Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пример анализа рассуждения «(это преступление совершено в Кустанае  q). (Петров во время совершения преступления находился в Ростове  r). Следовательно (Петров не совершал этого преступления  p)».

qrp – не тавтология

«Преступление совершено в Кустанае. Поэтому если Петров совершил это преступление, то (он во время совершения преступления находился в Кустанае s). Но Петрова в это время в Кустанае не было. Значит, Петров не совершал этого преступления».

q(qps)p = … = 1 – тавтология т.е. рассуждение правильное.

Рассуждение останется правильным, если из него выбросить первое предложение и ссылку на него во втором предложении:

(ps)sp = +p = +p = p + s +p = 1 + s = 1

Задача. Выяснить, кто из четверых виновен на основе информации «Петров виновен, только если виновен Кулагин. Неверно, что виновность Родионова влечет виновность Сидорова и что Кулагин виновен, а Сидоров нет».

p, q, r, s – виновен Петров, Кулагин, Родионов, Сидоров.

(pq)(rs)(qs) = (p + q) = (p + q) rs(q + s) = (p + q)r sq = pq rs

т.е. Родионов виновен, остальные не виновны.

Задача Кислера. Обвиняемые в подделке налоговых документов Браун, Джонс и Смит дают под присягой такие показания.

Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен.

Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит.

Смит: Я не виновен, но хотя бы один из них двоих виновен.

Вопрос 1: Совместимы ли данные показания?

Вопрос 2: Какое показание следует из другого?

Вопрос 3: Если все виновны, то кто лжесвидетельствует?

Вопрос 4: Если все сказали правду, то кто виновен?

Вопрос 5: Если невинный говорит правду, а виновный лжет, то кто виновен, а кто невиновен?

Б – виновен Браун.

Д – виновен Джонс.

С – виновен Смит.

1. Да, только за счет третьей строки.

2. Из первого третье.

3. Браун и Смит.

4. Джонс виновен, остальные невиновны.

5. Джонс невиновен, остальные виновны.

Тема 4. Кванторная логика.

или логика предикатов является расширением пропозициональной логики путем изучения операций , . Из определения этих операций следует, что значения высказываний хp, хp, понимаются соответственно как конъюнкция p₁p₂p₃… и дизъюнкция p₁p₂p₃… значений высказывания p для всевозможных значений переменной х. Высказывание p называется кванторологически истинным при любой интерпретации.

Из определений следует, что тавттологически истинное высказывание является кванторологически истинным. Обратное вообще говоря не верно: высказывание хpхp является кванторологически истинным, но не является тавтологически истинным.

Истинностная таблица.

Истинностная схема.

Высказывание q называется кванторологическим следствием (из) высказываний р₁,…,p_n, если p является истинным в любой интерпретации, в которой истинными являются p₁,…,p_n.

Вхождением переменной  в высказывание p называется связанным, если оно является вхождением в некоторое подвысказывание вида х(q) или вида х(q); в противном случае это вхождение называется свободным.

Например, первое и второе вхождения ₁ в высказывание

((g (₁))(g (₁, ₂)))( ₁(g (₁)))

являются свободными, а третье и четвертое – связанными.

Через р{х, а} обозначается результат подстановки терма, а вместо всех свободных вхождений переменной х в высказывание р, причем, если при такой подстановке все вхождения переменных из а остаются свободными, то терм а называется допустимым заменителем для х в р. Например, терм f (₅) является допустимым заменителем для ₆ в высказывании g ((₅, (₆), и не является

допустимым заменителем для ₆ в высказывании ₅ (g (₅, ₆)). Высказывание р называется замкнутым (открытым), если оно не имеет свободных (связанных) вхождений переменных.

