logika (675739), страница 2
Текст из файла (страница 2)
х
c
u1,…,un, f (u1, … ,un). f n-местный, n0.
Обозначения для термов: a, b, a0, b0, a1, b1, …
Пример индуктивной последовательности термов:
f
1
f
(1, f )
f
(1, 1, f (1, f ))
2
f
(1, f , f (1, f ), 2)
f
(2)
f (f (2))
Высказываниями, соотношениями, формулами называются знакосочетания с такими правилами порождения:
g здесь g нульместный
g(а1,…,аn) здесь g n-местный, n0
u, x(u)
u, x(u)
u, (u)
u, v, (u)(v)
u, v, (u)(v)
u, v, (u)(v)
u, v, (u)(v)
Пример индуктивной последовательности формул (на основе термов из предыдущего примера)
g
(f , 1)
g
5(g )
1(g (f , 1))
(5(g ))
g
(g )(5(g ))
g
(f (1, f ), 2, 2)
Обозначениями для высказываний: p, q, r, s, t, p0, q0, r0, s0, t0,…
С целью удобства обозрения формул некоторые скобочные диады можно опускать, принимая соглашение о правосторонней группировке скобок для нескольких одинаковых логических знаков и соглашение об убывании силы связи в алфавитном порядке логических знаков. Пример: pqr означает (p)((q)(r)), а запись xpqr понимается как ((x(p)))((q)(r)). Следует помнить, что любое высказывание с пропущенными парами скобок не является высказыванием формального языка, оно является лишь обозначением соответствующего высказывания.
Нульместные функциональные знаки называются константами. Знакосочетание x называется квантором всеобщности по х, а х - квантором существования по х. Начинающееся с предикатного знака высказывание называется предикатом. Высказывание называется элементарным, если оно начинается с квантора или предикатного знака. Высказывание q называется подвысказыванием или компонентой высказывания р, если q есть часть р. Элементарная компонента q высказывания р называется его пропозициональной компонентой, если q имеет хотя бы одно такое вхождение в р, которое не является вхождением в какую-нибудь другую элементарную компоненту высказывания р. Например, высказывание 5(g
g
)g имеет пять компонент: 5(g g ), g , g , g g , 5(g g )g , из которых только первые три являются элементарными, первые две - пропозициональными, только g и g - предикатными.
Интерпретация формального языка. Переменная выражает, нотирует, обозначает произвольный объект из некоторого не пустого множества, которое называется денотарием или универсумом данной интерпретации и элементы которого тем самым являются денотатами или значениями переменной. n-местный функциональный знак обозначает n-местную операцию на универсуме. n-местный предикатный знак обозначает изначальную взаимосвязь между любыми n объектами универсума. Термы обозначают объекты универсума, а высказывания обозначают истину или ложь, т. е. денотатами термов являются объекты универсума, а денотатами высказываний являются истина и ложь. Задать интерпретацию формального языка значит задать ее универсум и связанные с ним значения всех нужных нам функциональных и предикатных знаков; тогда значения всех нужных термов и формул при любых значениях фигурирующих в них переменных определяются индукцией по их построению с учетом такой интерпретации логических знаков:
xp - обобщение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным для всех значений переменной х; синонимы: р для каждого х, р для любого х, р для всех x, р для произвольного х.
xp - подтверждение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным хотя бы для одного значения переменной х; синонимы: существует х т.ч. р, р для некоторого х.
p - отрицание высказывания р является истинным тттк р является ложным; синонимы: не р, неверно что р.
pq - конъюнкция высказываний р, q является истинной тттк оба ее конъюнкта р, q являются истинными; синонимы: р и q, и р и q.
pq - дизъюнкция высказываний p, q является ложной тттк оба ее дизъюнкта р, q являются ложными; синонимы: р или q, или р или q.
pq - импликация высказываний p, q является ложной тттк посылка р является истинной, а заключение q является ложным; синонимы: р только если q, если р то q, q если р, р тогда q, q когда р, для того чтобы р необходимо чтобы q, для того чтобы q достаточно чтобы р, р следовательно q, из того что р следует что q.
pq - эквиваленция высказываний р, q является истинной тттк ее части р, q обе являются истинными или обе являются ложными; синонимы: р если и только если q, р тогда и только тогда когда q, для того чтобы р необходимо и достаточно чтобы q, р эквивалентно q.
