decart list (675742), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше­ниях с параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида яв­ляется подэрой параболы относительно ее вершины.

– уравнение данной параболы. Уравнение каса­тельной в произвольной точке М (, ) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра, опущенного из

Рис. 4.

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр , мы получим уравнение

выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу коор­динат относительно касательной к параболе у² = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, определятся формулами

Исключая из этих равенств параметр , мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее каса­тельных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рас­сматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возни­кает новый способ кинематического образования циссоиды как тра­ектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга; действительно,

Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма.

Рис. 5.

Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоя­щее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограни­ченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производя­щего круга вокруг оси ординат, равняется то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вра­щения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с — абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2х_с, где V и U—соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограни­чиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По тео­реме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды во­круг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле

3. Применение циссоиды к решению делосской задачи. Как уже говорилось, циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внуше­нием математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с пло­щадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при­писывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Воз­можность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следую­щих соображений. Пусть b – ребро данного куба, а В – ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Пе­репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)

и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удо­влетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из фор­мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая нахо­дится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза­висимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

Рис. 6

Кардиоида

1. Уравнение. Кардиоиду можно определить как траекторию точ­ки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по ок­ружности неподвижного круга с таким же радиусом. Она будет представ­лять собой, таким образом, эпициклоиду с модулем m, равным 1.

Это обстоятельство позволяет сразу же записать параметрические уравнения кардиоиды, заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей. Будем иметь:

(1)

Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.7), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как че­тырехугольник AOO₁M бу­дет равнобедренной трапе­цией, то полярный угол  точки М окажется равным углу поворота производя­щего круга, т. е. парамет­ру t. Учитывая это обстоя­тельство, заменим во вто­ром уравнении системы (1) у через  sin t. Сокращая по­лученное таким образом ра­венство на sin t, получим полярное уравнение кардио­иды

Рис. 7

По виду этого уравнения

можно заключить, что кардиоида является одной из улиток Па­скаля. Она может быть определена, следовательно, как конхоида круга.

Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат, получим:

(3)

Из этого уравнения следует, что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка.

2. Свойства. Прежде всего, поскольку кардиоида является эпи­циклоидой с m=1, на нее можно перенести все свойства рассмот­ренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид.

Вот эти свойства и характеристики.

1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противопо­ложную точке касания кругов, а нормаль — через точку их касания.

2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью. Действительно

Из этого соотношения непо­средственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардио­иде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.8). Располагая формулой можно доказать, что касательные к кардиоиде, проведенные в концах хорды, проходящей через полюс, взаимно перпендику­лярны.

Действительно, так как

Характеристики

Список файлов реферата