Теорема о всезначности переменной: р = И тттк хр = И

Теорема об отрицании обобщения и подтверждения:

хр равносильно хр

хр равносильно хр

Теорема о взаимоисключении кванторов:

хр равносильно хр

хр равносильно хр

Теорема о перестановочности кванторов:

хур равносильно ухр

хур равносильно ухр

Типовые кванторы. Запись _qхр обозначает высказывание х(qр), а запись _qхр обозначает высказывание х(qр).

Теорема о равносильной замене: пусть q есть результат замены в высказывании р какого-либо вхождения подвысказывания r₁ на высказывание r₂; тогда если r₁ и r₂ равносильны, то р и q тоже равносильны.

Позитивным высказыванием называется такое, которое не имеет вхождений знака . Позитивной формой высказывания р называется любое равносильное ему позитивное высказывание .

Теорема о позитивной форме: если отрицания предикатных компонент высказывания р имеют равносильные себе предикаты, то р равносильно некоторому позитивному высказыванию q; высказывание q можно построить с помощью теоремы о равносильной замене, теорем об исключении операций ,  и теорем об отрицании для операций , , , , .

Пример построения позитивной формы отрицания высказывания: «для каждого положительного числа е существует положительное число  т.ч. для каждого числа х из х< следует, что х<е или х1».

ех(х<х<ех1 = eх(х<х1) = « существует положительное число е т.ч. для каждого положительного числа  существует число х т.ч. х< и хe и х>1».

Теорема о выводе в логике предикатов: нижеследующие шесть правил преобразования высказываний образуют достаточный набор правил вывода в логике предикатов т.е. р₀ является кванторологическим следствием из p₁,…,p_n тттк р₀ может быть получено из р₁,…,р_n с помощью этих шести правил:

 t – правило тавтологии

 s, s  r, r – правило отделения

хрp{x, a} – правило обобщения

 p{x, a}  xp – правило подтверждения

 qr, q хr – правило общевнесения

 rq,  xrq – правило сущевнесения

где t есть тавтология, q не имеет свободных вхождений x, терм а является допустимым заменителем для х в р. Теорема не исключает случай n = 0.

Тема 5. Эгалитарная логика

или логика предикатов с равенством, т.е. с двухместным предикатным символом g²_0, который интерпретируется как знак равенства. Т.о. в эгалитарной логике предикат g²₀(a, b) выражает то, что мы привыкли выражать в виде a = b и понимать как констатацию того, что объекты с обозначениями a, b являются одинаковыми, равными, неотличимыми, идентичными. Эгалитарной интерпретацией формального языка называется такая, в которой g интерпретируется как знак равенства. Запись p₁, …, p_n│=q_{1, …}, q_m означает, что каждое из высказываний q_{1, …}, q_m является логическим следствием из высказываний p₁, …, p_n т.е. что оно является истинным в любой эгалитарной интерпретации, в которой оказываются истинными p₁, …, p_n. Высказывание p называется логически истинным, если │=p т.е. если p является истинным в любой эгалитарной интерпретации.

Правилами тождества, равенства, неотличимости называются следующие три правила соответственно:

g (x, x)

g (x_1, y₁)… g (x_n, y_n)g (f(x_1, …, x_n), f(y_1, …, y_n))

g² (x_1, y₁)… g (x_n, y_n)(g f(x_1, …, x_n)(y_1, …, y_n))

Теорема об эгалитарной замене: пусть q есть результат замены в p некоторых вхождений терма a термом b; тогда если выражение g²₀(a, b) является истинным, то p равносильно q.

Теорема о транзитивности логического следствия: если p₁, …, p_n│=q₁, _…, q_m и q₁, …, q_m│= r_{1, …}, r_e, то p₁, …, p_n│= r_{1, …}, r_e.

Теорема о расширении списка гипотез: если p₁, …, p_n│= q, то p₀, …, p_n│= q.

Теорема дедукции: если высказывания p₁, …, p_n являются замкнутыми, то p₁, …, p_n│= p тогда и только тогда когда = p₁… p_np.

Теорема о конъюнктивизации гипотез: p₁, …, p_n│= p тттк p₁…p_n│= p.

