Hardi (675633), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

, , (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции на атомы (70), что

, (76)

где постоянные С и ( ) не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

. (77)

Рассмотрим на отрезке множества

, , (78)

Так как при любом множество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

, при , , . (79)

Положим и при

(80)

Так как конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в. при , а значит, для п.в.

.

Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы находим, что

, (81)

где - характеристическая функция множества . Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:

для п.в. , (82)

где

, , (83)

С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при ,

, . (84)

Докажем теперь, что для п.в.

, , (85)

где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75') для п.в. , то из (77) следует, что

.

Пусть теперь , - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) , и если , - концевые точки дуги ( ) , то , а значит,

, . (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

при . (87)

Легко видеть (учитывая, что и ) , что множества и пересекаются в одной точке:

с , . (88)

Пусть , , - отрезок, соединяющий точки и . Так как , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и . Поэтому , учитывая (88)

, , , . (89)

По теореме Коши [5] .

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство ,

мы получим

^.

Но в силу теорем 4 и 5

, ,

и так как , , то мы находим, что

. (89')

Легко видеть, что отношение ограничено сверху числом, зависящим только от , поэтому

, . (90)

Так как , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу следует из определения функций и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции

, , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:

для п.в. ,

где , .

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и ВМО.

Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

. (92)

Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция .

Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

, , , - атомы^*) (93)

и положить

, (94)

то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где . При этом

(С, С₁ - абсолютные постоянные).

Лемма 2.

Пусть функция такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой

,

где М не зависит от . Тогда и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

. (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим

Так как всегда , то, учитывая равенства

, ,

,

мы с помощью следствия 2 находим

, (96)

Допустим, что ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

, , (97)

где функции являются атомами и , и при

, , . (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при

.

Отсюда, учитывая, что функции , , по модулю не превосходят суммируемой функции и для п.в. , мы получим, что

.

Таким образом, равенством

, , (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из в вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к по норме , и, очевидно, принадлежат пространству ). Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :

, . (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к :

.

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с

, (101)

для которой

, . (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что

. (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I

,

что с учетом соотношения доказывает оценку (103).

Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,

для любой функции .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.

Литература

1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с.

3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961. —936с.

5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с.

6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с.

8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с.

*⁾ Мы считаем , что f (x) = 0 , если x   .

*⁾ Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*⁾ В силу условий а) и в) в определении 9 , , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.

*⁾ Возможен случай, когда при .

Характеристики

Список файлов реферата