111933 (710691), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

– Элементы аналитической геометрии;

– Элементы логики и теории множеств;

– Числовые системы;

– Матрицы;

Все эти разделы входят в учебный план студентов I курса обучающихся на специальности «информатика – иностранный язык» и представляют большой интерес в смысле компьютерного представления именно для студентов этой специальности.

Первой для переноса на компьютерную основу была взята тема «Числовые системы». Выбор этой темы был обоснован мною ранее. На данный момент эта тема практически полностью реализована в электронном учебнике и может применяться на практике. Над разделами «Тождественные преобразования», «Элементы аналитической геометрии», «Элементы логики и теории множеств», «Матрицы» сейчас ведется работа с целью скорейшего включения их в состав учебника.

Из того что уже сделано, хочется выделить систему помощи и подсказок разработанную для «Числовых систем». Она позволит студентам лучше ориентироваться в излагаемом материале, получать своевременную помощь в затруднительной ситуации, позволит избежать многих ошибок. Суть ее заключается в том что, видя новое определение или термин, студент может обратиться к этой системе и получить разъяснение или рекомендацию. Не обделялись вниманием те, на первый взгляд, простые моменты, на которых студенты чаще всего ошибаются, где за видимой простотой скрывается более глубокий смысл. Практика показывает острую необходимость такого подхода к изложению нового материала.

Теоретический материал электронного учебника

После анализа нескольких учебников и методических пособий мною был отобран следующий теоретический материал. Совместно с моим научным руководителем Анатолием Константиновичем Рябогиным была разработана система контекстно-зависимых пояснений, которую я также привожу ниже.

Этим знаком будут обозначаться фрагменты системы подсказок, относящиеся к подчеркнутому слову.

ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ

1. Множество натуральных чисел

Определение: Множество называется числовым, если его элементами являются числа.

Известны следующие числовые системы:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел.

Между этими множествами установлены следующие отношения:

N Z Q R C.

В основе расширения числовых множеств лежат следующие принципы: если множество А расширяется до множества В, то:

1) А B;

2) операции и отношения между элементами, выполнимые во множестве А, сохраняются и для элементов множества В;

3) во множестве В выполняются операции, не выполнимые или частично выполнимые во множестве А;

4) множество В является минимальным расширением множества А, обладающим свойствами 1) – 3).

Множество натуральных чисел N строго определяется с помощью аксиом Пеано.

1. Существует натуральное число 1, не следующее ни за каким натуральным числом (натуральный ряд начинается с 1).

2. Каждое натуральное число следует только за одним и только одним натуральным числом (в натуральном ряду нет повторений).

3. За каждым натуральным числом следует одно и только одно натуральное число (натуральный ряд бесконечен).

4. Аксиома индукции. Пусть М N. Если:

1) 1 М;

2) а М множеству М принадлежит и следующий за а элемент а¹ то множество М совпадает с множеством натуральных чисел.

Итак, множество N = { 1, 2, 3, 4,...}.

На аксиоме 4 основан метод математической индукции. Доказательство различных утверждений этим методом проводится от частного к общему, а затем делается вывод о справедливости данного утверждения.

П р и м е р. Доказать методом математической индукции следующее равенство:

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Проверим справедливость данного утверждения для n = 1: , т.е. 1 = 1.

2. Предположим, что данное равенство выполняется для k слагаемых, т.е. при n =k:

3. На основании предположения 2 докажем справедливость данного равенства для n = k+1:

Ho , а потому , а так как , следовательно

Теперь можно сделать вывод о том, что данное равенство справедливо n N.

2. Множество целых чисел

Во множестве натуральных чисел выполняются операции сложения и умножения, но не всегда выполняется операция вычитания. Расширяя множество N так, чтобы эта операция была выполнима, мы получаем множество целых чисел Z.

Поэтому Z=N {0, -1, -2,...} или Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}, т.е. множество целых чисел Z содержит множество натуральных чисел, число нуль и числа, противоположные натуральным.

Основную роль во всей теории целых чисел играют следующие факты.

Т е о р е м а о д е л е н и и с о с т а т к о м. Для любого целого а и b > 0 существуют и притом единственные целые q и r, такие, что а = bq + r, 0 r < | b |.

О п р е д е л е н и е. Натуральное число р называется простым, если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.

О с н о в н а я т е о р е м а а р и ф м е т и к и. Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители: , где p₁, p₂, ..., p_k – простые числа, а - натуральные числа. Разложение называется каноническим.

О п р е д е л е н и е. 1) Общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется целое число d, такое, что a₁ : d, а₂ : d, ..., а_n : d. 2) Наибольшим общим делителем целых чисел а₁, а₂, ..., а_n называется такой положительный общий делитель чисел а₁, а₂, ..., а_n, который делится на любой другой общий делитель этих чисел.

Обозначается: d = (а₁, а₂, ..., а_n).

Наибольший общий делитель целых чисел а и b может быть найден с помощью алгоритма Евклида, в основе которого лежит теорема о делении с остатком. Последний, отличный от нуля, остаток и будет наибольшим общим делителем чисел а и b.

П р и м е р. Найти НОД чисел 1173 и 323. Последовательным делением находим:

1173 = 3233 + 204;

323=2041+119;

204=1191+85;

119=851+34;

85=342+17;

34=172;

так что (1173, 323) = 17.

О п р е д е л е н и е. Наименьшим общим кратным целых чисел а₁, а₂, ..., а_n, отличных от нуля, называется наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.

Обозначают: m=[ а₁, а₂, ..., а_n].

Пусть а и b целые числа, тогда

П р и м е р. Найти HOK чисел 1173 и 323.

Т.к. (1173, 323) = 17, то [1173, 323] =

3. Множество рациональных чисел. Система действительных чисел

Во множестве целых чисел выполняются операции сложения, вычитания и умножения, но не всегда выполняется операция деления. Расширяя множество Z так, чтобы эта операция была выполнима, получаем новое числовое множество - множество рациональных чисел Q, т.е. Q={r | r= , m, n Z, n0}. Множество рациональных чисел можно еще определить как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Если же число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, то его называют иррациональным числом.

К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности - задачи измерения некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной единице). Иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа и представляются следующими десятичными дробями: = 0,75; = 0,333 ... = 0,(3).

Иррациональные числа и представляются непериодическими бесконечными дробями: = 1,414...; = 3,14159....

Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел R. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Отметим, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

4. Система комплексных чисел

Характеристики

Список файлов реферата