Теорема о выводе в эгалитарной логике: правила тавтологии, отделения, обобщения, подтверждения, общевнесения, сущевнесения, тождества, равенства, неотличимости образуют достаточный набор правил вывода в эгалитарной логике, т.е. p₁, …, p_n│= p тттк p может быть получено из p₁, …, p_n с помощью этого набора правил.

Теорема о сравнительной силе выводов. Если p является тавтологическим следствием из p₁, …, p_n, то p является кванторологическим следствием из p₁, …, p_n. Если p является кванторологическим следствием из р₁,…,р_n, то p является логическим следствием из р₁,…,р_n.

Алгоритм – это…

Теорема о неразрешимости проблемы логического следствия (логической истинности): нельзя придумать алгоритм, который для любых высказываний p₀, …, p_n позволял бы разрешить вопрос о том, является или нет p₀ логическим следствием из p₁, …, p_n. Полезно обратить внимание на то, что проблема тавтологического следствия является разрешимой с помощью истинностных таблиц.

Замечание последние семь теорем не исключают случай n = 0.

Замечание если не оговорено противное, слово логика понимается как эгалитарная логика.

Тема 6. Формальные теории

предназначены для четкого изложения и развития тех или иных отраслей человеческих знаний. Задать формальную теорию – значит задать ее функциональные и предикатные символы, а также аксиомы, т. е. некоторые из высказываний, которые являются истинными в данной отрасли знаний. Развивать формальную теорию – значит пополнять запас ее теорем, т. е. таких высказываний, которые являются логическими следствиями аксиом.

Изложение любой формальной теории в принципе можно оформить в виде книжек с доказательными текстами:

Здесь штрих-пунктирная линия обозначает пояснение о том, с помощью какого правила порождения получено соответствующее знакосочетание. Для удобства таких пояснений знакосочетания a₁,…, t_n нумеруются последовательно от 1 до k+е+m+n. Вспомним, что правила порождения теорем являются правилами вывода, что конечная индуктивная последовательность теорем является доказательством и что следующие девять правил, называемых основными, образуют достаточный набор правил вывода из аксиом: правила тавтологии, отделения, обобщения, подтверждения, общевнесения, сущевнесения, тождества, равенства, неотличимости.

Такая форма изложения делает доказательство легко проверяемым, но практически не применяется из-за ее громоздкости.

Способы более компактного изложения формальной теории.

1. Последовательность a₁,…, r_e не записывается, потому что при достаточном навыке термы и формулы распознаются без построения их индуктивных последовательностей.

2. В последовательность t₁,…, t_n включаются теоремы из других доказательных текстов.

3. Для двухместного функционального или предикатного знака v используется операционная форма записи: вместо v(a,b) пишут (a)v(b).

4. При операционной форме записи принимается соглашение об упразднении некоторых пар скобок в соответствии с соглашением об убывании силы связи в последовательности: одноместный функциональный знак, двухместный функциональный знак, одноместный предикатный знак, двухместный предикатный знак, логический знак.

5. Используются специальные начертания для функциональных и предикатных знаков. Например в теории чисел: 0, 1, 2, 3 - нульместные функциональные знаки; , sin, cos - одноместные функциональные знаки; +, -, ,  - двухместные функциональные знаки;     - двухместные предикатные знаки.

6. Используются знаковые фигуры. Например, _х=3х обозначает сумму 3+4+5.

7. Вводится определяющая аксиома g(х₁,...,х₁₁) р для нового n-местного предикатного символа g. Здесь переменные х₁,...,х_n попарно различны, а высказывание р не имеет свободных вхождений переменных, отличных от х₁,...,х_n.

8. Вводится определяющая аксиома рх, ( х₁,...,х_n) для нового n - местного функционального символа  в тех случаях, когда формула рх является теоремой. Здесь переменные х, х₁,...,х_n попарно различны, а р не имеет свободное вхождение переменных, отличных от х, х₁,...,х_n.

