84312 (675728), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Z₂ – Z₁ = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i

= =

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Рисунок 5

Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = r и аргумент j следующим образом:

A= r·cosj ; B= r·sinj.

Число Z можно записать так:

Z= r·cosj+ i· ·sinj = r·(cosj + i·sinj)

Z = r·(cosj + i·sinj) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r = – модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше = r = , равенство (2) можно записать в виде

A+B·i= ·cosj + i· ·sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj = , sinj = (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj= (4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z₁= r₁·(cosj₁ + i·sinj₁), Z₂ = r₂·(cosj₂ + i·sinj₂). Тогда:

Z₁Z₂= r₁·r₂[cosj₁·cosj₂ – sinj₁·sinj₂ + i·( sinj₁·cosj₂ + cosj₁·sinj₂)]=

= r₁·r₂[cos(j₁ + j₂) + i·sin(j₁ + j₂)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z₁Z₂= r₁·r₂[cos(j₁ + j₂) + i·sin(j₁ + j₂)] (5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z₁=Z₂ то получим:

Z²=[r·(cosj + i·sinj)]²= r²·(cos2j + i·sin2j)

Z³=Z²·Z= r²·(cos2j + i·sin2j)·r·(cosj + i·sinj)=

= r³·(cos3j + i·sin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cosj + i·sinj) 0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zⁿ =[ r·(cosj + i·sinj)]ⁿ= rⁿ·( cosnj+ i·sinnj), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos(j₁ – j₂) + i·sin(j₁ – j₂)]. (7)

= = cos(–j₂) + i·sin(–j₂)

Используя формулу 5

(cosj₁ + i·sinj₁)×( cos(–j₂) + i·sin(–j₂)) =

cos(j₁ – j₂) + i·sin(j₁ – j₂).

Пример 3:

Z³ = –8

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r³×(cos3j + i×sin3j) = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ

Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ

j = , kÎZ

r³ = 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2·( cos( ) + i·sin( )), kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0

Z₁ = 2·( cos + i·sin ) = 2·( i) = 1+ ×i

k = 1

Z₂ = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cosp + i·sinp) = –2

k = 2

Z₃ = 2·( cos( + ) + i·sin( + )) = 2·( cos + i·sin ) = 1– ×i

Ответ: Z₁₃ = ; Z₂ = –2

Пример 4:

Z⁴ = 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁴×(cos4j + i×sin4j) = cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ

4j = 2pk, kÎZ

j = , kÎZ

r⁴ = 1

r = 1

Z = cos + i×sin

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z₁ = cos0+ i×sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z₂ = cos + i×sin = 0 + i = i

k = 2

Z₃ = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z₄ = cos + i×sin

Ответ: Z₁₃ = 1

Z₂₄ = i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r·( cosj + i·sinj) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r·(cosj + i·sinj)]ⁿ= rⁿ·( cos nj + i·sin nj)

Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается ), если Zⁿ =w.

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zⁿ = w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение Zⁿ = w. Если w=0, то при любом n уравнение Zⁿ = w имеет только одно решение Z= 0. Если w 0, то и Z 0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r·(cosj + i·sinj), w = p·(cosy + i·siny)

Уравнение Zⁿ = w примет вид:

rⁿ·( cos nj + i·sin nj) = p·( cosy + i·siny)

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p. Следовательно, rⁿ = p и nj = y + 2pk, где kÎZ или r = и j = , где kÎZ.

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

Z_K= [cos( ) + i·sin( )], kÎZ (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w 0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль , но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу . Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке Z = 0.

Символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись , следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

a_n×Zⁿ + a_n–1×Z^n–1 +...+ a₁×Z¹ + a₀ = 0 (9)

Где a_n,..., a₀ – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

,

Где Z₁, Z₂,..., Z_K – некоторые различные комплексные числа,

а a₁,a₂,...,a_k – натуральные числа, причем:

a₁ + a₂ + ... + a_k = n

Отсюда следует, что числа Z₁, Z₂,..., Z_K являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z₁ является корнем кратности a_1, Z₂ – корнем кратности a₂ и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

a_n×Zⁿ + a_n–1×Z^n–1 +...+ a₁×Z¹ + a₀ = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

a_n×kⁿ + a_n–1×k^n–1 +...+ a₁×k¹ + a₀ = 0

a₀ = – k(a_n×k^n–1 + a_n–1×k^n–2 +...+ a₁)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a_0.

Характеристики

Список файлов реферата