Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Характеристики значений выборки

На основе данных корреляционной таблицы можно посчитать все характеристики наблюдаемых значений выборки намного быстрее и проще, но они будут иметь некоторые отклонения от выборочных характеристик, посчитанных по формулам. Это объясняется уменьшением размеров рассматриваемых величин, которое происходит из-за разбиения их на интервалы.

Посчитаем числовые характеристики для Х и Y по корреляционной таблице.

М
атематическое ожидание для выборочной совокупности называется выборочной средней и находится по формуле:

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения:

В
ыборочным средним квадратичным отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Корреляционным моментом (ковариацией, смешанной дисперсией) случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

k_xy = M[(x – M(x))(y – M(y))].

К

оэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений этих величин: при условии

Для данной работы:

М*(X) = 1,57018; М*(Y) = 10639,18813;

D*(X) = 0,278051305; D*(Y) = 10313962,39;

* (X)= 0,527305704; *(Y) = 3211,53583.

r*_xy = 0,985735993; k*_xy = 1671,654574.

Графический способ анализа данных

В данной курсовой работе необходимо наглядно изобразить различные зависимости величин друг от друга. Одним из лучших средств визуального изображения зависимостей являются:

• диаграмма рассеивания;

• гистограмма рассеяния;

• полигон относительных частот

• линейная регрессия .

• эмпирическая функция распределения

Диаграмма рассеивания

Диаграмма рассеивания получается путем нанесения данных всех пар чисел (100) на координатную плоскость (см. приложение, рис.1).

Гистограммы рассеивания

Гистограммы рассеивания также являются одним из способов наглядного представления распределения значений случайной величины. В данной курсовой построены гистограммы рассеивания относительных частот для случайных величин Х (уровень радиации) и Y (количество лейкоцитов в крови человека). Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению p_i^*/n , (n –– общее количество точек). Приведем гистограмму относительных частот распределения уровня радиации и гистограмму относительных частот для количества лейкоцитов в крови человека (см. приложение, рис. 2, 3).

Полигон относительных частот — ломаная, соединяющая точки (x₁, W₁)…(x_n, W_n). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат — соответствующие им относительные частоты W_i. Приведены полигоны относительных частот распределения уровня радиации и количества лейкоцитов в крови человека (см. приложение, рис.4,5) Эмпирической функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x.

По определению, F*(x)=n_x/n, где n_x — число вариант , меньших x; n — объем выборки.

Функции распределения X и Y имеют вид (см. приложение, Рис. 6, 7).

Регрессионный анализ

Между переменными X и Y существует функциональная связь у = f(x), т.е. каждому значению аргумента Х соответствует единственное значение аргумента Y. Регрессия — зависимость среднего значения какой-либо величины Y от другой величины X. Понятие регрессии в некотором смысле обобщает понятие функциональной зависимости у = f(x). Только в случае регрессии одному и тому же значению x в различных случаях соответствуют различные значения y.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменения одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

По форме зависимости различают:

1). Линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой — линейной функцией вида: у =ax+b.

Если в результате n экспериментов точки на диаграмме рассеивания расположены таким образом, что прослеживается тенденция роста Y при росте X, то это предположение о линейной зависимости: у = f(x).

Эта зависимость определяется двумя параметрами — а и b. Подобрав эти параметры, можно получить уравнение регрессии.

2). Нелинейную (параболическую) регрессию: у =ах² +bх+с.

3). Полиномную регрессию

— полином первой степени: у =ах+b (линейная регрессия);

— полином второй степени: у = ах² +bх+с (параболическая регрессия);

— полином n-ой степени: y = a_nxⁿ + … + a₂x² + a₁x + a₀.

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости результативного признака (у) от факторных (x₁, x₂, …,_Xn).

Метод наименьших квадратов (МНК)

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии у = ах+b среднеквадратичной регрессии Y на X.

Это можно сделать с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Этот метод, применяется в теории ошибок, для отыскания одной или нескольких величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. МНК также используется для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным для обработки наблюдений.

Для того чтобы определить параметры a и b необходимо знать отклонения

(точки, находящиеся не на на прямой, а рядом). Суммарное отклонение будет равно:

где Y_iexp — экспериментальные точки (не обязательно лежащие на прямой), Y_iteor — теоретические точки (лежащие на прямой).

Ч
тобы все отклонения давали в суммарном отклонении положительные числа, надо возвести в квадрат эти отклонения:

где Δ — суммарное квадратичное отклонение, которое зависит от параметров а и b, Y_i — экспериментальные значения Y, ax_i + b — теоретические значения Y.

Лучшими параметрами а и b являются такие, которые минимизируют Δ, следовательно, среди бесконечного множества прямых, которых дает прямая у = ax + b, наилучшей является прямая с такими значениями параметров а и b, для которых Δ(а, b) принимает минимальное значение.

Чтобы найти эти значения параметров а и b, необходимо найти точку минимума функции Δ(а, b). Для этого берется производная

и рассматривается система двух уравнений, решения которой — значения a и b:

Для данных курсовой работы получаем:

a = 6041,9;

b = 1115,6.

Т.е. y = 6041,9x + 1115,6;

По тем же данным курсовой работы вычислим коэффициенты уравнения параболической регрессии.

Параболическое уравнение регрессии Y на X имеет вид

Неизвестные параметры A, B,C находят из системы уравнений:

Для данных курсовой работы получаем:

A=-69,58; B=6266,7; C=954,82.