Теорема об определениях: если теория Т₂ получена из теории Т₁ путем добавления определяющей аксиомы для нового функционального или предикатного символа v то для каждой теоремы теории Т₂ существует равносильная ей теорема теории Т₁.

9. Кроме девяти основных применяются дополнительные правила вывода, например правило отделения конъюнкта  pg, р и правило присоединения дизъюнкта р, pg.

10. Применяются известные методы доказательства. Обоснование таких методов дается в учебниках логики. Например метод доказательства от противного основан на следующей теореме.

Теорема о доказательстве методом от противного: если формальная теория Т₂ получена путем добавления аксиомы р к аксиомам теории Т₁ и если формулы q, q являются теоремами теории Т₂, то формула р является теоремой теории Т₁.

Формальная арифметика формализует систему знаний о целых неотрицательных числах, использует в качестве исходных четыре функциональных и два предикатных знака

				g	g
0	1	+		=	

интерпретируемых в соответствии с их известными со школы специальными начертаниями, имеет такие аксиомы

1=0

х + 1= y +  x = y

x + 0 = x

x + (y + 1) = (x + y) + 1

x0 = 0

x(y + 1) = xy + x

x  0

x  y + 1  x  y  x = y

p x, 0(px, x + 1) p

Здесь при записи аксиом использованы ранее перечисленные соглашения о компактизации изложения и известное соглашение о том, что знак умножения связывает сильнее знака сложения. Если такие соглашения не принимать, то к примеру первую аксиому следовало бы записать в виде (g ( , )).

Пример определяющих аксиом для новых нульместных функциональных знаков 2, 3, 4, 5 и новых двухместных предикатных знаков ,    :

2 = 1 + 1	12  2<1
3 = 2 + 1	12  1  2  1 = 2
4 = 3 + 1	12  1  2  1 = 2
5 = 4 + 1	12  1 = 2

Заметим, что знак  можно было бы не включать в перечень исходных знаков формальной арифметики, а ввести его с помощью определяющей аксиомы ₁₂  ₃(₃ = 0  ₁+ ₃ = ₂).

Пример доказательного текста в формальной арифметике (k = 3, е = 6, m = 1, n = 3):

1	 ----------------------------------------------	Константа
2		Константа
3	1	Переменная
4	g ( ,  )	Предикат от 2,1
5	(g ( ,  ))	Отрицание 4
6	g (1,  )	Предикат от 3,1
7	(g (1,  ))	Отрицание 6
8	1(g (1,  )))	Подтверждение 7 по 1
9	((g ( ,  )))1((g (1,  ))))	Импликация 5,8
10	(g ( ,  ))	5: аксиома
11	(( g ( , )))1((g (1, ))))	9: пр. подт. 7, 1, 2
12	(g ( ,  ))	5: аксиома 10
13	1(( g (1,  )))	8: пр. отделения для 12, 11

Компактизированный текст:

11	1 = 0 11 = 0	Правило подтверждения
12	1 = 0	Аксиома
13	11 = 0	Правило отд. для 12, 11

Словесный вариант: «Если единица не равна нулю, то тем самым существует не равное нулю число. Но единица не равна нулю. Следовательно, существует число, не равное нулю».

Тема 7. Множества и функции.

В этой теме A, B, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X₁, Z₁,…, X_n, Y_n, Z_n обозначают попарно различные переменные. Множество – это совокупность различных объектов, мыслимая как единый новый объект. Различные объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Соотношение xA означает, что объект х есть элемент множества A. Отрицание соотношения xA записывается в виде xA. Соотношение АВ означает, что А есть подмножество множества В, т.е. что каждый элемент множества А является элементом множества В. Отрицание соотношения АВ записывается в виде АВ. Множество, элементами которого являются все те и только те объекты вида а, для которых истинно соотношение p, обозначается через ap. Множество xA(xA)} называется пустым множеством и обозначается символом Ø. Множество {x|x = x₁…x = x_n} обозначается через {x₁,…,x_n}. Множество {x|xAxB} называется объединением множеств А, В и обозначается через АВ. Множество {x|xAxB} называется пересечением множеств А, В и обозначается через АВ. Множество {x|xAxB} называется дополнением множества В относительно А или результатом удаления из множества А элементов множества В и обозначается через А\В.

