referat (675845), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вынужденные колебания с уче­том сопротивления среды.

Найдем закон движе­ния груза в условиях предыдущей задачи с учетом сопро­тивления среды, пропорционального скорости движения.

Решение

Как и выше, имеем

или положив , и

(13)

Однородным уравнением, соответствующим (13), является уравнение (3) с корнями характеристического уравнения (4). Предположим, что сопротивление среды невелико, т. е. . При этом общее решение однородного урав­нения имеет вид (5):

где . Это решение определяет свободные колебания, которые будут затухающими. Для отыскания вынужденных колебаний ищем частное решение в виде

Имеем:

Сравнивая коэффициенты, получаем систему

Так как

то

и

и мы находим частное решение

Преобразуем выражение следующим образом:
.

Обозначив

(14)

перепишем виде

(15)

Выражение

(16)

носит название сдвига фазы. Общее решение, как и в пре­дыдущей задаче, слагается из свободных колебаний [см. формулу (5)] и собственно вынужденных колебаний (15):

(17)

Первое слагаемое, как было сказано выше, определяет затухающие колебания, которые, особенно при большом , довольно скоро становятся мало ощутимыми. Что касается вынужденных колебаний (15), то их амплитуда (14) не зависит от времени и пропорциональна амплитуде Q периодического возмущения, так как . Она отли­чается от q множителем

(18)

характеризующим зависимость амплитуды вынужденного колебания от частоты возмущающей силы.

Определим максимум этой амплитуды. Для этого най­дем производную функции (18)

Положив , получим уравнение (случай р = 0 отбрасывается как невозможный), корень которого дает частоту внешних сил:

при которой, как показывает проверка достаточных условий экстремума, амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Максимальное значение амплитуды равно

(19)

Формула (19) показывает, что амплитуда колебаний тем больше, чем меньше п. При малых п частота р близка к частоте собственных колебаний k.

Решение (15) существует всегда, когда

В случае получаем p=k и n= 0, и уравнение (13) превращается в уравнение (11). Здесь вновь наступает явление резонанса, при котором, как было рассмотрено выше, вынужденные колебания имеют вид (12).

Характеристики

Список файлов реферата