DIP_II_5 (675839), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Вивчення починається з пригадування геометричного змісту похідної, лише потім можна перейти до вивчення нової теми.

Учень:

Геометричний зміст: Похідна функції f(x) в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х₀.

Тангенс кута нахилу дотичної називають кутовим коефіцієнтом

Функція може зростати або спадати на деякому проміжку (можна намалювати малюнок).

Вчитель:

Означення. Функція f(x) – називається зростаючою на проміжку  , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Означення. Функція f(x) – називається спадною на проміжку  , якщо для довільного x(а; b) , що x₁ x₂ виконується нерівність
f (x₁)  f (x₂).

Далі в звичайних класах формулюються ознаки зростання та спадання функції. При доведенні ознак використовується формула Лагранжа, тому в класах з поглибленим вивченням математики можна спочатку довести теорему Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна на а; b, та існує точка с(а, b), то f(а)-f(b)=f ^/(с)(b-а).

Доведення

Р озглянемо функцію f(x) що визначена на проміжку а, b та візьмемо  точку с, що с(а, b).

Дотична до графіка функції f (x) утворює кут  з додатнім напрямком осі ОХ.

Кут  - подібний куту ВАD.

ΔВАD – прямокутний, тому =tg()=f ^/(x).

Так як ВD=f(b)-f(а), а АD=b-а, тому
f ^/(c)= - отримали формулу Лагранжа.

Вчитель: Яким же чином за заданою функцією ми можемо визначити зростає вона чи спадає в даному інтервалі? Розглянемо ознаки зростання та спадання функції.

Ознака зростання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція зростає ні цьому інтервалі.

Ознака спадання функції:

Якщо функція f(x) неперервна і диференційовна в кожній точці інтервалу (x₁; x₂) і f ^/(x)  0 на цьому інтервалі, то функція спадає на цьому інтервалі.

(Доведення цих ознак можна провести в класах з математичним нахилом. При доведенні використовується теорема Лагранжа)

Вчитель: Для закріплення розв’яжемо приклад.

Приклад.

Як веде себе функція f(x)=x²-8x+12 на проміжках (-; 4)(4; +).

Д ослідження. Знайдемо похідну, критичні точки та дослідимо функцію на кожному з отриманих проміжків: f ^/(x)=2x-8; тобто x=4 і це є критична точка. На проміжку (-; 4) похідна має від’ємний знак, тому функція спадає, а на проміжку (4; +) похідна має додатній знак, тому функція на цьому проміжку зростає.

Ми отримали точку х=4, переходячи через яку похідна змінює знак , тобто в цій точці дотична паралельна осі ОХ, а це може бути лише в найвищій або в найнижчій точці. Таку точку називають точкою екстремуму. Похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто кутовий коефіцієнт рівний нулю.

Точки максимумів та мінімумів функції називають – екстремальними точками.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції в яких похідна рівна нулю або не існує – називаються критичними точками.

Вчитель: Виникає питання, а що необхідно для того, щоб існував екстремум функції в даній точці ?

Вчитель: Сформулюємо та доведемо Необхідну умову існування екстремуму функції в точці. (Терема Ферма)

Якщо функція f(x) - неперервна і диференційовна на (а, b) і в точці
x₀ (а, b) має екстремум, то похідна функції в цій точці рівна нулю
f ^/(x)=0 .

Доведення

Так як функція диференційовна в кожній точці (а, b), то на цьому інтервалі існує похідна. Якщо на (а, х₀) похідна f ^/(x) 0 – функція зростає, а на (х₀, b) похідна f ^/(x) 0 – функція спадає (або на (а, х₀) – функція f(x) спадає, а на (х₀, b) – функція f(x) зростає), значить в точці х₀ – функція має конкретне значення максимуму або мінімуму, тому похідна рівна нулю f ^/(x) = 0.

Вчитель: Переходимо до розв’язування прикладів.

Дослідити на екстремуми функцію:

f(x)=2х³-9х²+12х-8.

Знайдемо похідну функції:

f ^/(x)=6х²-18х+12;

f ^/(x)=0;

Відшукаємо критичні точки:

6х²-18х+12=0;

х²-3х+12=0;

Критичні точки:

х₁=1; х₂=2.

