Hardi (675633), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

где  c_n ( f ) - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n (f)= ^{-i n t}dt , n = 0, 

Пусть  L¹ (-) . Рассмотрим при   r  функцию

_r ( x ) = _n ( f ) r^{n } e^{i n x} , x  . ( 2 )

Так как для любых x , n = 0, , а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r ,  r  . Коэффициенты Фурье функции _r х равны c_n ( f_r ) = c_n (f) r^{ n } , n = 0 , , а это значит, что _r  x  можно представить в виде свертки :

_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t   ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 r , t   , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,

P_r ( t ) = , 0r   , t  . ( 5 )

Если  L^ ( -  )  действительная функция , то , учитывая , что

c_-n ( f ) = , n = 0 из соотношения (2) мы получим :

f_r ( x ) =

= , ( 6 )

где

F ( z ) = c₀ ( f ) + 2 ( z = re^ix ) ( 7 )

• аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L¹( -,  ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = _r (e^ix ) , z = re^ix , 0  r 1 , x  [ -,  ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге  z     функция и  (x) = u (e^ix) , x,   . Тогда

u (z) = ( z = re^ix ,  z    ) ( 10 )

Так как ядро Пуассона P_r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

= ,  z   +  .

Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции следующим образом :

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции _r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ; (11)

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  х  .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -,  ) , 1  p <  , имеет место равенство

;

если же  (x) непрерывна на [ -,  ] и  (-) =  () , то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного    найдем  =  () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a . Максимальной функцией для функции называется функция

,

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

, .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x)^*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).

Пусть - такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

( 14 )

для п.в. .

Согласно (13) при x (-)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x [- ] и (14)

из последней оценки получим

при r1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [- ] , когда точка re^it стремится к e^ix по некасательному к окружности пути.

§I.2.Пространства H^p.

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма

. (15)

Пусть комплекснозначная функция удовлетворяет условиям

(16)

тогда функция F (z) , определенная равенством

(17)

принадлежит пространству , причем

. (18)

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем

()

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р= в силу теоремы 2)

. Отсюда ()

Учитывая () и () , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция  (t) имеет ограниченную вариацию на [ -] и

(19)

Тогда  (t) абсолютно непрерывна на [-].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации  (t) . Мы говорим, что

 (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

обладающая свойствами:

а) ;

б) ; (22)

в) .

Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть , где - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных функцию , построенную в лемме 1 для числа  и множества . Тогда нетрудно проверить[3], что если , а , то разность

. (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,

и мы получаем равенство (20).

Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

, где , , - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) , ; б) ,

Мз которых вытекает, что для и

,

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .

Пусть f(t) - непрерывная на [-, ] функция, для которой

и

Так как средние Фейера равномерно сходятся к и

, то существует тригонометрический полином

(24)

такой, что

(25)

Пусть . Рассмотрим для каждого  такую функцию , что

,

(функцию можно построить следующим образом: взять замкнутое множество с мерой , достаточно близкой к 2, и положить

).

Так как (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых  функция удовлетворяет соотношениям

(26)

При этом , если . Тогда средние Фейера функции h(t) имеют вид

и при достаточно большом N

(27)

Положим

, (28)

Так как h(t) - действительная функция, то , n=. Поэтому

и . (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что , а из (24) и (28) следует, что при n<0, т.е.

(30)

В силу соотношений (25), (27) и (29) для

,

а для

.

Наконец, для любого

.

Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.

Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

(31)

При этом

1) , , ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1). Действительно, если , то тем более и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом и по теореме 1

. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

.

Пусть . Для построения искомой функции положим

, , .

Функции , , имеют равномерно ограниченную по r вариацию на :

.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации и последовательность , такие, что в каждой точке и

(32)

для любой функции . При этом для n=1,2,...

(мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция , для которой

,

Тогда

, (33)

Зафиксируем число . Функция , аналитична в круге , поэтому согласно утверждению 1

, .

В пределе при из последнего равенства вытекает, что

, , .

Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны.

§I.3.Пространства и .

Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

для п.в. , .

В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 и каждая функция удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно,

. (34)

Из (34) вытекает, что (замкнутое) - подпространство пространства , а - банахово пространство с нормой (15).

Пусть . Положим

,

, (35)

ОпределениеI.5.

Если функция , то сопряженной к ней функцией называется функция , ,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов .

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при этом

а) , y>0;

б) если , , то и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а) ;

б) , , , ;

в) ;

г) , где - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :

. (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы : , имеют место равенства

, (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

, , ,

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

, ,

где , , .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим ниже):

1) , , ;

2) при функции , , сходятся по мере к

;

3) , , ,

где С - абсолютная константа.

Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что , где , поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций , :

по мере . (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

, . (39)

Характеристики

Список файлов реферата