Простейшие теоремы: 3{9, 7, 3}, {x+5x² = 4} = {3, 7], AA, AA, …

Обозначения для некоторых множеств:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

R - множество действительных чисел

Упорядоченная n-ка объектов x₁,…,x_n обозначается через (x₁,…,x_n) и определяется так: (x₁) = x₁

(x₁, x₂) = {{x₁}, { x₁, x₂}}

(x₁, x_2, x₃) = ((x₁, x₂), x₃)

(x₁, x_2, x₃,x₄) = ((x₁, x₂, x₃), x₄)

………………………………..

Упорядоченная n-ка называется еще n-мерным упорядоченным набором, вектором, точкой, кортежем. Объект x₁ называется k-той компонентой или координатой n-мерного набора (x₁,…,x_n) и обозначается через koor (x₁,…,x_n). Множество x₁,…,x_n x₁z₁… x_nz_n} называется декартовым произведением множеств z₁,…,z_n и обозначается через z₁…z_n. Если А - множество упорядоченных n-ок, то множество x_k(x₁,…,x_nA} называется k-той проекцией n-мерного множества А и обозначается через π А. Через Аⁿ обозначается множество А…А (n множителей). Соглашение: знаки , , связывают сильнее чем , \.

Простейшие теоремы: (x₁,…,x_n) = (y₁,…,y_n) x₁= y₁… x_n= y_n, (9, 9, 9) (9, 9),  (ABCDE) = C, {5. 7}² = {(5, 5), (5, 7), (7, 5), (7, 7)}, koor (5, 7, 9) = 9, koor (5, 7, 9) = koor (5, 7, 9) = koor (5, 7, 9) = H, {7}{8, 5}{9} = {(7, 8, 9), (7, 5,9)}. {4}⁵ = {(4, 4, 4, 4, 4)},  {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 4)} = {2, 3}. ABC = (AB)C.

Функцией называется множество, любой элемент которого есть упорядоченная двойка. Множество π F называется областью определения или доменом функции F и обозначается dom F. Множество π F называется областью значений или ранжиром функции F и обозначается ran F. Если (x,y)F, то y называется значением функции F в x и обозначается F(x). Если А domF, то множество {yA(x, y)F)} называется образом множества А относительно функции F и обозначается FА. Функция F в случае dom F = A и ran FB / ranF=B называется еще отображением множества А в/на множество В. Запись F:АВ означает что F есть отображение множества А в множество В. Функция F называется сужением функции G (на множество dom F), а функция G называется расширением функции F (на множество dom G), если F есть результат удаления из G всех тех (x, y), для которых x dom F. Если F есть функция, то {(y, x) (x, y)F} тоже есть функция, называемая обратной по отношению к F. Очевидно, что если функция G является обратной по отношению к функции F, то F является обратной по отношению к G. Если dom F есть множество упорядоченных n-ок, то функция F называется n-аргументной и вместо F((x₁,…,x_n)) используют более короткое обозначение F(x₁,…,x_n). Функция F называется однозначной, если из (x, y)F и (x, z)F следует y=z. Функция называется взаимно однозначной или биективной, если она сама и обратная к ней функция являются однозначными. Последовательностью называется однозначная функция F т.ч. dom F = N. Если F есть последовательность и nN, то F(n) называется n-м членом последовательности и обычно обозначается через F_n.

Множество А называется бесконечным, если существует биективное отображение множества N в множество А. Множество называется конечным, если оно не является бесконечным.