Замечание. Иногда высказывания записывают на смеси формального, обычного и математического языка. Все такие записи будем рассматривать как обозначения соответствующих высказываний формального языка.
Замечание. Введение обозначений для высказываний порождает двусмысленность в использовании знака равенства, поскольку сами высказывания являются некоторыми обозначениями, а именно обозначениями истины или лжи. При наличии иерархии обозначений такую двусмысленность обычно снимают соглашением о том, что равенство понимается как равенство между исходными объектами. Т. о. равенство p=q означает, что р и q имеют одинаковые истинностные значения т. е. являются равносильными.
Пример. Каждый кулик свое болото хвалит.
Универсум - множество куликов и болот
g (x) - х есть кулик
g
(x) - х есть болото
g
(x, у) - х хвалит у
g (x, у) - у свое для х
1((((g (1))(g (2)))(g (1, 2)))(g (1, 2)))
Пример. Сумма квадратов двух положительных чисел меньше квадрата их суммы.
Универсум - множество положительных чисел.
f (x) - квадрат числа x
f
(x, y) - сумма чисел x, y
g (x, y) – x меньше y
g (f (f (1), f (2)), f (f (1, 2)))
Можно записать по-другому:
универсум - множество действительных чисел
f - число 0
((g (f , 1))(g (f , 2)))(g (f (f (1), f (2)), f (f (1, 2)))
Пример. Только я один знаю об этом.
Универсум – множество людей
f - я
g (x) - x знает об этом
g
(x, y) - x идентичен y
(g (f ))(1(((g (1, f )))((g (1))))
Никто не знает об этом: 1((g (1)))
Все знают об этом: 1(g (1))
Кто-нибудь знает об этом: 1(g (1))
Пример. Здесь холодно, но не сыро: (g )((g ))
Пример. Ни p ни q: p и q
Пример. Если p то q иначе r: (pq)(pr)
Пример. p либо q: pqpq
Пример. p поэтому q: p(pq)
Пример. Чай без сахара не сладкий и не вкусный.
g - чай содержит сахар
g - чай сладкий
g - чай вкусный
((g ))((( g ))(( g )))
Возможен другой перевод:
(((g ))(( g )))((( g ))((( g )))
Пример. Его отец слесарь, а все братья токари.
Универсум – множество мужчин
f - он
f (x) - отец для x
g (x) - x есть слесарь
g (x) - x есть токарь
g (x, y) - x идентичен y
(g (f (f )))(1((((g (1, f )))(g (f (1), ( f (f ))))(g (1))))
Тема 3. Пропозициональная логика
или логика элементарных высказываний изучает свойства логических операций , , , , , которые по смыслу их введения являются операциями над истинностными значениями:
| p | q | p | pq | pq | pq | pq |
| Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | И | Л |
| И | Л | Л | Л | И | Л | Л |
| И | И | Л | И | И | И | И |
Если высказывания р, q различны и элементарны, то эта таблица называется истинностной таблицей высказываний (p, q,) p, pq, pq, pq, pq. В общем случае при составлении истинностной таблицы какого-либо перечня высказываний надо поместить на ее вход все различные пропозициональные компоненты этих высказываний, сделать полный перебор истинностных значений во входных столбцах и записать соответствующие истинностные значения в результирующих столбцах.
Пример. В комнате без окон темно и неуютно.
Универсум - множество комнат
g
(1) - 1 имеет окно p - комната имеет окно
g (1) - в 1 темно q - в комнате темно
g (1) – в 1 уютно r - в комнате уютно
(
(g (1)))((g (1))((g (1)))) pqr
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
