25001 (686692), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Действительная часть СКО не зависит от частоты, а зависимость мнимой части от нее задается множителем в виде знаковой функции частоты. Обе части СКО являются функциями угла падения. Спектральная характеристика отражения обладает всеми свойствами устойчивой линейной системы - четными амплитудно-частотной характеристикой (модулем СКО) и действительной части СКО, и нечетными фазово-частотной характеристикой (аргументом СКО) и мнимой частью СКО. При этом, четность обеспечивается отсутствием зависимости 
и realA от частоты, а нечетность 
и imageA - множителем в виде знаковой функции sgn (ω). Таким образом, комплексный спектральный коэффициент отражения может быть записан в виде:
.
Спектр отраженной волны разделяется на два слагаемых:
.
В первом слагаемом присутствует спектр первичной волны с амплитудным множителем (весом) ReA (α), независимым от частоты и меняющимся с увеличением угла падения.
Во втором слагаемом - произведение двух частотно-зависимых функций - знаковой 
и комплексного спектра первичной волны u (jf) - с амплитудным множителем ImA (α), также изменяющимся с увеличением угла падения.
Так как преобразование Фурье - линейная операция, сам отраженный сигнал также является взвешенной суммой Фурье-трансформант слагаемых своего спектра:
.
Здесь 
- результат обратного Фурье-преобразования знаковой функции частоты sgn (f), u (t) 
u (jf), а произведение спектров заменено сверткой Фурье-трансформант сомножителей в соответствии со спектральной теоремой свертывания функций.
В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр:
.
Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование знаковой функции частоты:
.
Здесь появился знак минус как следствие противоположных знаков ядер прямого (
) и обратного (
) преобразований Фурье.
Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением:
.
Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих критический угол:
.
В скобках записано обратное Гильберт-преобразование функции u (t), описывающей первичную волну:
.
Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом падения представляется взвешенной суммой падающего сигнала u (t) и его Гильберт-трансформанты 
:
.
Веса слагаемых - ReA (α) и ImA (α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется по форме и суммарный отраженный сигнал 
.
Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при изменении α от критического угла 
до теоретически возможного предела 90°. Как отмечалось, при α = А ( ) = 1 = ReA ( ), ImA ( ) = 0. Отраженная волна имеет те ж форму и амплитуду, что и падающая волна: = 
.
Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения 
действительная часть спадает до 0, а мнимая - возрастает до 1:
при α = ReA ( ) = 0; ImA ( ) = 1.
Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой первичной волны: 
. Угол находится из условия ReA ( ) = 0:
.
Синус его равен:
и не намного превышает 
, то есть не намного больше .
Дальнейшее увеличение угла падения (α > ) приводит к перемене знака действительной части и к соответствующему инвертированию знака смещения первичной волны в суммарном отраженном сигнале.
В пределе, при 
: ReA
; ImA 
и 
.
С увеличением угла падения при 
доля падающей волны с инвертированным знаком смещения в суммарной волне растет, а доля Гильберт-трансформанты уменьшается в пределе, при α = 90°, до 0.
При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой же предел был выявлен и в случае 
(см. раздел 8.3), что вполне естественно.
Анализ закритических изменений спектрального коэффициента прохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских волн 
фактически не нужен, так как имеется связь между коэффициентами рассеивания SH-волны: В = 1 + А, справедливая при любых углах падения.
Для комплексных коэффициентов рассеивания А = ReA + jImA; B = ReB + jImB имеем:
ReB + jImB = 1 + ReA + jImA.
Видно, что А и В имеют действительные части, различающиеся на единицу, и равные мнимые части:
ReB = 1 + ReA; ImB = ImA.
Напомним, что связь между А и В получена из первого граничного условия (для упругих смещений):
.
В соответствии с ним, при любых соотношениях физических свойств контактирующих на границе сред и при любом угле падения первичной SH-волны при z = 0 проходящая волна 
представляет собой простую сумму падающей волны u (τ) и отраженной волны 
.
Поэтому все трансформации отраженной волны в закритической зоне входят составной частью в изменения проходящей волны.
Вне зависимости от угла падения в этой волне всегда присутствует “постоянная" составляющая - первичная, падающая на границу волна, по предположению, не меняющаяся с изменением угла падения.
В заключение приведем цифровые оценки особых углов падения 
для границы раздела сред со следующими упругими параметрами:
.