т.е. y =–69,58x²+6266,7x+954,82

Линии регрессий на диаграмме рассеивания имеют вид (см. приложение, рис. 8, 9).

На рис.10 приложения — сравнение двух регрессий.

Какая регрессия соответствует исходным данным:

E₂=7,93079*10^-10

E₃=8,0945*10^-11

E₂>E₃ это параболическая регрессия.

Доверительный интервал

Доверительным называют интервал ( , где k= n-1 степеней свободы, s*— исправленное среднее квадратическое отклонение, — надежность оценки

Доверительный интервал для X.

Доверительный интервал для

Доверительный интервал для

Доверительный интервал для

Доверительный интервал для Y рассчитывается аналогично.

Проверка гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределений или о параметрах известных распределений. Нулевой называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей гипотезой называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложной называет гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Статистическим критерием называют величину К, которая служит для проверки гипотезы. Наблюдаемым (эмпирическим) значением критерия К_набл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам. Критической областью называют совокупность значений, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если К_набл принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Критическими точками k_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > k_кр , где k_кр — положительное число. Левосторонней называю критическую область, определяемую неравенством К < k_кр , где k_кр — отрицательное число. Двухсторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K<k₁, K>k₂, k₂>k₁.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и ищут критические точки, исходя из следующих соотношений:

1. для правосторонней критической области

P(K>k_кр) = α (k_кр>0);

1. для левосторонней критической области

P(K<k_кр) = α (k_кр<0);

1. для двухсторонней симметричной области

P(K>k_кр) = α/2 (k_кр>0), P(K<-k_кр) = α/2.

Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней (Дисперсия генеральной совокупности неизвестна).

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

где — исправленное среднее квадратическое отклонение. Величина T имеет распределение Стьюдента с k = n-1 степенями свободы.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: а=а₀ о равенстве неизвестной генеральной средней а гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе H₁: а≠а₀, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-1 найти критическую точку t_{двуст. кр}(α; k).

Если — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H₁: а>а₀, по уровню значимости α, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6 пункта 1 из списка литературы, и числу степеней свободы k=n-1 находят критическую точку t_{правост. к}.(α; k) правосторонней критической области. Если — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H₁: а<а₀ сначала находят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2) t_{правост. к}.(α; k) и полагают границу левосторонней критической области t_{левост. кр.}=– t_{правост. кр.}. Если , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если — нулевую гипотезу отвергают.

Для данной работы:

S= 0,526002;

1,467

α=0,05

a₀=1,5

k=99

T=-0,627373528

Правило 1.

а=1,5

t_{двуст. кр}(α; k)= t_{двуст.кр}(0,05;99)=1,99

— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т. е выборочная средняя 1,467 незначительно отличается от гипотетической генеральной средней a₀=1,5.

Правило 2.

a>1,5

t_{правост. кр.} (α; k)= t_{правост. кр.} (0,05; 99)=1,661

— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Правило 3.

a<1,5

t_{правост. кр.} (α; k)= t_{правост. кр.} (0,05; 99)=1,661

t_{левост. кр.}=– t_{правост. кр.}= – 1,661

— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Все параметры по Y находятся аналогично.

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательных интервалов (x_i, x_i+1) и соответствующим им частот n_i. Требуется, используя критерий Пирсона проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

Правило: Чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , причем .

2. Перейти к случайной величине , и вычислить концы интервалов , .

3. Вычислить теоретические частоты , где n — объем выборки; Р_i=Ф(z_i+1)– Ф(z_i) — вероятности попадания X в интервалы (x_i, x_i+1); Ф(Z) — функция Лапласа.

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого строят таблицу и находят значение критерия Пирсона . По таблице распределения

Вывод

Проведя обработку выборочной совокупности случайно отобранных статистических данных, мы получили некоторые оценки их параметров, а также выяснили, что данная выборка случайных величин имеет такую зависимость, что при росте значения X увеличивается и значение Y, т.е., переводя на тему курсовой работы. При увеличении радиации число лейкоцитов возрастает. Зависимость параболическая, поэтому Уравнение зависимости Y от X выглядит следующим образом:

y =–69,58x²+6266,7x+954,82

Список литературы

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 1998.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1977.

3. Чавлейшвили М. П. Курс лекций

4. Кабанова Е. И Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций.—Дубна, 1996.

5. Мазный Г. Л., Прогулова Т. Б. Методическое пособие к курсовому проектированию по высшей математике. - Дубна, 1996.

6. Радиация, ее влияние на организм человека. http://monax.ru/order/

7. Большая Советская Энциклопедия. Т.14. — М., 1973

Приложение

Рис 1. Диаграмма рассеивания

Рис 2 . Гистограмма рассеивания относительных частот для X

Рис. 3. Гистограмма рассеивания относительных частот для Y

Рис.4 Полигон относительных частот для X

Рис.5 Полигон относительных частот для Y

Рис6 Эмпирическая функция распределения Х

Рис.7 Эмпирическая функция распределения Y

Рис. 8. График линейной регрессии

Рис. 9. График параболической регрессии

Рис.10. Сравнение линейной и параболической регрессий

Дата	ФИО	Подпись
“____”__________200__г.	Березина И. В.
Дата	ФИО	Оценка	Подпись
“____”__________200__г.	Асс. Возвышаева Н.А.
“____”__________200__г.	Крейдер О.А.

22

Характеристики

Список файлов реферата