182739 (685740), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

а₀ [х]+а₁[х²]+а₂[х³]+...+а_т[х^т+1]- [ху] = 0,

а₀ [х²]+а₁[х³]+а₂[х⁴]+...+а_т[х^т+1]- [х^2у] = 0, (3.1)

............................

а₀ [х^т]+а₁[х^т+1]+а₂[х^т+2]+...+а_т[х^2т]- [х^ту] = 0,

де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.

Для поліному третього порядку виду

y = ax³ + bx² + cx + d (3.2)

система нормальних рівнянь буде

dn + c[x] + b[x²] + a[x³] - [y] = 0,

d[x] + c[x²] + b[x³] + a[x⁴] - [xy] = 0, (3.3)

d[x²] + c[x³] + b[x⁴] + a[x⁵] - [x²y] = 0,

d[x³] + c[x⁴] + b[x⁵] + a[x⁶] - [x³y] = 0,

або

a[x⁶] + b[x⁵] + c[x⁴] + d[x³] – [x³y]= 0,

a[x⁵] + b[x⁴] + c[x³] + d[x²] – [x²y]= 0, (3.4)

a[x⁴] + b[x³] + c[x²] + d[x] – [xy] = 0,

a[x³] + b[x²] + c[x] + dn – [y]= 0,

В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3) або (3.4) одним із відомих в математиці способів.

1. Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь

Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти нормальних рівнянь.

Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь.

№ п/п	xоп	yіст	x˚	x2	x3	x6	x5	x4
1	1,393	18,021	1	1,941	2,703	7,307	5,246	3,766
2	1,969	13,864	1	3,878	7,636	58,316	29,614	15,038
3	2,060	13,167	1	4,244	8,742	76,424	37,099	18,009
4	2,449	11,986	1	5,997	14,687	215,713	88,084	35,968
5	2,506	10,898	1	6,281	15,740	247,737	98,854	39,445
6	2,700	8,949	1	7,291	19,686	387,521	143,520	53,153
7	2,901	8,101	1	8,419	24,427	596,663	205,640	70,874
8	3,071	7,108	1	9,429	28,952	838,204	272,976	88,900
9	3,120	5,939	1	9,734	30,369	922,284	295,611	94,749
10	3,431	2,965	1	11,768	40,372	1629,884	475,113	138,496
n=10	25,600	100,998	10	68,980	193,314	4980,054	1651,756	558,398

Продовження таблиці 4.

№ п/п	х3у	х2у	ху
1	48,7148	34,97037	25,10381
2	105,8723	53,76312	27,3015
3	115,107	55,87662	27,1243
4	176,0406	71,88419	29,35309
5	171,5309	68,44533	27,31149
6	176,1661	65,24388	24,16335
7	197,8805	68,19956	23,50499
8	205,7891	67,01892	21,82591
9	180,3622	57,80981	18,52923
10	119,7025	34,89342	10,17148
n=10	1497,166	578,105	234,389

Параметр S розраховується за формулою

S= x+x²+x³+x⁰-y (4.1)

Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча система нормальних рівнянь

10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,

25d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,

68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0, (4.2)

193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,

або

4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,

1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,

578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0

1. Рішення системи лінійних рівнянь способом Крамера

Нехай, маємо систему лінійних рівнянь

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_mx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b_2, (5.1)

………………………..

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=b_n.

Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі х_і , складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називається визначником системи рівнянь (5.1)

Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на х_і . В лівій частині будемо мати Δ х_і , в правій же частині введемо у всі члени і –го стовпчика визначника а_кі множник х_і

Після до і – го стовпчика визначника (5.3) додамо всі остальні стовпчики, помножені відповідно на х₁, х₂, ... , х_п . Величина визначника від цього не зміниться. Тоді і-й стовпчик представить собою ліву частину системи рівнянь (5.1).

Замінимо його вільними членами цієї системи і позначимо через Δ_і

Звідки:

(5.5)

Формула (5.5) дає можливість визначити кожне невідоме системи лінійних рівнянь (5.1).

Якщо вільні члени системи лінійних рівнянь рівні нулю, то вона буде системою лінійних однорідних рівнянь.

Система лінійних однорідних рівнянь може мати рішення відмінне від нульового, якщо визначник системи Δ рівний нулю.

Для системи чотирьох лінійних рівнянь

(5.6)

якщо визначник системи Δ не дорівнює нулю

(5.7)

то система визначена і по Крамеру її невідомі виражаються формулами

(5.8)

(5.9)

, (5.10)

, (5.11)

Як бачимо, що

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Приведемо формулу знаходження визначника четвертого порядку

(5.16)

І в нашому випадку

тоді невідомий коефіцієнт а при х³ буде

Невідомий коефіцієнт b при х²буде

;

і невідомий коефіцієнт с при х буде:

Характеристики

Список файлов книги