного фильтра по формуле (5) несмотря на ее реккурентный характер достаточно сложна для реализации

на сигнальных процессорах, поэтому часто используют еще

одно упрощение - переходят от векторно-матричной записи

нелинейной фильтрации по формуле (5) к скалярной записи.

(заметим, что формула (5) реализует следящий измеритель

некоторого параметра)

a,b,g - фильтры значительно упрощают синтез следящих

измерителей. Идея состоит в том, что вместо матричного

коэффициента в формуле (5) подставляются скалярные ве-

личины.

Проектирование a,b,g - фильтра

Модель :

; а<1

- скалярное наблюдение

Был введен параметр :

Поскольку мы ввели этот параметр, фильтр получился 3х

мерный. Далее вместо фильтра (5) запишем эвристический

фильтр: (Эвристика - полуинтуитивное мышление)

(6)

a<1, b<1, g<1

(7)

Комментарии к (6) и (7) : Справа - невязки, взяты из тео-

рии нелинейной фильтрации. Од-

нако в (6) экстраполированное значение получается из фор-

мулы (7). (7) - это кусок ряда Тейлора.

В нелинейной фильтрации экстраполяция получается ав-

томатически. А здесь мы ее искусственно создали в формуле

(7) , но она очень сильно близка к формуле (5).

|

Фильтрация | Первое слагаемое в (6) (верхняя строка) есть

координаты | , плюс взвешенный, с весом a корректи-

• рующий член, который есть невязка. Эта невя-

• зка корректирует экстраполяцию за счет ново-

• го наблюдения.

|

Фильтрация | Первое слагаемое во второй строке (6) - есть

приращения | экстраполяция полного приращения( )

|

| 3-я формула в (6) - фильтрация второго при-

| ращения координаты.

|

Коэффициенты a,b,g получаются экспериментально.

( 8) } -подбор a,b,g

(8) - метод наименьших квадратов, подбор a,b,g на ЭВМ.

Структурная схема следящего измерителя за параметром

по формулам (6), (7).

формирователь невязки

+ S S

-

Синтезатор A

опоры S(×)

; ; Þ

Синтез следящего измерителя доплеровской частоты

П остановка задачи - вектор скорости

цели

И меется РАС.

П осылается сигнал от РАС

с частотой . l=1¸3см. Обратный сигнал будет на частоте

; . Доплеровская частота используется

для повышения помехоустойчивости РАС и для наведения ра-

кет. Поскольку цель движется, то меняется a и следова-

тельно и . Отсюда вывод: за доплеровской частотой нуж-

но следить.

Проблема : синтезировать следящий измеритель доплеровской

частоты.

Приходящий сигнал :

j(t) будем записывать в дискретные моменты времени.

, i=1,2,...n ;

Дискретная модель фаз :

(1) ;

; ; T - период колебания.

g<1, такой, чтобы система была устойчива. Предполагаем,

что за Dt не меняется .

Синтез цифрового оптимального следящего измерителя доп-

леровской частоты.

y(t)=Acos(wt+j(t))+h(t)

j(t) - фаза, которая содержит доплеровскую частоту

j(t)=

- неизвестны, но постоянны.

Обычно для реализации цифрового измерителя используется

квадратичный канал :

´ RC-фильтр АЦП

Оптималный

рис. 1 нелинейный

y (t) тактовая ¾® фильтр (3)

синхронизация

´ RC-фильтр АЦП

После такого преобразования снимается несущая, остается

только доплеровская частота.

e(t) - низкочастотный шум.

Acosj(t),Asinj(t) - НЧ компоненты.

На большей требуются очень сложные и дорогие АЦП.

После цифровой обработки (АЦП) модель записывается :

(2) , где ;

h = |1 0| ; ;

Вектор динамической системы двумерный и динамическая сис-

темы тоже двумерная.

(3)

Фильтр (3) дает оцнеку . Реализация невязки ана-

логично как в a,b,g - фильтрах.

Синтез аналого-цифрового следящего измерителя.

Рис. 2 Ф-1 Д АЦП Фильтр

Калмана

экстра-

УПЧ ´ Ф-3 полятор

Ф-2 Д АЦП

Синтезатор

опоры

Ф-3 - узкополосный фильтр

Ф-1,Ф-2 - расстроенная пара фильтров

Ф-1 Дискриминационная

характеристика :

вычитателя

f

Ф-2 Df

f

Дискриминационная характеристика - это разность фильтров

Ф-1 и Ф-2. Она формирует невязку .

(1)

Эта система используется для оценки доплеровской частоты,

меняющейся во времени. Это следует из уравнения (1), где

нижнее уравнение дает поправку доплеровской частоты за

один шаг.Невязка формируется также как в a,b,g - фильтрах.

Глава 7

Устойчивость стохастических систем

В радиоавтоматике все без исключения системы являются

стохастическими, т.е. сама динамическая система описыва-

ется стохастическими разностными уравнениями. Наблюдения

тоже записываются с учетом шумов.

1) Линейные стохастические системы

(1) ;

- шум динамической системы

- шум наблюдений

- m-мерный вектор

с - матрица перехода

Устойчивость определяется нормой матрицы ‘c’.

Достаточным условием устойчивости (1) является :

, где

(2) , где - элементы матрицы ‘c’

с =| |, i=1,...,m ; k=1,...,m

Если условие (2) выполняется, то система всегда бу-

дет устойчива.

Замечание: В некоторых случаях система может быть устой-

чивой , если , потому что условие (2) яв-

ляется достаточным, но не необходимым.

Пример стохастической системы 1-го порядка:

(1)’

Оценка - система будет устой-

чива при 0

, 0

c>1 мым и достаточным условием

устойчивости системы.

Устойчивость нелинейных систем

Нелинейная стохастическая система :

(3)

Устойчивость нелинейных динамических систем опре-

деляется функцией Ляпунова.

Определение устойчивости по Ляпунову для детерминирован-

ной системы.

Вводится специальная функция, называемая функцией Ляпуно-

ва. Обозначается : . Функция удовлетворяет следующим

условиям :

1. Если x=0, то =0

2. Приращение функции Ляпунова во времени D 0,

т.е. функция должна быть убывающей:

Для стохастической системы (3)

обычно функцию Ляпунова выби-

рают так: . А условие

устойчивости для системы (3)

будет следующим:

1) ,

i®¥ (ассимптотически)

2)

Анализ качества работы стохастических систем радиоавтома-

тики

Качество линейных и нелинейных стохастических систем оп-

ределяется реальным качеством фильтра. (см. выше)

Синтез предполагает, что модель соответствует реальному случайному процессу, который мы фильтруем. В этом случае

качество определяется следующим образом :

Пример: Одномерный фильтр Калмана.

Фильтр : ;

- шум наблюдений

- апостариорная дисперсия

- коэффициент усиления

фильтра Калмана

i - дискретное время

Модель :

Качество фильтрации определяется адекватностью модели и реального процесса. Как проверить адекватность модели

реальному процессу ? Сделать это

можно только по невязке: ,

где .

i

Теорема : Процесс тогда и только тогда адекватен модели,

когда невязка является белым шумом.

Замечание: Это может случиться только тогда, когда

Проблема качества определяется проблемой экстраполяции.

Характеристики

Список файлов реферата