Это - довольно “сильная” отражающая граница.
Ей может соответствовать, например, граница между обводненной верхней средой (где скорость S-волны резко уменьшена) и “сухим” нижним полупространством.
При нормальном падении (α = 0) SH-волны коэффициенты рассеивания равны:
.
Отраженная волна имеет амплитуду, в четыре раза меньшую амплитуды первичной волны, и инвертирована по знаку смещения. Проходящая волна ослаблена по амплитуде на четверть в сравнении с падающей волной. Для выбранных параметров сред определим отношения волновых сопротивлений 
≈1,667 и скоростей 
≈1,414 (
≈0,707). Используя их, найдем особые углы падения первичной волны:
угол 
, при котором А = 0, В = 1 и = 0, 
= arcsin 
≈38°,7;
критический угол , при котором А = 1, В = 2 и
:
.
угол , при котором ReA = 0, ImA = ImB = ReB = 1 и
, 
:
≈49°,4.
Как видно из этих оценок, зона наибыстрейшего и наибольшего изменения спектральных коэффициентов рассеивания (СКР) и вторичных волн весьма узка: 
≈10,7. В интервале 
коэффициенты А и В возрастают на единицу: А от 0 до 1, В от 1 до 2. Затем, как только угол падения превысит критический, коэффициенты становятся комплексными. В интервале 
действительная часть А спадает от 1 до 0 (ReB от 2 до 1), а мнимая часть А и В возрастает от 0 до 1.
Вне зоны (
) коэффициенты рассеивания ведут себя более спокойно. При изменении 
от 0 до отрицательный коэффициент отражения уменьшается (по модулю) от - 0,25 до 0. В ближней к источнику зоне, при 
, СКР изменяются незначительно. Соответственно, и вторичные волны в этой зоне изменяются мало.
С увеличением различия свойств контактирующих на границе сред все особые точки (
) смещаются в сторону меньших углов падения, а интервалы между ними уменьшаются. Наоборот, для границ раздела сред с близкими упругими константами критический угол большой и углы отдалены от него.
Рис.10
Описание изменений СКР SH-волны иллюстрирует (рис.10), на котором построены графики 
и импульсоиды первичной волны и ее Гильберт-трансформанты, а также импульсоиды суммарных вторичных волн 
для различных углов падения. Так как ReB = ReA + 1, график 
снабжен второй осью ординат для 
со смещенной на 1 шкалой. График 
одновременно является и графиком 
.
Импульсоиды вторичных волн соответствуют углам падения, отмеченным на шкале оси абсцисс стрелками.
В заключение анализа отметим, что угол падения α определяет удаление х точки приема Р от точки возбуждения 0 (рис.11). Тангенс этого угла равен отношению половины удаления х/2 к эхо-глубине границы h: 
. Поэтому малые углы падения соответствуют ближней к источнику зоне, а большие - дальней.
Рис.11
Приведем оценки x/h, соответствующие особым углам для выбранных ранее параметров сред:
при 
≈38°,7 
≈1,6;
при 
;
при 
≈49,4 
≈2,33.
Добавим еще оценку границы ближней зоны:
при 
≈12,8 ≈0,46.
Таким образом, область наибольшей стабильности отраженной волны не превышает половины эхо-глубины границы. Наибольшие изменения этой волны начинаются на удалениях, в полтора раза превышающих глубину. В промежуточной зоне с ростом х изменения отраженной волны становятся все более существенными и заметными.
II. Расчётная часть
1. Падение SH-волны на кровлю низкоскоростной среды
Зададим три случая параметров среды - укажем их в таблице:
| Среда 1 | Среда 2 | Среда 3 | |||
| V1, км/с | 1,3 | V1, км/с | 2,0 | V1, км/с | 2,5 |
| ρ1, г/см3 | 2,2 | ρ1, г/см3 | 3,0 | ρ1, г/см3 | 3,5 |
| V2, км/с | 1,2 | V2, км/с | 1,2 | V2, км/с | 1,2 |
| ρ2, г/см3 | 2,1 | ρ2, г/см3 | 2,1 | ρ2, г/см3 | 2,1 |
Получим график спектрального коэффициента отражения A в зависимости от угла падения α1. В первом случае критический угол составляет α0 = 55˚, во втором - близок к α0 = 70˚, третий случай - α0 = 75˚.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