Простейшие теоремы: cos(0)=1, cos{0} = {1}, Аrccos и cos обратны друг к другу, функция arccos не является обратной к cos и является обратной к сужению функции cos на множество ran arccos.

ЗАДАЧНИК-МИНИМУМ ПО ЛОГИКЕ

В квадратных скобках дается ответ к задаче, Д означает ДА, Н означает НЕТ, все высказывания о числах в задачах 1.1 – 6.4 являются арифметическими, т.е. высказываниями о целых неотрицательных числах.

1. Указать истинное значение для высказываний 5=5, 55, 55, 55, 55, 55, Х0, Х+25, Х+Х6, Х-Х=0, Х0, X+Z=Z+X [ИЛЛИИЛЛППИИИ] и для каждых двух соседних высказываний выяснить, являются ли они равносильными [НДНДНДНДНДД].

2. Для каждой из трех последовательностей 2, 3; 3, 2, 4, 5; 3, 2, 3, 6 выяснить, является ли она индуктивной относительно набора правил 3; Х, Х-1; Х,Z,X+[НДД].

3. Выяснить, являются ли аb, ab+3; ab, b0, a0 правилами вывода [ДД].

2.1 Для каждого из пяти знакосочетаний ;  g ; f f f ; ₄₈ f g ;  выяснить следуют ли в нем его знаки в алфавитном порядке [ДНДНД].

2.2 Для терма f (f (₁), f _, f (f _, _1, f (f ))) составить индуктивную последовательность термов [f _, _1, f (f ), f (f , _1, f (f ) f (f (₁), f _, f (f _, _1, f (f )))].

2.3 Пусть p, q, r обозначают нульместные предикаты. Для высказывания pqrpqr составить индуктивную последовательность высказываний [p, q, r, (q), ((q)(r), (p)(((q))(r)), (q)(r), (p)((q)(r)), ((p)(((q))(r)))((p)((q)(r)))].

2.4 Для высказывания ₅g (₁, f (₂), ₁) составить индуктивную последовательность термов и высказываний [₁, ₂, f (₂), g (₁, f (₂), ₁), ₅ (g (₁, f (₂), ₁))].

2.5 Для каждого из семи обозначений а: f (a), g (a), g (a, b); Z; Xg (X, X, Z); Xf (X, X) выяснить, обозначает ли оно: Терм, Высказывание, Ни-то-ни-другое [TTBHTBH].

2.6 Для каждой из шести скобочных диад в высказывании ((p)(q))((r)(s)) выяснить можно ли ее отбросить без нарушения смысла данного высказывания [HДДДДД].

2.7 В высказывании pqrp восстановить все скобки [(p)((q)(((r))((p))))].

2.8 В высказываниях pqrprp, pq(rpr)p восстановить все скобки с помощью нумерации логических знаков и скобок в порядке их восстановления.

((p)(((q))(r)))(((p)(r))((p))), (p)((((q))((r)((p)(r)))((p)))

76p666422q2444r4677753p333r355511p1577p77776544q45552r2221p111r12566633p367

2.9 Пусть p обозначает высказывание (₁₂g (_2, f (₁, ₂)))g (f , f (₂))g g (₁). Индукцией по построению высказывания определить его истинностное значение на универсуме при такой интерпретации функциональных и предикатных знаков.

f	g		X	f (X)	g (X)		X	Y	f (X, Y)	g (X, Y)
3	И		3	4	Л		3	3	3	И
			4	3	И		3	4	4	И
							4	3	4	И
							4	4	4	Л

Ответ:

2	p
3	Л
4	И

2.10 Указать истинностные значения высказываний 22Х3, Х3+4Х9, 7Х9Х=8, Х3Х3, Х(Х3)5=3, ₁₂(₂₁), ₂₁ (₂₁) [ИПИИИЛИ].