Н аносимо критичні точки на координатну вісь і перевіряємо знак на кожному з отриманих проміжків.

f ^/(1)= -3; - максимум функції

f ^/(2)= -4. – мінімум функції.

Тепер викликаю учня до дошки.

Дослідити на екстремуми функцію: f(x)=х²+2х-2.

Учень:

Знайдемо похідну функції: .

Прирівняємо до нуля і відшукаємо критичні точки:
;
- критична точка.

Нанесемо точку на координатну вісь і перевіримо знаки на отриманих інтервалах та . На інтервалі похідна приймає від’ємні значення, а на інтервалі - додатні, тобто точка - є точкою мінімуму. І значення функції в ній дорівнює .

Даємо домашнє завдання.

Знайти проміжки зростання і спадання наступних функцій

1. f (х) = 2х³-9х²+12х-15,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

При поясненні даної теми на уроці використовувався цілий ряд методів навчання: основними методами пояснення нового матеріалу на уроці були пояснювально-ілюстративний (коли необхідно було графічно пояснювати процеси спадання і зростання функцій) і абстрактно-дедуктивний метод (доведення ознак і теорем). Також використовувався репродуктивний метод (учням пропонують доводити певні ознаки або теореми самостійно). Для кращого та дохідливого пояснення нового матеріалу на уроках краще використовувати декілька методів, це сприяє не просто розумінню матеріала, а і кращому запам’ятовуванню за рахунок активізації декількох аналізаторів: слуху, зору та підтримання постійного контакту з учнями під час уроку.

ЛІТЕРАТУРА

1. Махмутов М. Й. Проблемноє обучение. -М.: Педагогика, 1975. – 240 с.

2. Методи обучения математике / Под ред. А. А. Столяра. –Минск.: Висш. шк.,1981. – 398 с.

3. Г.П.Бевз. Методика викладання математики. 3-видання. -К.: Вища школа, 1989. – 352 с.

4. Н.В.Богомолов. Практические занятия по математике. – 3- е издание. -М.: Высшая школа , 1990. –495 с.

5. Методика викладання математики в середній школі: Навч. посібник для пед. інститутів за спец. 2104 “Математика” і 2105 “Фізика”: Пер. з рос. /О.Я.Блох, Є.С.Канін, Н.Г.Килина та ін.; Упоряд. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. – Х.: Видавництво “Основа”. 1992. – 304 с.

6. Г.М.Литвиненко, Л.Я.Федченко, В.О.Швець. Збірник задач для екзамену з математики на атестат про середню освіту: Частина І. –Львів.: ВНТЛ, 1997.-93 с.

7. З.І.Слєпкань. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. Спеціальностей пед. навч. Закладів.-Київ.: Зодіак-ЕКО, 2000.-512 с.

8. Л.О.Соколенко. Прикладна спрямованість шкільного курсу алгебри і початків аналізу: Навчальний посібник. -Чернігів: Сіверянська думка, 2002.- 128 с.

9. М.И.Каченовский. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.– 464 с.

10. М.І.Шкіль, З.І.Слепкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу
    10-11 кл. – Київ.: Зодіак-ЕКО, 1998. – 608 с.

11. Колягин Ю.М. и др.. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Колягин Ю.М., Оганесян В.А.,
    Саннинский В.Я., Луканкин Г.Л. М.: Просвещение, 1975. – 320 с.

12. Репьев В.В. Общая методика преподавания математики. М.: УПГ, 1958. – 306 с.

13. Лоповок Л.М. Збірник задач для 9-10 класів.: Дидактичні матеріали для вчителів. – К.: Рад. шк., 1984. – 120 с.

14. Дубинчук О.С., Слепкань З.И. Преподавание математики в средних ПТУ (1-й год обучения). – К.: Вища школа. Голов. изд-во, 1985.
    – 112с.

15. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів серед. шк./ А.М.Колмогоров, О.М.Абрамов, Ю.П.Дудніцин та ін.; за ред. А.М.Колмогорова. – К.: Освіта, 1992. – 350 с.

16. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 350 с.

17. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 228 с.

52

Характеристики

Список файлов реферата