Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

P => G - противоположная;

__

G => P - контрапозитивная (обратная противоположной или противоположнообратная).

Между этими четырьмя видами теорем существует тесная связь:

__

а) (P =>G) и (G => P) - одновременно истинны или ложны;

__

б) (G =>P) и (P => G) - одновременно истинны или ложны.

Изучая какую-либо теорему школьного курса математики, учитель должен придерживаться следующей последовательности:

1. Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

2. Обращение к опыту учащихся.

3. Высказывание предположения.

4. Поиск возможных путей решения.

5. Доказательство найденного факта.

6. Проведение доказательства в максимально простой форме.

7. Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы: мотивация изучения теоремы; ознакомление с фактом, отраженным в теореме; формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы; усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства; доказательство теоремы; применение теоремы; установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

При доказательстве математических утверждений используются разные абстрактно-дедуктивные математические методы.

Для того, чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений:

- умение искать доказательство,

- умение проводить доказательство,

- умение оформлять доказательство теоремы.

Функции и графики

Пусть даны две переменные х и у. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого, значения х однозначно определить значение у.

Примеры функций:

1. y = kx+b.

2. у= |х|.

3. у = х².

4. у= 1/х, х>0

5. у = √х.

В каждом из этих примеров указана формула, позволяющая для каждого значения переменной х однозначно вычислить значение переменной у.

Для того чтобы задать функцию, нужно:

1. указать множество всех возможных значений переменной х. Это множество, которое мы будем обозначать D, называют областью определения функции;

2. указать правило, по которому каждому числу х из множества D сопоставляется число у, определяемое числом х. Это число у называется значением функции в точке х. Переменную х называют аргументом.

Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение функции f в точке х обозначается f (х).

Итак, если задана функция f, то задано множество чисел D и каждому числу x D сопоставлено число y = f(x).

Пусть задана функция f. с областью определения D. Рассмотрим координатную плоскость. По оси абсцисс будем откладывать значение аргумента, а по оси ординат — значение функции. Для каждого числа x D можно вычислить y = f(x) и построить точку М (х; f (х)). Множество всех таких точек образует кривую, называемую графиком функции / в заданной системе координат.

Итак, графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (х; f(х)), где х пробегает область определения функции f.

На рисунке 2 изображены графики функций, которые были приведены в качестве примера в начале параграфа.

Рассмотренные нами ранее простейшие зависимости определяют три важнейшие функции:

Эти функции являются стандартными примерами функций из трех классов, с которыми мы будем часто сталкиваться в дальнейшем: линейных, дробно-линейных и квадратичных.

Рис. 2

Для того чтобы определить переменную у как функцию от переменной х, нужно задать множество значений аргумента х и указать правило вычисления значений у в зависимости от х. Сначала обсудим, как задается правило вычисления значений. Во всех приведенных ранее примерах правило вычисления задавалось формулой, содержащей определенные операции.

Обучаясь математике, мы знакомились с различными действиями, операциями над числами. Например, используя только сложение и умножение, мы можем из числа х получить новые числа, скажем 3х, 3х + 5, х³ + 3х + 5 и т. д. Уже такого рода выражения, многочлены, могут служить для построения довольно богатого запаса функций.

Использование деления сильно расширяет этот запас, позволяет образовать выражения вида и т. п. Функции, которые строятся как отношения многочленов, называют рациональными.

Операция деления отличается от сложения и умножения тем, что она не всегда определена — в знаменателе дроби нельзя ставить нуль. Поэтому, например, в выражение можно подставить любые числа, кроме х=1 и х=-1, при которых знаменатель равен нулю.

Появление новых операций и введение специальных знаков для их обозначения приводят к дальнейшему обогащению наших возможностей — извлечение корня, переход к модулю числа и т. п.

Например, пусть f (х) равно числу —1, если х<0, равно нулю, если х = 0, и равно 1, если х>0. Этими словами мы описали некоторое правило вычисления, применимое к любому числу. Обозначим число f (х), найденное по этому правилу, через sgn х (от латинского слова signum, что означает «знак»). Теперь мы с помощью символа для обозначения новой операции можем строить новые формулы, например

Если функция задана формулой и не указано никаких ограничений, ее областью определения считается множество всех значений аргумента, при которых выполнимы все операции, участвующие в этой формуле. Это множество называют естественной областью определения данной функции.

Так, естественной областью определения функции является множество чисел х, для которых , т. е. промежуток [— 1; 1].

Еще раз обратим внимание на то, что две важные операции — деление и извлечение корня четной степени — выполнимы не всегда (нельзя разделить на нуль, нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа). Это ограничение надо помнить и учитывать при нахождении области определения функции, в задании которой участвуют указанные операции.

Значения функции вычисляются путем последовательного выполнения операций: возведение в квадрат, прибавление единицы, извлечение квадратного корня. Можно сказать, что функция является «сложной функцией», составленной из более простых: и=х², u = u+l, у=√u.

Итак, правила вычисления значений функции могут задаваться формулами, полученными с помощью известных нам ранее действий над числами.

Другой важный способ задания функции — табличный. В таблице можно непосредственно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Вычисление значений функции может быть запрограммировано в калькуляторе. Вычислительное устройство может служить для вас способом задания новой функции. Современные вычислительные машины снабжены клавишами, позволяющими немедленно вычислить значения многих полезных функций.

Наконец, часто функцию задают с помощью графика. Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции. Приведем примеры.

На рисунке 3 изображены вольтамперные характеристики некоторых электрических элементов, т.е. графически заданные зависимости напряжения от силы тока. Они получены не по готовой формуле, а экспериментально.

На рисунке 4 изображена кардиограмма работы человеческого сердца. Ее можно считать графиком изменения электрического потенциала на волокнах сердечной мышцы во время сердечного цикла.

Рассмотрим функцию y = f(x), график которой изображен на схеме II. Что можно сказать о свойствах функции f, глядя на график?

1. Спроектируем точки графика на ось х. Мы получим отрезок [а; б]. Этот промежуток является областью определения функции. Действительно, каждая прямая, параллельная оси у, проходящая через точку этого отрезка, пересекает график ровно в одной точке; вертикальные прямые, проходящие через точки х вне отрезка [а; б], график не пересекают.

2. Рассмотрим точки пересечения графика с осью х. На чертеже это х₁, х₂, х₃, х₄. В этих точках функция обращается в нуль. Числа х₁, х₂, х₃, х₄.являются решениями уравнения f(x) = 0 и называются корнями функции (или ее нулями).

3. Корни функции f разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Функция положительна на промежутках [а;х₁), (х₁;х₂), (х₄;b] и отрицательна на промежутках (х₁;х₂), (х₃;х₄).

Объединение промежутков представляет [а;х₁), (х₂;х₃), и (х₄;b] собой решение неравенства f (х) > 0, а объединение промежутков (х₁; х₂) и (х₃;х₄).— решение неравенства f(x)<0.

4) График функции можно сравнить с профилем дороги, которая то поднимается в гору, то опускается в ложбину. Самые верхние и самые нижние точки этой дороги («вершины») играют важную роль при описании графика. Они соответствуют значениям аргумента, обозначенным на графике т₁, т₂, т₃.

Производная и ее применение

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f (х) — f (х₀) через разность х — х₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х — х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается ∆х;. Таким образом,

∆х=х-х₀,

откуда следует, что х=х₀+∆х

Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x₀) = f(x₀+∆х) – f(x₀)

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению

Характеристики

Список файлов реферата