2.11 Для каждого из правил p, q, r, pqr; p, pp; pp, p ; pq, p, q; p, p; p, XP; XP, P; P, XP; XP; P выяснить является ли оно правилом вывода [ДДНДДДНДД].

2.12 Для каждого из высказываний g (a), X g (X,C), X(g  g ), Xg  g , g ,  g , g  g , g выяснить, является ли оно: предикатом [ДНННДННД], элементарным высказыванием [ДДДНДННД].

2.13 Для высказывания X(g  g (X))g записать: все его компоненты [g , g (X), g g (X), X(g g (X)), X(g  g (X))g ], все его элементарные компоненты , все его пропозициональные компоненты [g , X(g g (X))], все его предикатные компоненты [g , g (X)].

2.14 Записать все пропозициональные компоненты высказываний XPZP, XPZP. [XP, ZP – если X, Z различные переменные, _nP – если X, Z обозначают одну и ту же переменную _n].

3.1 Вычислить:

ИЛИЛИИЛИЛИЛИЛИЛИЛИИЛ

[И].

3.2 Выяснить, является ли высказывание pq(rs)(pqrs) тавтологией [Д].

3.3 Пусть p, q, r – различные элементы высказывания. Для каждого из высказываний prqp, pr, rpq выяснить, является ли оно тавтологией [ДНН] и является ли оно тавтологическим следствием двух других [ДНД].

3.4 Решить истинностное уравнение (pq)qp= Л с двумя неизвестными p, q [Л, Л].

3.5 Из p, q, r составить высказывание, истинное только при p=q=r

(pq) (qr).

4.1 Пусть Р обозначает g (x). Для каждого из высказываний pXP, XP P, XPP выяснить является ли оно кванторологически истинным ДНН и является ли оно кванторологическим следствием двух других ДДН.

4.2 Для каждого вхождения переменной в высказывание из задачи 2.9 выяснить, является ли оно свободным или связанным связанное, связанное, связанное, связанное, свободное, свободное.

4.3 Записать обозначенное через ₃g (_3, ₄) ₄, (₃) высказывание ₃g (_3,  (₃)).

4.4 Пусть P обозначает высказывание ₃g (_6, ₃) ₆g (_6, ₃)  g (_6, ₄).

Указать высказывания с обозначениями P ₃, ₆, P ₃,  (₅), P ₃, ₃ . ₃g (_6, ₃) ₆g (_6, ₆)  g (_6, ₆), ₃g (_3, ₃) ₆g (_6, ₃)  g (_3, ₃), P, P.

4.5 Для каждого из терминов  (₁),  (₂),  (₈),  (₁, ₅, ₈),  выяснить, является ли он допустимым заменителем для ₈ в высказывании ₂g (₈) ₅g (₈) ДНДНД.

4.6 Для каждого из высказываний ₁g (₁), ₂g (_2, ₃), g (_1, _2, ₃), g ( ) выяснить, является ли оно замкнутым ДННД и является ли оно открытым ННДД.

4.7 Высказывание (( привести к позитивной форме

.

4.8 В высказывании ₃g (₃, ₅) ₅g (₃, ₅)  g g ( , ₅) второе вхождение высказывания g (₃, ₅) заменить высказыванием  g (₃, ₅)  g (₃, ₅). ₃g (₃, ₅) ₅( g (₃, ₅)  g (₃, ₅)  g g ( , ₅) и выяснить, равносилен ли результат замены исходному высказыванию Д.

5.1 Для каждого из высказываний g ( ,  ), ₁g (₁, ₂), g ( ,  )g ( ,  ) выяснить, является ли оно логически истинным НДН и является ли оно логическим следствием остальных ДДН.

5.2 Указать высказывания p, q т.ч. pq, но pq не есть логически истинное высказывание ₁= ₂, ₁= ₃.

6.1 Выяснить, является ли последовательность высказываний P, P, , P, , , , QQ, Q, Q доказательством в теории с аксиомами ,Q Д.

