89008 (677950), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

.

Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ₊+. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).

Для действительных функций f(x) в формуле (2) нужна мнимая часть :

.

Используя обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [19], получаем следующее следствие:

.

Здесь S(x ) = {g Î S^2½ (x , g ) = 0), v производная по направлению x . Подставляя в (2.1.2) функции и , зависящие от параметра l , получаем формулу обращения, пригодную для построения численных алгоритмов:

(2.1.4)

Здесь S(x ) v окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости P(b ). Плоскость P(b ) проходит через начало координат ортогональна вектору b . Символ W (x ) означает интегрирование по окружности. Оператор L(b , D) означает дифференцирование функции в направлении вектора b :

,

при этом l , зависящее от b и x, остается фиксированным.

Как и выше, b = b (q , j ) = (cosq cosj , cosq sinj , sinq ), l = l (q , j ) = l (x, b ) такое, что скалярное произведение (x, b ) равно (b , g (l )) и (b , g ^/(l )).

В формуле (4) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов.

Замечание. А.С. Денисюком независимо и другим методом, без явного использования преобразования Фурье обобщенных функций, получены формулы обращения функции g⁺ в Rⁿ . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы, получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.

Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы восстановления функции f(x) = f(x₁, x₂, x₃) по ее лучевому преобразованию

Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение .

При фиксированном S функция является функцией в трехмерном пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности, такие что полностью определяется своими значениями на них (поверхности расположения приемников излучения).

Исходные данные в виде функции удобно использовать, если матрица приемников расположена на сфере. Однако в реальных ситуациях матрицу приемников обычно располагают на плоскости или поверхности цилиндра. В этих случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.

Плоский детектор.

Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s₁, s₂, s₃), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой уравнением xs₁ + ys₂ + zs₃ = -½ S½ . Плоскость P, определяется следующими условиями:

плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом координат;

плоскость P проходит через точку S= (s₁, s₂, s₃.)

Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем использовать прямоугольную систему координат (p₁, p₂), начало которой находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0, 0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s₁, s₂, s₃), то начало системы координат (p₁, p₂) в плоскости наблюдения находится в точке с трехмерными координатами -s₁, -s₂, -s_{3 =}- S.

При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.

Траектория в виде двух окружностей.

Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.

Направление оси p₂ в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.

Ось p₁ системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p₁. Если s₃ = 0, s₁ = r cosl , s₂ = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p₁ выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s₂/½ S½ , s₁/½ S½ , 0).

Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p₁, p₂), имеет следующие пространственные координаты:

x = -p₁ sinl - r cosl = -p₁ s₂ /½ S½ - s₁ ,

y = p₁ cos l - r sinl = p₁ s₁ /½ S½ - s₂ , z = p₂.

В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p₁, p₂) в плоскости регистрации с источником S.

Регистрируемая функция g_r(p₁, p₂, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x₁, x₂, x₃) вдоль луча исходящего из точки S = (s₁, s₂, s₃) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки

P = (-p₁ sin l - rcosl , p₁ cosl - r sinl , p₂ ) = (-p₁ s₂/½ S½ v s₁, p₁ s₁/½ S½ v s₂, p₂).

Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:

При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p_1, p₂) = (-p₁ sin l - rcosl , p₁ cosl - r sinl , p₂).

Итак, мы имеем соотношение между функциями g_r(p₁, p₂, l ) и :

,

.

Наряду с обозначением g_r(p₁, p₂, l ), мы будем использовать обозначения g_r(p₁, p₂, S(l )), g_r(p₁, p₂, S) и g_r(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p₁, p₂). Мы выразили функцию g_r(p₁, p₂, l ) через функцию = g⁺ (x , l ).

В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g⁺ (x , l ) = для того, чтобы использовать g_r(p₁, p₂, l ), регистрируемую в случае плоского детектора, нужно выразить g⁺ (x , l ) используя g_r(p₁, p₂, l ).

Для дальнейшего нам потребуются координаты (p₁, p₂) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s₁ + tx ₁, s₂ + tx ₂, s₃ + tx ₃). Эти координаты имеют вид:

.

.

Теперь мы можем выразить используя gr(p1, p2, l ):

= g+ (x , l ) = gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) / , -2½ S(l )½ 2x 3 / ,l ),

если < 0, = 0, если ³ 0.

Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:

g+ (P, l ) и = g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);

= g+ (x , l ) =

= gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) / , - 2½ S(l )½ 2x 3 / ,l ),

если < 0,

= 0, если ³ 0.

При переходе от функции g+ (x , l ) = к функции gr (P, S) интегрирование по окружности S(l ) в трехмерном пространстве заменяется на интегрирование по прямым линиям в плоскости регистрации. Отметим, что формулы обращения лучевого преобразования, использующие интегрирование вдоль прямых в плоскости регистрации.

4.3 Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования

Обобщенная функция это непрерывный линейный функционал на пространстве К всех функций a (x), имеющих производные всех порядков и финитный носитель (свой для каждой из функций α (x)). Любая регулярная интегрируемая функция f(x) задает линейный функционал (f, a ):

. (2.2.1)

Однако на пространстве функций K существуют непрерывные линейные функционалы, которые не могут быть заданы с помощью регулярных интегрируемых функций, наиболее известными примерами таких функционалов являются δ-функция и ее производные. Другим широко известным примером является функционал, основанный на функции (1/x)dx. Функция 1/x x является регулярной, однако она не является интегрируемой. При задании соответствующего функционала интеграл

(2.2.2)

понимается в смысле главного значения:

.

Такое понимание интеграла используется при определении преобразования Гильберта от функции α (x) как свертки с функцией 1/xx.

.

Преобразование Гильберта используется, в частности, в одной из формул обращения преобразования Радона в двумерном пространстве. Эта формула обычно приводится в руководствах по компьютерной рентгеновской томографии. Однако метод свертки и обратного проецирования, часто используемый при построении численных алгоритмов томографической реконструкции, основан на несколько другом виде формулы обращения преобразования Радона. В этом методе по существу используется свертка проекционных данных последовательностью функций сходящихся к 1/xx² в смысле обобщенных функций.

Линейный функционал, соответствующий функции 1/xx², или, что то же самое, обобщенная функция 1/xx² определяется формулой [19]

(2.2.3)

Интеграл в (2.2.3) сходится в обычном смысле для любой функции a (x) из пространства основных, и даже из более широкого класса, функций.

В формулах обращения преобразования Радона используется свертка данных с функцией 1/xx². Свертка обобщенных функций определяется следующим образом.

Пусть заданы два функционала f и g . Действие функционала f *g являющегося их сверткой, на функцию a из пространства основных задается формулой

(f *g, a )= (f_x, g_y, a (x + y))). (2.2.4)

Характеристики

Список файлов реферата