6.2 Для каждого из высказываний 35, 5=5, Х66), 5656 выяснить, является ли оно: истинным ДДДД, логически истинным НДДД, кванторологически истинным ННДД, тавтологически истинным НННД.

6.3 Для каждого из высказываний g (₁, ₂), ₁g (₁), g (₁) выяснить, является ли оно из двух других: логическим следствием НДД, кванторологическим следствием НДН, тавтологическим следствием ННН.

6.4 Записать определяющие аксиомы в формальной арифметике для термов ₁ ₂,6. ₁+₁ ₂=_2₂+₁ ₂=₁, 6=(((((1)+(1))+(1))+(1))+(1) и для высказываний: ₁ есть четное число, ₁, есть простое число, ₁, есть делитель числа ₂. ₃=₃ + ₃), ₃₄(₃₄ ₃₁₄₁) 1, ₁₌0₃(₂=(₁₃).

7.1 Пусть A, D, C, D, E, F, G, X, Y, Z, X₁,..., X_n обозначают попарно различные переменные. Указать истинное значение каждого из высказываний 53,5, 33,5, 43,5, 3,55,3, 3,5=3,3,5, 2,82,9,8, 2,9,82,8, 44, 44, 44, 44, 44, 44, 62,6, 2ХХ=3Х=4=6,8, ХХХ=, 4,33,7=4,3,7, 4,33,7=3, 4,3\3,7=4, 3,55,33,5, A=B, ,   X  CC,         C=BC,      \ (A\B)\B=A\B, A\B=A(A, A\(A\B, A\B=B\A, A  ₁,...,_n₁..._n,  ,  A\A A\A, , NZ, ZR, ZN, RZ, (2,2)=(2,2,2), (3,5)=(3,2+3), (3,5)=(5,3), 3,5=5,3, (4,8) (8,4), (A,B)=(C,D)CB=D, koor (8,5,4)=5, koor (8,5,4)=4, koor (8,5,4)=(8,5), koor (8,5,4)=8, (X,Z) (Z,X), (X,Z) (Z,X) XZ, koor (a, b), koor (a, b)=(a, b), (a, b)=(b, a), (a, a)=a, 4,6х7,9=4,7), (4,9), (6,7), (6,9), 5 х 3,2 х 6=(5,3,6), (5,2,6), 5 х 6=6 х 5, A х B=B х A, A х BB х A, A х (B х C)=(A х B) х C, (A х B) х C=A х B х C, A¹=A, A²=A х A, A³=A х A х A,

8,5²=(8,8), (8,5), (5,5), 6⁴=(6,6,6,6),  (A*D*C*D*E)=B,  (a, b)b,  (3,7), (3,8), (3,9), (4,9)=3,4,  (3,7), (3,8), (3,9), (4,9)= 7,8,9,  (6,7,8,9)=8, dom (3,6), (6,4)= 3,6,4, dom (3,6), (6,4)= 3,6, ran (3,6), (6,4)= 6,4, ran (3,6) 6, 5,4,8 есть область определения функции {(5,5), (8,0). (4,)0, есть образ множества 3 относительно функции (3,7), dom sin =R, ran sin=XR1, dom sin =dom tg, dom Arcsin=ransin, dom arcsin=R, ran arcsin=R,, функция sin биективна, cos(0)=1, функция sin и arcsin обратны друг другу, функция sin однозначна, функция arcsin однозначна, функция arcsin биективна, (5,9), (5,8) (2,9) есть расширение функции (2,9), arcsin есть сужение функции Аrcsin, (4,5), (5,8) есть сужение функции (4,7), (5,9) (5,8), функция (4,4), (5,5) биективна, функция sin  cos является многозначной. 1010110100011011111011001110101П1П00101011П1П1П0111111П00111110101111111П11П0110ПП011111110111011010110101011010110011

Для A=B построить доказательство X=

33

Характеристики

Список файлов реферата